6.5.1: Конічні перерізи та сфери кульбаби
- Page ID
- 55093
Конічні розрізи та сфери кульбаби
Одним з основних напрямків діяльності математиків та вчених усіх видів є навчання та спроба довести, як і чому все працює.
Ще з Стародавньої Греції на початку тисячоліття, і, ймовірно, задовго до цього, вивчалися властивості конічних перерізів. Один, який був широко вивчений, - це «Фокальна властивість», про яку ми згадували майже в кожному уроці в цьому розділі.
Існує ряд математичних доказів фокальної властивості, але спробувати пояснити такі докази тому, хто не присвячує своє життя математиці, важко. Кульбаба Сфери - одне рішення.
Конічні розрізи та сфери кульбаби
Кульбаба сфери і рівняння еліпса
Лише в 1822 році французький математик Жерміналь Кульбаба думав про цю дуже розумну конструкцію. Кульбаба знайшов спосіб знайти вогнища і одним махом довести осередкове властивість.
Візьміть конічний перетин, про який йде мова. Потім виберіть сферу, яка тільки потрібного розміру, щоб, коли вона опущена в конічну, вона торкалася площини, що перетинається, а також щільно прилягала до конуса з усіх боків. Якщо ви віддаєте перевагу, ви можете думати про сферу як ідеально круглу повітряну кулю, який підірваний, поки він не «просто вписується» всередину конуса, все ще торкаючись площини. Потім виконайте те ж саме з іншого боку площині. Після того, як ми намалювали обидві ці сфери, ми маємо таку картину:
або
Ці сфери часто називають «кульбабовими сферами», названими на честь їх першовідкривача. Виявляється, що не тільки наша форма є еліпсом (який, як і всі еліпси задовольняє фокусну властивість), але ці сфери стосуються еліпса рівно в двох осередках. Щоб переконатися в цьому, розглянемо цей геометричний аргумент.
Перше, на що слід звернути увагу, це те, що кола\(\ C_{1}\) і\(\ C_{2}\) показані на схемі нижче, де кожна сфера щільно прилягає до конуса, лежать паралельно площинам один одному. Зокрема, кожна лінія, що проходить через ці кола і вершину конуса, таку як лінія,\(\ l\) намальована нижче, відрізає рівні відрізки між двома колами. Назвемо\(\ d\) найкоротшу відстань по конусу між колами\(\ C_{1}\) і\(\ C_{2}\). Це також можна розглядати як найкоротшу відстань між\(\ C_{1}\) і\(\ C_{2}\) що проходить через вершину конуса.
Наступне, що потрібно пам'ятати, - це властивість дотичних до сфер, яку ви, можливо, вивчили в геометрії. Якщо два відрізки малюються між точкою і сферою, і якщо лінія, що містить кожен відрізок, є дотичною до сфери, то два відрізки рівні. На діаграмі нижче, AB=AC. (Це випливає з того, що тангенси перпендикулярні радіусам сфери і що в цій конфігурації утворюються два конгруентні трикутники.)
Тепер розглянемо точку Р на намальованому нижче еліпсі. \(\ \overline{Q R}\)Дозволяти відрізок довжини\(\ d\) між\(\ C_{1}\) і\(\ C_{2}\) що проходить через п. Відстані між двома вогнищами відзначаються\(\ d_{1}\) і\(\ d_{2}\). Але\(\ d_{1}=R P\) і\(\ d_{2}=P Q\) за властивістю дотичних до сфер розглядалося вище. Отже\(\ d_{1}+d_{2}=R P+P Q=Q R=d\). І ця сума завжди буде дорівнює\(\ d\), незалежно від того, яка точка\(\ P\) на еліпсі вибрана. Таким чином, це доводить фокальну властивість еліпсів: що сума відстаней між будь-якою точкою на еліпсі і двома вогнищами постійна.
Кульбаба і парабола
Як і еліпс, парабола має фокальну властивість. І, як і еліпс, конструкція, подібна до Кульбаби зі сферами, може показати нам, що це таке. Сам кульбаба не довів фокусну властивість параболи, яку ми збираємось обговорити, але Пірс Мортон використовував конструкцію сфери, подібну до Кульбаби, щоб довести фокальну властивість параболи в 1829 році. Ми розглянемо аргумент Мортона тут.
На відміну від аргументу, який ми зробили для еліпса, для параболи ми можемо вмістити лише одну дотичну сферу всередині конуса. Тобто тільки одна сфера може бути дотичною як до конусу, так і до січної площини. На схемі нижче сфера підходить під січну площину, але немає місця для того, щоб сфера лежала на вершині січної площини і все ще була дотичною до конуса.
Як і у випадку з еліпсом, точка, де сфера перетинає площину, називається фокусом. Але тому, що в цьому будівництві всього одна сфера, і це пов'язано з тим, що парабола має тільки один фокус. Інший цікавий геометричний об'єкт називається директрисою. Це лінія, яка виходить з перетину між січною площиною і площиною, яка містить коло контакту між сферою і конусом. На схемі нижче директриса\(\ l\) позначена і знаходить шляхом перетину площини, визначеної колом\(\ C\) і січною площиною (площини показані пунктирними лініями для наочності). Нарешті, назвемо кут між площинами\(\ \theta\).
На наведеній вище діаграмі ми позначили точку, де сфера контактує з\(\ F\) січною площиною, і ми будемо називати цю точку фокусом параболи. Припустимо,\(\ P\) це довільно обрана точка на параболі. Потім,\(\ Q\) нехай точка на колі\(\ c\) така,\(\ \overline{P Q}\) що дотична до сфери. Іншими словами\(\ Q\) вибирається так, щоб\(\ \overline{P Q}\) лягала на саму шишку. \(\ L\)Дозволяти точка на директрисі\(\ l\) такі, що\(\ \overline{P L}\) перпендикулярно до\(\ l\). Тоді,\(\ PF=PQ\) оскільки обидва сегменти є дотичними до сфери з однієї точки\(\ P\). Ми також можемо це показати\(\ PQ=PL\). Це випливає з того, що січна площина паралельна одній стороні конуса. Розглянемо точку\(\ P^{\prime}\), яка є проекцією\(\ P\) на площину, що містить коло\(\ C\). Тоді\(\ \angle P P^{\prime} Q\) і\(\ \angle P P^{\prime} L\) обидва прямі кути за визначенням проекції. \(\ \angle P Q P^{\prime}\)і\(\ \angle P L P^{\prime}\) обидва рівні куту\(\ 90-\theta\), де кут,\(\ \theta\) визначений вище, тому що січна площина і конус обидва мають кут\(\ \theta\) з горизонтом. Оскільки вони також поділяють сторону, трикутники\(\ \triangle P Q P^{\prime}\) і\(\ \triangle P L P^{\prime}\) є конгруентними\(\ \text { AAS }\). Так що відповідні сторони\(\ \overline{P Q}\) і\( \overline{P L}\) є конгруентними. За перехідною властивістю ми маємо\(\ P F=P L\), тому відстань між точкою\(\ P\) на параболі до фокусу така ж, як відстань між\(\ P\) і директрисою\(\ l\). Ми щойно довели властивість focus-directrix парабол.
Кульбаба сфери і гіперболи
Щоб довести фокальну властивість гіпербол, досліджено конструкцію сфери Кульбаби. На відміну від конструкції для еліпсів, в якій використовувалися дві сфери з одного боку конуса, і конструкції сфери для парабол, в якій використовувалася одна сфера з одного боку конуса, в цій конструкції використовуються дві сфери, по одній з кожного боку конуса. Як і при побудові еліпса, кожна сфера стосується площини в одному з вогнищ гіперболи. І як у випадку з аргументом для еліптичної фокальної властивості, аргумент використовує той факт, що дотичні від загальної точки до сфери рівні.
На наведеній вище схемі, припустимо,\(\ P\) є довільною точкою на гіперболі. Ми хотіли б вивчити різницю\(\ P F_{2}-P F_{1}\). \(\ C_{1}\)Дозволяти точка на верхній сфері, яка лежить на лінії між\(\ P\) і вершиною конуса. \(\ C_{2}\)Дозволяти точка на верхній сфері, коли ця лінія продовжена (так\(\ P\)\(\ C_{1}\), і\(\ C_{2}\) всі на одній лінії\(\ P C_{1}+C_{1} C_{2}=P C_{2}\) і конуса загальною дотичною властивістю,\(\ P F_{1}=P C_{1}\) а\(\ P F_{2}=P C_{2}\) для деяких точок\(\ C_{1}\) і\(\ C_{2}\) на колах, де сфери відповідають конусу. Отже\(\ P F_{2}-P F_{1}=P C_{2}-P C_{1}=\left(P C_{1}+C_{1} C_{2}\right)-P C_{1}=C_{1} C_{2}\). Але\(\ C_{1} C_{2}\) є відстань по конусу між двома колами дотику і є постійним незалежно від вибору\(\ C_{1}\) і\(\ C_{2}\). Так що\(\ P F_{2}-P F_{1}\) різниця постійна.
Приклади
Як виглядали б сфери кульбаби, якби їх використовували для дослідження кола?
Рішення
Оскільки сфери торкаються фігури лише у вогнищах, а оскільки коло - це еліпс з обома осередками в одній точці, сфери будуть сидіти безпосередньо один над одним і стосувалися б кола в центральній точці з обох сторін.
Концептуально кажучи, чому в доказі параболи використовується лише одна сфера кульбаби?
Рішення
Як ми дізналися в доказі для еліпса, сфера Кульбаби повинна бути дотичною як до конуса, наприклад, сфера стосується конуса по всьому колу, і площині, де дотичність є єдиною точкою. У випадку з параболою сфера нижче площини «вписується» просто чудово, але сфера над площиною буде «сидіти» на площині, а не торкатися конуса навколо. Фігура дозволяє лише одну сферу бути дотичною.
Поясніть, чому для будь-якого позитивного числа\(\ b\) і\(\ a\), існує\(\ c\) таке, що\(\ b^{2}=c^{2}-a^{2}\). Нехай\(\ c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
Рішення
Оскільки\(\ a^{2}+b^{2}\) завжди позитивний для позитивного\(\ a\) і\(\ b\), це число завжди визначається.
Геометрично,\(\ c\) нехай гіпотенуза прямокутного трикутника з довжин сторін\(\ a\) і\(\ b\).
Рецензія
- Хто був першим математиком, який концептуалізував сфери кульбаби? Коли?
- Що доводять кульбабові сфери?
- Як визначити вогнища еліпса за допомогою кульбабових сфер?
- Якщо дві дотичні малюються від однієї точки до сфери, що ви можете сказати про сформовані відрізки лінії?
- Як тангенси співвідносяться з радіусом сфери?
- Опишіть фокальну властивість еліпсів.
- Як і коли зародковий кульбаба довів фокальну властивість парабол?
- Що таке лінія, яка виходить з перетину між січною площиною і площиною, яка містить коло контакту між сферою і конусом?
- Що визначається точкою, де сфера перетинає січну площину?
- Яка конструкція використовує дві сфери в одному конусі?
- У якій конструкції використовується одна сфера в єдиному конусі?
- У якій конструкції використовуються дві сфери і два конуса?
Визначте деталі, зазначені на схемі, як зазначено нижче:
- Лінія Directrix - мала сфера
- Лінія Directrix - велика сфера
- Фокус - Мала сфера
- Фокус - велика сфера
- Вершина - мала сфера
- Вершина - велика сфера
- Площина Directrix - мала сфера
- Площина Directrix - велика сфера
- Ріжуча площина
- Який конічний розріз проілюстровано тут?
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.8.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Конічна | Конічні перерізи - це ті криві, які можуть бути створені перетином подвійного конуса і площини. Вони включають кола, еліпси, параболи та гіперболи. |
| Кульбаба Сфери | Кулі кульбаби - це сфери, що використовуються для геометричного визначення конічних перерізів. |
| Еліпс | Еліпси - це конічні зрізи, які мають вигляд витягнутих кіл. Еліпс представляє всі місця в двох вимірах, які знаходяться на однаковій відстані від двох заданих точок, які називаються вогнищами. |
| еліпси | Еліпси - це конічні зрізи, які мають вигляд витягнутих кіл. Еліпс представляє всі місця в двох вимірах, які знаходяться на однаковій відстані від двох заданих точок, які називаються вогнищами. |
| гіпербола | Гіпербола - це конічний переріз, утворений, коли січна площина перетинає обидві сторони конуса, в результаті чого утворюються дві нескінченні «U» -образні криві. |
| Парабола | Парабола - це множина точок, що знаходяться на рівній відстані від фіксованої точки внутрішньої кривої, яка називається «'focus"', і лінія на зовнішній стороні, яка називається «'directrix"'. Директриса буває вертикальною або горизонтальною, в залежності від орієнтації параболи. |
| дотичність | Дотик - це точка (або набір точок), яка «просто торкається» фігури. |