Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.4.2: Кола, які не зосереджені на початку

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55117

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кола по центру в (h, k)

    Ви намалюєте коло, яке знаходиться в центрі (−2, −2). Ви вимірюєте діаметр кола, щоб він дорівнював 18 одиницям. Чи лежить точка (4, 5) на колі?

    Кола по центру в (h, k)

    Коли коло центрується в початковій точці, рівняння є\(\ x^{2}+y^{2}=r^{2}\). Якщо ми перепишемо це рівняння, використовуючи центр, це буде виглядати так\(\ (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=r^{2}\). Розширюючи цю ідею до будь-якої точки як центру, ми б мали\(\ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\), де\(\ (h,k)\) знаходиться центр.

    Давайте знайдемо центр і радіус\(\ (x+1)^{2}+(y-3)^{2}=16\) і графік.

    Використовуючи загальне рівняння вище, центр буде\(\ (-1,3)\) і радіус дорівнює\(\ \sqrt{16}\) або 4. Для графіка намалюйте центр, а потім вийдіть на 4 одиниці вгору, вниз, вліво і вправо.

    F-д_ДДК1Е066Б091436a84 ЕФД Будинк 825 А6А6А6А6АЕ22Д9387БК66350А48+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Тепер знайдемо рівняння кола з центром (2,4) і радіусом 5.

    Підключіть центр і радіус до рівняння і спростіть.

    \ (\\ почати {масив} {l}
    (x-2) ^ {2} + (y-4) ^ {2} =5^ {2}\
    (x-2) ^ {2} + (y-4) ^ {2} =25
    \ кінець {масив}\)

    Нарешті, знайдемо рівняння кола з центром (6, −1) і (5, 2) знаходиться на колі.

    У цій задачі нам не дається радіус. Щоб знайти радіус, ми повинні використовувати формулу відстані,\(\ d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\).

    \ (\\ почати {вирівняний}
    r &=\ sqrt {(5-6) ^ {2} + (2- (-1)) ^ {2}}\\
    &=\ sqrt {(-1) ^ {2} +3^ {2}}\
    &=\ sqrt {1+9}\
    &=\ sqrt {10}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тому рівняння цього кола -\(\ (x-6)^{2}+(y-(-1))^{2}=(\sqrt{10})^{2}\) або\(\ (x-6)^{2}+(y+1)^{2}=10\).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас просили визначити, чи лежить точка (4, 5) на колі.

    Рішення

    На цьому уроці ви дізналися рівняння кола, яке знаходиться в центрі десь, крім\(\ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\) початку, де\(\ (h,k) \) знаходиться центр.

    Нам дано, що центр є\(\ (−2,−2)\), так\(\ h=−2\) і\(\ k=−2\). Нам також дано діаметр кола, але нам потрібен радіус. Нагадаємо, що радіус дорівнює половині діаметра, так що\(\ r=\frac{18}{2}=9\).

    Якщо включити ці значення в рівняння для кола, то отримаємо:

    \ (\\ почати {вирівняний}
    (х-ч) ^ {2} + (y-k) ^ {2} &=r^ {2}\\
    (x- (-2)) ^ {2} + (y- (-2)) ^ {2} &=9^ {2}\\
    (x+2) ^ {2} + (y+2) ^ {2} ^ {2} &=81
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тепер, щоб знайти, чи\(\ (4, 5)\) лежить точка на колі, ми підставляємо 4 для x і 5 для y і подивимося, чи рівняння відповідає дійсності.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    (x+2) ^ {2} + (y+2) ^ {2} &=81\
    (4+2) ^ {2} + (5+2) ^ {2} &\ stackrel {?} {=} 81\\
    6^ {2} +7^ {2} &\ стек {?} {=} 81\\
    85 &\ neq 81
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тому точка не лежить на колі.

    Приклад 2

    Графік\(\ (x+4)^{2}+(y+3)^{2}=25\) і знайдіть центр і радіус.

    Рішення

    Центром є (−4, −3), а радіус дорівнює 5.

    F-д_829ф47Ф32243Д5Е8Ф81С94ДБД 65Ф769Е3А0А5936ЕЦ1А671А761+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Приклад 3

    Знайти рівняння кола з центром (−8, 3) і (2, −5) знаходиться на колі.

    Рішення

    Використовуйте формулу відстані, щоб знайти радіус.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    r &=\ sqrt {(2- (-8)) ^ {2} + (-5-3) ^ {2}}\\
    &=\ sqrt {10^ {2} + (-8) ^ {2}}\\
    &=\ sqrt {100+64}\\
    &=\ sqrt {164}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Рівняння цього кола дорівнює\(\ (x+8)^{2}+(y-3)^{2}=164\)

    Приклад 4

    Кінцевими точками діаметра кола є (−3, 1) та (9, 6). Знайдіть рівняння.

    Рішення

    У цьому прикладі нам не дається центр або радіус. Ми можемо знайти довжину діаметра за формулою відстані, а потім розділити її на 2.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    &d =\ sqrt {(9- (-3)) ^ {2} + (6-1) ^ {2}}\\
    &=\ sqrt {12^ {2} +5^ {2}}\ квад\ квад\ квад\ квад\ текст {Радіус} 13\ div 2=\ frac {13} {2}\\
    &\ почати масив} {л}
    =\ sqrt {144+25}\\
    =\ sqrt {169} =13
    \ кінець { масив}
    \ end {вирівняний}\)

    Тепер нам потрібно знайти центр. Використовуйте середню формулу з кінцевими точками.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    c &=\ ліворуч (\ frac {-3+9} {2},\ frac {1+6} {2}\ праворуч)\\
    &=\ ліворуч (3,\ frac {7} {2}\ праворуч)
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тому рівняння є\(\ (x-3)^{2}+\left(y-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}\).

    Рецензія

    Для питань 1-4 зіставте рівняння з графіком.

    F-D_94cd 6768 А1 постійного струму CC6F19963 ФББ05Ф4С86Ф26733А79242621 ЕА5188E80+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    1. \(\ (x-8)^{2}+(y+2)^{2}=4\)
    2. \(\ x^{2}+(y-6)^{2}=9\)
    3. \(\ (x+2)^{2}+(y-3)^{2}=36\)
    4. \(\ (x-4)^{2}+(y+4)^{2}=25\)

    Графік наведені нижче кола. Знайдіть центр і радіус.

    1. \(\ (x-2)^{2}+(y-5)^{2}=16\)
    2. \(\ (x+4)^{2}+(y+3)^{2}=18\)
    3. \(\ (x+7)^{2}+(y-1)^{2}=8\)

    Знайдіть рівняння кола, наведені нижче відомості.

    1. центр:\(\ (−3,−3)\) радіус:\(\ 7\)
    2. центр:\(\ (−7,6)\) радіус:\(\ \sqrt{15}\)
    3. центр:\(\ (8,−1)\) точка на колі:\(\ (0,14)\)
    4. центр:\(\ (−2,−5)\) точка на колі:\(\ (3,2)\)
    5. діаметр кінцевих точок:\(\ (−4,1)\) і\(\ (6,3)\)
    6. діаметр кінцевих точок:\(\ (5,−8)\) і\(\ (11,2)\)
    7. Є\(\ (−9,12)\) на колі\(\ (x+5)^{2}+(y-6)^{2}=54\)? Звідки ти знаєш?
    8. Виклик Використовуйте наступні кроки, щоб знайти рівняння дотичної лінії до кола з центром\(\ (3,−4)\) і точкою дотику\(\ (−1,8)\).
      1. Знайти нахил радіуса від центру до\(\ (−1,8)\).
      2. Знайдіть перпендикулярний нахил до (а). Це нахил дотичної лінії.
      3. Використовуйте нахил з (b) і задану точку, щоб знайти рівняння дотичної прямої.
    9. Розширення Перепишіть рівняння кола,\(\ x^{2}+y^{2}+4 x-8 y+11=0\) в стандартній формі заповнивши квадрат як для термінів x, так і для y. Потім знайдіть центр і радіус.

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.4.

    Лексика

    Термін Визначення
    Стандартна форма Стандартна форма кола - це\(\ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\), де\(\ (h,k)\) центр і\(\ r\) радіус.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
      Кредит: Тоні Вебстер
      Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ALas_Vegas_High_Roller_(20216869960).jpg