Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.4.1: Кола в центрі походження

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55116

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кола, зосереджені на початку

    Ви малюєте коло, яке знаходиться по центру в початковій точці. Ви вимірюєте діаметр кола, щоб він становив 32 одиниці. Чи\(\ (14,8)\) лежить точка на колі?

    Кола, зосереджені на початку

    До цих пір ваша єдина посилання на кола була з геометрії. Коло - це множина точок, які знаходяться на рівновіддаленій відстані (радіус) від заданої точки (центру). Відрізок лінії, який проходить через центр і має кінцеві точки на колі - це діаметр.

    Тепер ми візьмемо коло і розмістимо його на площині x−y, щоб побачити, чи зможемо ми знайти його рівняння. У цій концепції ми збираємося розмістити центр кола на початку.

    Пошук рівняння кола

    Крок 1: На аркуші графічного паперу намалюйте площину x−y. За допомогою циркуля намалюйте коло, відцентрований у початку координат, який має радіус 5. Знайдіть точку (3,4) на колі і намалюйте прямокутний трикутник з радіусом як гіпотенуза.

    Ф-д_А422Е8Ф58БА 330С8Е20238БА 1Ф5 ФЕФ 24Д986635С1Б5А67Ф1А4482273+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Крок 2: Використовуючи довжину кожної сторони прямокутного трикутника, покажіть, що теорема Піфагора вірна.

    Крок 3: Тепер замість використання (3, 4) змініть точку на (x, y) так, щоб вона представляла будь-яку точку на колі. Використовуючи r для представлення радіуса, перепишіть теорему Піфагора.

    Рівняння кола, зосередженого на початку координат, є\(\ x^{2}+y^{2}=r^{2}\), де r - радіус і (x, y) - будь-яка точка на колі.

    Знайдемо радіус\(\ x^{2}+y^{2}=16\) і графік.

    Щоб знайти радіус, ми можемо встановити\(\ 16=r^{2}\), зробивши\(\ r=4\). \(\ r\)не -4, тому що це відстань, а відстані завжди позитивні. Щоб скласти графік кола, почніть з початку і вийдіть по 4 одиниці в кожну сторону і з'єднайте.

    F-д_3Е19А8 ЕФД 4Ф45Е7Е77Б0ФФД 27456Е06Д7Ф6А32С875Д2Д748Е7БК293+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Тепер знайдемо рівняння кола з центром на початку і проходить\(\ (−7,−7)\).

    Використовуючи рівняння кола, маємо:\(\ (-7)^{2}+(-7)^{2}=r^{2}\). Вирішити для\(\ r^{2}\).

    \ (\\ почати {вирівняний}
    (-7) ^ {2} + (-7) ^ {2} &=r^ {2}\\
    49+49 &=r^ {2}\\
    98 &=r^ {2}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Отже, рівняння є\(\ x^{2}+y^{2}=98\). Радіус кола дорівнює\(\ r=\sqrt{98}=7 \sqrt{2}\).

    Нарешті, давайте визначимося, чи\(\ (9,−11)\) є точка на колі\(\ x^{2}+y^{2}=225\).

    Підставте точку в для x і y і подивіться, якщо вона дорівнює 225.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    9^ {2} + (-11) ^ {2} &=225\
    81+121 &\ stackerl {?} {=} 225\\
    202 &\ neq 225
    \ кінець {вирівняний}\)

    Точка не на колі.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили визначити, чи лежить точка (14,8) на окружності, яка відцентрована у початку і має діаметр 32 одиниці.

    Рішення

    З цього уроку ви знаєте, що рівняння кола, яке зосереджено на початку\(\ x^{2}+y^{2}=r^{2}\), є, де\(\ r\) радіус і\(\ (x,y)\) є будь-якою точкою на колі.

    З точкою\(\ (14,8)\),\(\ x=14\) і\(\ y=8\). Нам дається діаметр, але нам потрібен радіус. Нагадаємо, що радіус дорівнює половині діаметра, тому радіус дорівнює\(\ \frac{32}{2}=16\).

    Вставте ці значення в рівняння кола. Якщо вони призводять до істинного твердження, точка лежить на колі.

    \ (\\ почати {масив} {r}
    x^ {2} +y^ {2} =r^ {2}\\
    14^ {2} +8^ {2}\ stackrel {?} {=} 16^ {2}\\
    196+64\ стек {?} {=} 256\
    260\ neq 256
    \ кінець {масив}\)

    Тому точка не лежить на колі.

    Приклад 2

    Графік і знайдіть радіус\(\ x^{2}+y^{2}=4\).

    Рішення

    \(\ r=\sqrt{4}=2\)

    F-д_д00900a58 ЕС8836д 751020 баа0Ф 473994584А28д3837a33Е402+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Приклад 3

    Знайдіть рівняння кола з радіусом\(\ 6 \sqrt{5}\).

    Рішення

    Підключіть\(\ 6 \sqrt{5}\) для\(\ r\)\(\ x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

    \ (\\ почати {масив} {л}
    x^ {2} +y^ {2} =( 6\ sqrt {5}) ^ {2}\
    x^ {2} +y^ {2} =6^ {2}\ cdot (\ sqrt {5}) ^ {2}\
    x^ {2} +y^ {2} =36\ cdot 5\\
    x^ {2} +y^ {2} =180
    \ end {масив}\)

    Приклад 4

    Знайдіть рівняння кола, що проходить через (5, 8).

    Рішення

    Підключіть (5, 8) для x і y відповідно.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    5^ {2} +8^ {2} &=r^ {2}\\
    25+64 &=r^ {2}\\
    89 &=r^ {2}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Рівняння\(\ x^{2}+y^{2}=89\)

    Приклад 5

    Визначте\(\ (−10, 7)\), чи є на колі\(\ x^{2}+y^{2}=149\).

    Рішення

    Підключіть\(\ (−10, 7)\), щоб перевірити, чи є це дійсним рівнянням.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    (-10) ^ {2} +7^ {2} &=149\
    100+49 &=149
    \ кінець {вирівняний}\)

    Так, точка знаходиться на колі.

    Рецензія

    Графік наступних кіл і знайдіть радіус.

    1. \(\ x^{2}+y^{2}=9\)
    2. \(\ x^{2}+y^{2}=64\)
    3. \(\ x^{2}+y^{2}=8\)
    4. \(\ x^{2}+y^{2}=50\)
    5. \(\ 2 x^{2}+2 y^{2}=162\)
    6. \(\ 5 x^{2}+5 y^{2}=150\)

    Запишіть рівняння окружності з заданим радіусом і по центру на початку.

    1. \(\ 14\)
    2. \(\ 6\)
    3. \(\ 9 \sqrt{2}\)

    Запишіть рівняння окружності, яка проходить через задану точку і знаходиться по центру в початковій точці.

    1. \(\ (7,−24)\)
    2. \(\ (2,2)\)
    3. \(\ (−9,−10)\)

    Визначте, чи є на колі наступні точки,\(\ x^{2}+y^{2}=74\).

    1. \(\ (−8,0)\)
    2. \(\ (7,−5)\)
    3. \(\ (6,−6)\)

    Виклик в геометрії, ви дізналися про дотичні лінії до кола. Нагадаємо, що дотична лінія стосується кола в одній точці і перпендикулярна радіусу в цій точці, званої точкою дотику.

    1. Рівняння кола -\(\ x^{2}+y^{2}=10\) з точкою дотику\(\ (−3,1)\).
      1. Знайти нахил радіуса від центру до\(\ (−3,1)\).
      2. Знайдіть перпендикулярний нахил до (а). Це нахил дотичної лінії.
      3. Використовуйте нахил з (b) і задану точку, щоб знайти рівняння дотичної прямої.
    2. Повторіть кроки в #16, щоб знайти рівняння\(\ x^{2}+y^{2}=34\) дотичної лінії до точки дотику\(\ (3,5)\).

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.3.

    Лексика

    Термін Визначення
    центр Центр кола - це точка, яка визначає розташування кола. Всі точки на колі знаходяться на рівновіддаленому від центру кола.
    Коло Коло - це сукупність всіх точок на певній відстані від заданої точки в двох вимірах.
    Діаметр Діаметр - це міра відстані через центр кола. Діаметр дорівнює подвоєної мірі радіуса.
    Рівняння кола Якщо центр кола дорівнює (0, 0), то рівняння кола має вигляд\(\ x^{2}+y^{2}=r^{2}\), де\(\ r\) - радіус.
    Радіус Радіус кола - це відстань від центру кола до краю кола.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
      Кредит: Тоні Вебстер; Роберт Пернетт
      Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ALas_Vegas_High_Roller_(20216869960).jpg; https://flic.kr/p/nQD1fo