6.1.3: Еліпси, які не зосереджені на початку
- Page ID
- 55077
Еліпси по центру в (h, k)
Ваше домашнє завдання - намалювати еліпс\(\ 16(x-2)^{2}+4(y+3)^{2}=144\). Яка вершина вашого графіка і де будуть розташовуватися осередки еліпса?
Еліпси по центру в (h, k)
Еліпс не завжди потрібно розміщувати з центром у початку. Якщо центром є\(\ (h, k)\) весь еліпс, буде зміщено\(\ h\) одиниці вліво або вправо і k одиниць вгору або вниз. Рівняння стає\(\ \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\). Ми розглянемо, як змінюються вершини, співвершини та вогнища у наступній задачі.
Давайте графуємо\(\ \frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=1\). Потім ми знайдемо вершини, співвершини та вогнища.
По-перше, ми знаємо, що це горизонтальний еліпс, тому що\(\ 16>4\). Тому центром є\(\ (3,-1)\) і\(\ a=4\) і\(\ b=2\). Використовуйте цю інформацію для побудови графіка еліпса.
Для графіка побудуйте центр, а потім вийдіть на 4 одиниці вправо і вліво, а потім вгору і вниз на дві одиниці. Це також, як ви можете знайти вершини та співвершини. Вершини мають значення (3 ± 4, −1) або (7, −1) та (−1, −1). Спільними вершинами є (3, −1 ± 2) або (3, 1) та (3, −3).
Щоб знайти осередки, нам потрібно знайти\(\ c\) за допомогою\(\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\).
\ (\\ почати {вирівняний}
c^ {2} &=16-4=12\\
c &=2\ sqrt {3}
\ кінець {вирівняний}\)
Тому вогнища є\(\ (3 \pm 2 \sqrt{3},-1)\).
З цієї задачі ми можемо створити формули для знаходження вершин, співвершин та вогнищ еліпса з центром\(\ (h, k)\). Крім того, при графіці еліпса, не зосередженого на початку, переконайтеся, що ви розміщуєте центр.
| Орієнтація | Рівняння | Вершини | Ко-вершини | вогнища |
|---|---|---|---|---|
| Горизонтальний | \(\ \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\) | \(\ (h±a, k)\) | \(\ (h, k±b)\) | \(\ (h±c, k)\) |
| Вертикальний | \(\ \frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1\) | \(\ (h, k±a)\) | \(\ (h±b, k)\) | \(\ (h, k±c)\) |
Тепер знайдемо рівняння еліпса з вершинами (−3, 2) та (7, 2) та співвершиною (2, −1).
Ці дві вершини створюють горизонтальну велику вісь, роблячи еліпс горизонтальним. Якщо ви не впевнені, наведіть вказану інформацію на набір осей. Щоб знайти центр, скористайтеся формулою середньої точки з вершинами.
\(\ \left(\frac{-3+7}{2}, \frac{2+2}{2}\right)=\left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right)=(2,2)\)
Відстань від однієї з вершин до центру дорівнює\(\ a,|7-2|=5\). Відстань від співвершини до центру дорівнює\(\ b,|-1-2|=3\). Тому рівняння є\(\ \frac{(x-2)^{2}}{5^{2}}+\frac{(y-2)^{2}}{3^{2}}=1\) або\(\ \frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1\).
Нарешті, давайте проведемо графік\(\ 49(x-5)^{2}+25(y+2)^{2}=1225\) і знайдемо вогнища.
Спочатку ми повинні отримати це в стандартній формі, як і рівняння вище. Щоб зробити праву сторону 1, нам потрібно розділити все на 1225.
\ (\\ почати {масив} {c}
\ розрив {49 (x-5) ^ {2}} {1225} +\ гідророзриву {25 (y+2) ^ {2}} {1225} =\ гідророзриву {1225} {1225}
\\ розрив {(x-5) ^ {2}} {25} +\ гідророзриву {(y+2) ^ {2}} =1
\ end {масив}\)
Тепер ми знаємо, що еліпс буде вертикальним, тому що 25 < 49. a=7, b=5, а центр - (5, −2).
Щоб знайти вогнища, нам спочатку потрібно знайти\(\ c\) за допомогою\(\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\).
\ (\\ почати {масив} {c}
c^ {2} &=49-25=24\\
c&=\ sqrt {24} =2\ sqrt {6}
\ кінець {масив}\)
Вогнищами є\(\ (5,-2 \pm 2 \sqrt{6})\) або\(\ (5,-6.9)\) і\(\ (5,2.9)\).
Приклади
Раніше вас просили знайти вершину вашого графіка і визначити, де будуть розташовуватися вогнища еліпса.
Рішення
Для початку потрібно отримати наше рівняння у вигляді\(\ \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\). Так ділимо обидві сторони на 144.
\ (\\ почати {масив} {r}
\ розрив {16 (x-2) ^ {2}} {144} +\ гідророзриву {4 (y+3) ^ {2}} {144} {144} {144}
\ гідророзриву {(x-2) ^ {2}} {9} +\ гідророзриву {(y+3) ^ {2}} {36}
\ кінець масив}\)
Тепер ми можемо побачити, що\(\ h=2\) і\(\ 3=-k\) чи\(\ k=-3\). Тому походження є\(\ (2,-3)\).
Тому що ми знаємо\(\ 9<36\), що це вертикальний еліпс. Щоб знайти вогнища, використовують\(\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\).
\ (\\ почати {вирівняний}
c^ {2} &=36-9=27\\
c &=\ sqrt {27} =3\ sqrt {3}
\ кінець {вирівняний}\)
Вогнища, отже,\(\ (2,-3+3 \sqrt{3})\) і\(\ (2,-3-3 \sqrt{3})\)
Знайти центр, вершини, співвершини і вогнища\(\ \frac{(x+4)^{2}}{81}+\frac{(y-7)^{2}}{16}=1\).
Рішення
Центром є\(\ (-4,7), a=\sqrt{81}=9\) і\(\ b=\sqrt{16}=4\), зробивши еліпс горизонтальним. Вершини є\(\ (-4 \pm 9,7)\) або\(\ (-13,7)\) і\(\ (5,7)\). Ко-вершини є\(\ (-4,7 \pm 4)\) або\(\ (−4,3)\) і\(\ (-4,11)\). Використовуйте\(\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\) для пошуку\(\ c\).
\ (\\ почати {масив} {л}
c^ {2} &=81-16=65\\
c&=\ sqrt {65}
\ кінець {масив}\)
Вогнищами є\(\ (-4-\sqrt{65}, 7)\) і\(\ (-4+\sqrt{65}, 7)\).
Графік\(\ 25(x-3)^{2}+4(y-1)^{2}=100\) і знайдіть осередки.
Рішення
Змініть це рівняння на стандартну форму для того, щоб зробити графік.
\ (\\ begin {масив} {l}
\ гідророзриву {25 (x-3) ^ {2}} {100} +\ гідророзриву {4 (y-1) ^ {2}} {100} {100} {100}\
\ гідророзриву {(x-3) ^ {2}} {4} +\ гідророзриву {(y-1) ^ {2}} {25} =1
кінець {масив}\)
центр:\(\ (3,1), b=2, a=5\)
Знайдіть вогнища.
\ (\\ почати {вирівняний}
c^ {2} &=25-4=21\\
c &=\ sqrt {21}
\ кінець {вирівняний}\)
Вогнищами є\(\ (3,1+\sqrt{21})\) і\(\ (3,1-\sqrt{21})\).
Знайдіть рівняння еліпса з співвершинами (−3, −6) та (5, −6) та фокусом (1, −2).
Рішення
Ко-вершини (−3, −6) та (5, −6) є кінцевими точками другорядної осі. Він має довжину |−3−5|=8 одиниць, що робить b=4. Серединою між співвершинами є центр.
\(\ \left(\frac{-3+5}{2},-6\right)=\left(\frac{2}{2},-6\right)=(1,-6)\)
Фокус дорівнює (1, −2), а відстань між ним і центром дорівнює 4 одиницям, або\(\ c\). Знайти\(\ a\).
\ (\\ почати {масив} {l}
16=a^ {2} -16\\
32=a^ {2}\
a=\ sqrt {32} =4\ sqrt {2}
\ end {масив}\)
Рівняння еліпса є\(\ \frac{(x-1)^{2}}{16}+\frac{(y+6)^{2}}{32}=1\).
Рецензія
Знайдіть центр, вершини, співвершини та вогнища кожного еліпса нижче.
- \(\ \frac{(x+5)^{2}}{25}+\frac{(y+1)^{2}}{36}=1\)
- \(\ (x+2)^{2}+16(y-6)^{2}=16\)
- \(\ \frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y-3)^{2}}{49}=1\)
- \(\ 25 x^{2}+64(y-6)^{2}=1600\)
- \(\ (x-8)^{2}+\frac{(y-4)^{2}}{9}=1\)
- \(\ 81(x+4)^{2}+4(y+5)^{2}=324\)
- Графік еліпса в #1.
- Графік еліпса в #2.
- Графік еліпса в #4.
- Графік еліпса в #5.
Використовуючи наведену нижче інформацію, знайдіть рівняння кожного еліпса.
- вершини: (−2, −3) та (8, −3) співвершини: (3, −5)
- вершини: (5, 6) та (5, −12) фокус: (5, −7)
- співвершини: (0, 4) та (14, 4) фокус: (7, 1)
- осередки: (−11, −4) та (1, −4) вершина: (−12, −4)
- Розширення Перепишіть рівняння еліпса, 36x 2 + 25y 2 − 72x + 200y − 464 = 0 у стандартному вигляді, заповнивши квадрат як для термінів x, так і для y.
Відповіді на проблеми з оглядом
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.6.
Атрибуції зображень
- [Малюнок 1]
Кредит: Оголошення Мескенс
Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Illu_pancrease.jpg; https://commons.wikimedia.org/wiki/File:President%27s_Park_with_White_House.jpg