Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.1.1: Еліпси з центром у початковій точці

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55083

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Еліпси з центром на початку

    Ваше домашнє завдання - намалювати еліпс\(\ 16 x^{2}+4 y^{2}=144\). Де будуть розташовуватися осередки вашого графіка?

    Еліпси з центром на початку

    Третій конічний переріз - еліпс. Нагадаємо, що коло - це коли площина, прорізана через конус, і ця площина паралельна підставі конуса. Еліпс утворюється, коли ця площина не паралельна основі. Тому коло насправді є більш конкретною версією еліпса.

    F-д_ЕББФ 1191 ДД82058 БД7Ф29Е07671 Б6889 КД80АЕ3Д4Е8А5E2DAE0CE8A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    За визначенням, еліпс - це сукупність всіх точок, таких, що сума відстаней від двох нерухомих точок, званих вогнищами (множиною фокусу), є постійною.

    Малювання еліпса

    Ми будемо використовувати визначення еліпса, щоб намалювати еліпс.

    Крок 1: На аркуші графічного паперу намалюйте набір осей і графік (−2, 0) і (2, 0). Це будуть осередки.

    Крок 2: З визначення ми можемо зробити висновок точка (x, y) знаходиться на еліпсі, якщо сума відстаней завжди постійна. На малюнку d 1 + d 2 = r і g 1 + g 2 = r.

    Крок 3: Визначте, наскільки далеко один від одного знаходяться вогнища. Потім знайдіть d 1 і d 2.

    Крок 4: Визначте, чи знаходиться точка (−2, 3) на еліпсі.

    F-D_29970CE2397D789FBE1268БФД53АЕД Б3Б1ФЦ3082895975462ФА+зображення_крихітка_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    У цій концепції центр еліпса буде (0,0). Еліпс може мати вертикальну або горизонтальну орієнтацію (див. Нижче). Завжди є два вогнища і вони знаходяться на великій осі. Велика вісь - довша з двох осей, які проходять через центр еліпса. Також на головній осі знаходяться вершини, які її кінцеві точки і є найвіддаленішими двома точками один від одного на еліпсі. Коротша вісь, яка проходить через центр, називається незначною віссю, а кінцеві точки називаються співвершинами. Серединою обох осей є центр.

    F-D_259 Ф07КА 71 фут 9C2E5c937d11c42402c481c5751B5C1422720A2C2C936+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNGF-д_Е9А9Ф49 ЕФ58С7164С4ДКА65Д7С37ЕДБ7150Е101 ББ1С639 АА 403C10+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Рівняння еліпса, зосереджене на початку
    \(\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    ГОРИЗОНТАЛЬНИЙ

    Велика вісь - вісь x довжиною 2a.

    незначна вісь - вісь y довжиною 2b.
    \(\ \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\)

    ВЕРТИКАЛЬНІ

    Велика вісь - вісь y довжиною 2a.

    незначна вісь - вісь x довжиною 2b.

    Інші важливі факти

    • a ЗАВЖДИ більше b Якщо вони рівні, ми маємо коло.
    • Вогнища, вершини та співвершини пов'язані через версію теореми Піфагора: c 2 = a 2 − b 2

    Давайте знайдемо вершини, співвершини та вогнища\(\ \frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{25}=1\). Потім, давайте намалюємо еліпс.

    Для початку нам потрібно визначити, чи це горизонтальний або вертикальний еліпс. Оскільки 64 > 25, ми знаємо, що еліпс буде горизонтальним. Тому\(\ a^{2}=64\) виготовлення\(\ a=\sqrt{64}=8\) і\(\ b^{2}=25\), виготовлення\(\ b=\sqrt{25}=5\). Використовуючи наведені вище малюнки, вершини будуть\(\ (8,0)\)\(\ (-8,0)\) і, а співвершини будуть\(\ (0,5)\) і\(\ (0,−5)\).

    Щоб знайти осередки, нам потрібно скористатися рівнянням\(\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\) і вирішити для\(\ c\).

    \ (\\ почати {вирівняний}
    c^ {2} &=64-25=39\\
    c &=\ sqrt {39}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Вогнищами є\(\ (\sqrt{39}, 0)\) і\(\ (-\sqrt{39}, 0)\).

    Щоб скласти графік еліпса, побудуйте вершини та співвершини та з'єднайте чотири точки, щоб зробити замкнуту криву.

    F-D_94817cd9b74E1BE85257Ф35ЕА2Б07ДБКФД 603Б004С45Д72БС4Б84Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Тепер давайте проведемо графік\(\ 49 x^{2}+9 y^{2}=441\) і виявимо вогнища.

    Це рівняння не в стандартній формі. Щоб переписати його в стандартному вигляді, права частина рівняння повинна бути 1. Розділіть все на 441.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    \ розрив {49 x^ {2}} {441} +\ розрив {9 y^ {2}} {441} &=\ розрив {441} {441}\
    \ розрив {x^ {2}} {9}} +\ розрив {y^ {2}}} {49} &=1
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тепер ми бачимо, що це вертикальний еліпс, де\(\ b=3\) і\(\ a=7\).

    F-д_887 де 04FF66F613CFF 563c36c302552E8A722A09E64331A9FA5B00+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Щоб знайти вогнища, використовують\(\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\).

    \ (\\ почати {масив} {c}
    c^ {2} =49-9=40\\
    c=\ sqrt {40} =2\ sqrt {10}
    \ кінець {масив}\)

    Вогнищами є\(\ (0,2 \sqrt{10})\) і\(\ (0,-2 \sqrt{10})\).

    Нарешті, давайте напишемо рівняння для еліпсів із заданими характеристиками нижче і по центру на початку.

    У будь-якій частині ви можете намалювати еліпс, щоб допомогти з орієнтацією.

    1. вершина: (−6, 0), співвершина: (0, 4)

      Можна зробити висновок, що\(\ a=6\) і\(\ b=4\). Еліпс горизонтальний, тому що більша величина - це значення x вершини.\(\ a\) Рівняння є\(\ \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1\).

    2. вершина: (0, 9), фокус: (0, −5)

      Ми знаємо, що\(\ a=9\)\(\ c=5\) і що еліпс вертикальний. Вирішити для\(\ b\) використання\(\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\)

      \ (\\ почати {масив} {l}
      5^ {2} =9^ {2} -b^ {2}\\
      25=81-b^ {2}\\
      b^ {2} =56\ стрілка вправо b = 2\ sqrt {14}
      \ кінець {масив}\)

      Рівняння є\(\ \frac{x^{2}}{56}+\frac{y^{2}}{81}=1\)

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили визначити, де будуть розташовуватися осередки вашого графіка.

    Рішення

    Це рівняння не в стандартній формі. Щоб переписати його в стандартному вигляді, права частина рівняння повинна бути 1. Розділіть все на 144.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    \ розрив {16 x^ {2}} {144} +\ розрив {4 y^ {2}} {144} &=\ розрив {144} {144}\
    \ розрив {x^ {2}} {9} +\ розрив {y^ {2}}} {36} &=1
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тепер ми бачимо, що це вертикальний еліпс, де\(\ b=3\) і\(\ a=6\).

    Щоб знайти вогнища, використовують\(\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\).

    \ (\\ почати {вирівняний}
    c^ {2} &=36-9=27\\
    c &=\ sqrt {27} =3\ sqrt {3}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Вогнища, отже,\(\ (0,3 \sqrt{3})\) і\(\ (0,-3 \sqrt{3})\).

    Приклад 2

    Знайдіть вершини, співвершини та вогнища\(\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}=1\). Потім проведіть графік рівняння.

    Рішення

    Оскільки більша кількість знаходиться під\(\ y^{2}\), еліпс вертикальний. Тому\(\ a=6\) і\(\ b^{2}\). Використовуйте\(\ c^{2}=a^{2}-b^{2}\) для пошуку\(\ c\).

    F-D_7E3608CE83980F2D94D0С8733 ЕД 6 АААК 394А0 АБ129084Д3Б94Ф4Ф4Ф5390+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    \ (\\ почати {масив} {c}
    c^ {2} =6^ {2} -2^ {2} =36-4=32\
    c=\ sqrt {32} =4\ sqrt {2}
    \ end {масив}\)

    вершини:\(\ (0,6)\) і\(\ (0,−6)\)

    співвершини:\(\ (2,0)\) і\(\ (−2,0)\)

    вогнища:\(\ (0,4 \sqrt{2})\) і\(\ (0,-4 \sqrt{2})\)

    Приклад 3

    Графік\(\ 49 x^{2}+64 y^{2}=3136\) і знайдіть осередки.

    Рішення

    Рерайт\(\ 49 x^{2}+64 y^{2}=3136\) в стандартному вигляді.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    \ розрив {49 x^ {2}} {3136} +\ розрив {64 y^ {2}} {3136} &=\ розрив {3136} {3136}\
    \ розрив {x^ {2}} {64} +\ розрив {y^ {2}}} {49} &=1
    \ кінець {вирівняний}\)

    Ф-д_Ф9Б97Ф52706ФД2671Б57Е7С7А3ФД 4619Ф3Ф1 BEA7409F9F9C 305D8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Цей еліпс горизонтальний з\(\ a=8\) і\(\ b=7\). Знайти\(\ c\).

    \ (\\ почати {вирівняний}
    c^ {2} &=64-49=15\\
    c &=\ sqrt {15}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Вогнищами є\(\ (-\sqrt{15}, 0)\) і\(\ (\sqrt{15}, 0)\).

    Приклад 4

    Знайдіть рівняння еліпса з співвершиною\(\ (0,−7)\), фокусом\(\ (15,0)\) і центром на початку.

    Рішення

    Тому що співвершина є\(\ (0,−7)\),\(\ b=7\) а еліпс горизонтальний. З вогнищ ми це знаємо\(\ c=15\). Знайти\(\ a\).

    \ (\\ почати {вирівняний} 15^ {2} &=a^ {2} -7^ {2}\\
    a^ {2} &=225+49=274\ quad\ quad\ text {Рівняння}\ frac {x^ {2}} {274} +\ frac {y^ {2}} {49} =1\
    a&=\ sqrt {274}}\ end {вирівняний}\)

    Рецензія

    Знайдіть вершини, співвершини та вогнища кожного еліпса нижче. Потім графік.

    1. \(\ \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1\)
    2. \(\ 4 x^{2}+25 y^{2}=100\)
    3. \(\ \frac{x^{2}}{64}+y^{2}=1\)
    4. \(\ 81 x^{2}+100 y^{2}=8100\)
    5. \(\ \frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{16}=1\)
    6. \(\ 121 x^{2}+9 y^{2}=1089\)

    Знайдіть рівняння еліпса, зосередженого на початку координат, із заданою інформацією.

    1. вершина: (−3, 0) співвершина: (0, 1)
    2. Ко-вершина: (7, 0) велика вісь: 18 одиниць
    3. вершина: (0, 5) незначна вісь: 4 одиниці
    4. вершина: (0, 6) співвершина: (−2, 0)
    5. ковершина: (17, 0) фокус: (0, 17)
    6. вершина: (4, 0) фокус: (−3, 0)
    7. ковершина: (−6, 0) фокус: (0, 5)
    8. фокус: (0, −9) незначна вісь: 16 одиниць
    9. Застосування реального життя Частина заднього двору Білого дому називається Еліпс. Основна вісь - 1058 футів, а незначна - 903 фути. Знайдіть рівняння горизонтального еліпса, припускаючи, що воно центрується у початковій точці.

    F-D_74897D1 ДБФ ФАЕ 53203 ЕБ2А0С392БФ БББ 7БД Д 06Д236Б60C51F227E88172+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.5.

    Лексика

    Термін Визначення
    Рівняння еліпса Якщо центр еліпса дорівнює (0, 0), рівняння еліпса має форму\(\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) або\(\ \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\).
    Велика вісь Велика вісь еліпса - це найдовший діаметр еліпса.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
      Кредит: Оголошення Мескенс
      Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Illu_pancrease.jpg; https://commons.wikimedia.org/wiki/File:President%27s_Park_with_White_House.jpg