5.3.1: Відстань між точкою та площиною

Відстань між точкою та площиною

Відстань між певною точкою і площиною важливо для ряду різних заходів.

Наприклад, вежа для стрибків з банджі не була б дуже безпечною, якби відстань до землі не вимірювалася в точці безпосередньо під вежею, оскільки будь-який кут від прямо вниз зробить відстань мірою далі і призведе до занадто довгого шнура!

Програміст комп'ютерних ігор повинен знати, як розрахувати відстань між розташуванням персонажа на екрані і стінами навколо нього, щоб розповісти грі, як визначити, коли снаряд потрапляє в ціль, або коли персонаж потрапляє в стіну.

---

Відстань між точкою та площиною

Визначення точки, найближчої до початку

Незалежно від того, яка орієнтація площини, завжди буде одна точка, розташована ближче до початку, ніж будь-яка інша точка на площині. Це означає, що вектор положення для цієї точки коротший, ніж будь-яка інша точка на площині. На діаграмі нижче показана двовимірна проекція площини сірого кольору біля точки, не на площині, чорним кольором. Вектори положення до різних точок показані на схемі. Вектор положення, позначений синім кольором, коротший, ніж вектори положення для інших точок. Цей найкоротший вектор перпендикулярний площині. Ви також можете бачити, що синя лінія є векторною проекцією будь-якого оранжевого вектора на перпендикулярний напрямок.

Ця ортогональність (тобто перпендикулярність) корисна для нас, оскільки це означає, що вектор положення цієї спеціальної точки паралельний вектору нормалі. Тому, якщо ми знаємо рівняння для вектора нормалі і вектор положення для будь-якої точки на площині, ми можемо визначити розташування точки на площині, найближчій до початку, знайшовши проекцію вектора положення даної точки на нормальний напрямок.

Двогранний кут

Кут між двома площинами називається двогранним кутом. Кут між двома площинами такий же, як кут між їх нормальними векторами. Якщо ми хочемо визначити двогранний кут між двома площинами, ми ідентифікуємо нормальні вектори до двох площин, тоді ми можемо використовувати точковий добуток двох нормальних векторів, щоб визначити кут між двома нормалями, який також є двома площинами. Нагадаємо\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta\).

---

Приклади

Приклад 1

Три точки\(\ P=(3,7,2), Q=(1,4,3)\), і\(\ R=(2,3,4)\) визначити площину. Визначте точку на площині, яка найближча до початку.

Рішення

Спочатку знайдіть вектори між двома парами точок.

\ (\\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {P Q} =\ лівий\ ланкут\ ліворуч (Q_ {x} -P_ {x}\ праворуч),\ лівий (Q_ {y} -P_ {y}\ правий),\ лівий (Q_ {z} -P_ {z}\ праворуч)\ правий\ діапазон =\ langle (1-3), (4-7), (4-7), (3-2)\ діапазон =\ лангу-2, -3,1\ діапазон\
\ переправа стрілка {P R} =\ лівий\ кут\ ліворуч\ ліворуч (R_ {x} -P_ {x}\ праворуч),\ ліворуч (R_ {y} -P_ {y}\ праворуч),\ ліворуч (R_ {z} -P_ {z}\ праворуч)\ праворуч\ діапазон =\ ланґль (2-3), (3-7), (4-2)\ діапазон =\ лангу-1, -4,2\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Перехресний добуток цих двох векторів є нормальним до площини.

\ (\\ почати {масив} {l}
\ переправа стрілка {P Q}\ раз\ переправа стрілка {P R} =\ лівий\ кут\ ліворуч (P Q_ {y} P R_ {z} P R_ {y}\ правий),\ лівий (P Q_ {z} P R_ {z} P R_ {x} -P Q_ {x} P {x} P R {x}}\ праворуч),\ ліворуч (P Q_ {x} P R_ {y} -P Q_ {y} P R_ {x}\ праворуч)\ правий\ діапазон\
\ overrightarrow {P Q}\ times\ overrightarrow {P R} =\ лангле [(-3\ cdot 2) - (1\ cdot-4)], [(1\ cdot-1) - (-2\ cdot 2)], [(-2\ cdot-4) - (-1\ cdot-3)]\ діапазон
\\ vec {n} =\ переправа стрілка {P Q}\ раз\ переправа стрілка {Р} =\ lкут [(-6) - (-4)], [(-1) - (-4)], [(8) - (3)]\ діапазон =\ ланг-2,3,5\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Точку на площині, яка є найближчою до початку, можна знайти, визначивши проекцію вектора положення будь-якої з цих трьох точок на вектор нормалі. Пам'ятайте, що векторна проекція одного вектора на напрямок іншого, задається точковим добутком першого вектора на одиничний вектор, що визначає напрямок другого вектора:\(\ (\vec{A} \times \vec{B}) \vec{B}\).

Оскільки ми знаємо три точки на площині, ми можемо використовувати одну з них для вирішення проблеми. Почнемо з точки П. Векторна проекція\(\ \vec{P}\) onto\(\ \hat{n}\) задається\(\ (\vec{P} \times \hat{n}) \hat{n}\), тому спочатку нам потрібно визначити одиничний вектор\(\ \hat{n}\), який задається

\ (\\ почати {масив} {l}
\ hat {n} =\ frac {\ hat {n}} {|\ vec {n} |} =\ frac {\ лівий\ ланкут n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}\ правий\ діапазон} {\ sqrt {n_ {x} ^ {2} +n_ {y} ^ {2} ^ {y} ^ {2} n_ {z} ^ {2}}} =\ frac {\ ланг-2,3,5\ діапазон} {\ sqrt {(-2) ^ {2} +3^ {2} + (5) ^ {2}}} =\ frac {\ ланг-2,3,5\ діапазон} {\ sqrt {38}}} =\ мотузок-0.32,0.49,0.81\ коло\
\ vec {P} \ раз\ капелюх {n} =P_ {x}\ капелюх {n} _ {x} +P_ {y}\ капелюх {n} _ {y} +P_ {z}\ капелюх {n} _ {z} = (3) (-0.32) + (7) (0.49) + (2) (0.81) =\\
-0.96+3.43+1.62=4.09\\
\ vec {P}\ раз\ hat {n})\ hat {n} =( 4.09)\ лангу-0.32,0.49,0.81\ діапазон =\ лангу-1.3088,2.0041,3.3129\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Тому точка на площині, найближчій до початку, дорівнює (-1.3088, 2.0041, 3.3129).

Приклад 2

Три точки\(\ P=(3,7,2), Q=(1,4,3)\), і\(\ R=(2,3,4)\) визначити площину. Визначте двогранний кут між цією площиною і площиною xy.

Рішення

Як ми бачили в прикладі вище, ці три точки визначають площину, яка має вектор нормалі.\(\ \vec{n}=\langle-2,3,5\rangle\)

Нормаль до площини x-y - одиничний вектор\(\ \hat{z}=\langle 0,0,1\rangle\). Щоб знайти кут між цими двома векторами, ми використовуємо той факт, що\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\) і що\(\ \vec{A} \times \vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}\)

Спочатку знайдіть числове значення для точкового добутку:

\ (\\ почати {масив} {л}
\ vec {n}\ раз\ капелюх {z} =n_ {x} z_ {x} +n_ {y} z_ {y} +n_ {z} z_ {z} =( -2\ cdot 0) + (3\ cdot 0) + (5\ cdot 1) =5\\
|\ vec {n} |=\ sq rt {n_ {x} ^ {2} +n_ {y} ^ {2} +n_ {z} ^ {2}} =\ sqrt {(-2) ^ {2} + (3) ^ {2} + (5) ^ {2}} =\ sqrt {4+9+25} =\ sqrt {38}\
|\ капелюх {z} |=\ sqrt {_ {x} ^ {2} +z_ {y} ^ {2} +z_ {z} ^ {2}} =\ sqrt {0^ {2} +0^ {2} +1^ {2}} =1
\ кінець {масив}\)

Потім знайдіть версію косинуса крапкового добутку:

\(\ \vec{n} \times \hat{z}=\sqrt{38} \cos \theta\)

Тепер зрівняйте два і вирішіть для кута, θ

\ (\\ почати {масив} {l}
\ vec {n}\ раз\ капелюх {z} =5=\ sqrt {38}\ cos\ тета\
\ тета =\ cos ^ {-1}\ лівий (\ frac {5} {\ sqrt {38}}\ праворуч) =62.5^ {\ circ}
\ кінець {масив}\)

Приклад 3

Визначте двогранний кут між двома площинами 12 х + 23 y + 14 z - 5 = 0 і 7 x + 3 y + z + 12 = 0.

Рішення

Двогранний кут визначається як кут між двома площинами. Цей кут також дорівнює куту між нормалями до двох площин. У двох попередніх задачах ми визначили одиничні вектори, які перпендикулярні цим двом площинам\(\ \overrightarrow{n_{1}}=\left\langle\frac{12}{29.5}, \frac{23}{29.5}, \frac{14}{29.5}\right\rangle\) і\(\ \overrightarrow{n_{2}}=\left\langle\frac{7}{\sqrt{59}}, \frac{3}{\sqrt{59}}, \frac{1}{\sqrt{59}},\right\rangle\). Потім ми можемо використовувати точковий добуток цих двох нормальних векторів, щоб визначити кут між ними. Точковий продукт визначається як\(\ \vec{A} \times \vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}+\ldots\) і як\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|A||B| \cos \theta\). Спочатку нам потрібно знайти складову версію крапкового добутку та величини двох нормальних векторів.

\ (\\ begin {масив} {l}
\ переправа стрілка {n_ {1}}\ times\ стрілка переправо {n_ {2}} =\ переправа {n_ {1 x} n_ {2 x}} +\ переправа {n_ {1 y} n_ {2 y}} +\ переправа {n_ {1 z} n_ {2 y}} +\ переправа {n_ {1 z} n_ {2 y} z}} =\ frac {12\ cdot 7} {29,5\ sqrt {59}} +\ frac {23\ cdot 3} {29\ cdot 5\ sqrt {59}} +\ frac {14\ cdot 1} {29.5\ sqrt {59}}\
\ переправа стрілка {n_ {1}}\ раз\ переправа стрілка {n_ {2}} =\ frac {12\ cdot 7} {29,5\ sqrt {59}} +\ frac {23\ cdot 3} {29,5\ sqrt {59}} +\ frac {14\ cdot 1} {29.5\ sqrt {59}} =\ frac 119} {226.6} +\ гідророзриву {69} {226.6} +\ гідророзриву {14} {226.6} =\ гідророзриву {202} {226.6} =0.891
\ end {масив}\)

Оскільки ці два вектори є одиничними векторами, їх величини обидва рівні 1.

\ (\\ почати {масив} {l}
\ cos\ theta =\ frac {\ переправа стрілка {n_ {1}}\ times\ переправа {n_ {2}}} {\ ліворуч |\ переправа стрілка {n_ {1}}\ праворуч |\ ліворуч |\ переправа {n_ {2}}\ праворуч |} =\ frac {0.891} {(1) (1)} =0.891\\ тета=
\ cos ^ {-1} 0,891=27.0^ {\ circ}
\ end {масив}\)

Приклад 4

Визначте кут між площиною 2 х - 5 y + 8 - 10 = 0 і y - z площиною.

Рішення

Двогранний кут визначається як кут між двома площинами і також дорівнює куту між двома нормальними одиничними векторами. У цьому випадку ми вже знаємо нормальний одиничний вектор для площини y-z,\(\ \hat{x}=\langle 1,0,0\rangle\). Нам ще потрібно визначити, однак, одиничний вектор для площини 2 х - 5 y + 8 z - 10 = 0.

Порівнюючи це рівняння з\(\ n_{x} x+n_{y} y+n_{z} z+d=0\), ми бачимо, що\(\ \vec{n}=\langle 2,-5,8\rangle\).

Тепер ми можемо використовувати визначення вектора одиниці виміру.

\(\ \hat{n}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{\left\langle n_{x}, n_{y}, n_{z}\right\rangle}{\sqrt{n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}=\frac{\langle 2,-5,8\rangle}{\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}+8^{2}}}=\frac{\langle 2,-5,8\rangle}{\sqrt{4+25+64}}=\frac{\langle 2,-5,8\rangle}{9.64} = \left\langle\frac{2}{9.64}, \frac{-5}{9.64}, \frac{8}{9.64}\right\rangle\)

Кут між двома площинами дорівнює куту між двома нормальними векторами.

Потім ми можемо використовувати точковий добуток цих двох нормальних векторів, щоб визначити кут між ними. Точковий продукт визначається як\(\ \vec{A} \times \vec{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}+\ldots\) і як\(\ \vec{A} \times \vec{B}=|A||B| \cos \theta\). Спочатку нам потрібно знайти складову версію крапкового добутку та величини двох нормальних векторів.

\(\ \overrightarrow{n_{1}} \times \overrightarrow{n_{2}}=\overrightarrow{n_{1 x}} \overrightarrow {n_{2 x}}+\overrightarrow{n_{1 y}} \overrightarrow{n_{2 y}}+\overrightarrow{n_{1 z}}\overrightarrow {n_{2 z}}=\frac{2 \cdot 1}{9.64}+\frac{-5 \cdot 0}{9.64}+\frac{8 \cdot 0}{9.64}=\frac{2}{9.64}=0.2074\)

Оскільки ці два вектори є одиничними векторами, їх величини обидва рівні 1.

\ (\\ почати {масив} {l}
\ cos\ theta =\ frac {\ переправа стрілка {n_ {1}}\ times\ переправа {n_ {2}}} {\ ліворуч |\ переправа стрілка {n_ {1}}\ праворуч |\ ліворуч |\ переправа {n_ {2}}\ праворуч |} =\ frac {0.2074} {(1) (1)} =0.2074\\ тета=
\ cos ^ {-1} 0.2074=16.18^ {\ circ}
\ end {масив}\)

Приклад 5

Три точки\(\ \vec{P}=\langle-2,3,4\rangle, \vec{Q}=\langle 5,-6,7\rangle\), і\(\ \vec{R}=\langle 8,9,-1\rangle\) визначити площину. Визначте точку на площині, яка найближча до початку.

Рішення

Точку на площині, найближчій до початку, можна знайти, визначивши проекцію вектора положення однієї з цих трьох точок на вектор нормалі. Пам'ятайте, що векторна проекція одного вектора на напрямок іншого задається точковим добутком першого вектора на одиничний вектор, що визначає напрямок другого вектора:\(\ (\vec{P} \times \hat{n}) \hat{n}\).

Ми можемо використовувати вектори положення для трьох точок, щоб визначити два вектори в площині. Після того, як ми отримаємо ці два вектори, їх перехресний добуток визначить напрямок, нормальний до площини. Спочатку знайдіть два рівняння в площині:

\ (\\ begin {масив} {l}
\ vec {A} =\ vec {Q} -\ vec {P} =\ ланґль 5, -6,7\ діапазон-\ лангл-2,3,4\ діапазон=\ лангл 7, -9,3\ діапазон\
\ vec {B} =\ vec {R} -\ vec {P} =\ langle 8,9, -1\ кут- лангл-2,3,4\ діапазон =\ лангове 10,6, -5\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Тепер визначаємо перехресний добуток двох векторів

\ (\\ почати {масив} {l}
\ vec {n} =\ vec {A}\ times\ vec {B} =\ лівий\ кут\ лівий (A_ {y} B_ {z} -A_ {z} B_ {y}\ праворуч),\ лівий (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z}\ праворуч),\ лівий (A_ {z} B_ {z}\ правий),\ лівий (A_ {z} B_ {z} A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x}
\ правий)\ правий\ діапазон\\ vec {n} =\ vec {A}\ times\ vec {B} =\ кут (45-18), (30- (-35)), (42+90)\ діапазон\
\ vec {n} =\ vec {A}\ times\ vec {B} =\ лангл 27,65,132\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Тепер нам потрібно визначити одиничний вектор, пов'язаний з цим нормальним вектором.

\ (\\ почати {масив} {l}
\ hat {n} =\ frac {\ vec {n}} {|\ vec {n} |} =\ frac {\ лівий\ ланкут n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}\ правий\ діапазон} {\ sqrt {n_ {x} ^ {2} +n_ {y} ^ {2} ^ {y} ^ {2} n_ {z} ^ {2}} =\ frac {\ кут 27,65,132\ діапазон} {\ sqrt {27^ {2} + (65) ^ {2} + (132) ^ {2}}} =\ frac {\ лангл 27,65,132\ діапазон} {\ sqrt {22378}}\
\ hat {n} =\ frac {\ vec {n}} { |\ vec {n} |} =\ кут 0.181,0.435,0.882\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Тепер визначаємо векторну прогресію одного з трьох векторів початкового положення на напрямок цієї нормальної одиниці-вектора:\(\ (\vec{P} \times \hat{n}) \hat{n}\). Пам'ятайте, що точковий добуток задається

\ (\\ почати {масив} {л}
\ vec {A}\ times\ vec {B} =A_ {x} B_ {x} +A_ {y} B_ {y} +A_ {z} B_ {z} +\ ldots\
(\ vec {P}\ час\ капелюх {n})\ капелюх {n} =( -2 (0.181) +3 (0.435) +4 (0.882))\ лангле 0.181,0.435,0.882\ діапазон\\
(\ vec {P}\ раз\ капелюх {n})\ капелюх {n} = (4.471)\ лангл 0.181,0.435,0.882\ діапазон\\
(\ vec {P}\ times\ hat {n})\ hat {n} = (4.471)\ лангле 0.181,0.435,0.882\ діапазон =\ кут 0.809,1945,3.943\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Приклад 7

Визначте точку на площині 7 х + 3 y + z + 12 = 0, яка найближча до початку.

Рішення

Точку на площині, найближчій до початку, можна знайти, визначивши проекцію вектора положення будь-якої точки на площині на вектор нормалі. Векторна проекція одного вектора на напрямок іншого задається точковим добутком першого вектора на одиничний вектор, що визначає напрямок другого вектора:\(\ (\vec{P} \times \hat{n}) \hat{n}\).

У цьому випадку ми можемо визначити нормальний вектор за допомогою рівняння площини. Порівнюючи 7 x + 3 y + z + 12 = 0 з загальним рівнянням\(\ n_{x} x+n_{y} y+n_{z} z+d=0\), ми можемо побачити, що\(\ \vec{n}=\langle 7,3,1\rangle\) і

\(\ \hat{n}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{\left\langle n_{x}, n_{y}, n_{z}\right\rangle}{\sqrt{n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}=\frac{\langle 7,3,1\rangle}{\sqrt{(7)^{2}+(3)^{2}+(1)^{2}}}=\frac{\langle 7,3,1\rangle}{\sqrt{49+9+1}}=\frac{\langle 7,3,1\rangle}{\sqrt{59}} = \left\langle\frac{7}{\sqrt{59}}, \frac{3}{\sqrt{59}}, \frac{1}{\sqrt{59}}\right\rangle\)

Нам також потрібно знати розташування точки на площині. Якщо записати рівняння площини у вигляді перехоплення, то можна визначити вектор положення для х-, y- і z-перехоплень площини.

Рівняння\(\ 1=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) має бути істинним для всіх точок на площині. Тому спочатку слід переставити 7 х +3 y + z + 12 = 0 в форму\(\ 1=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\).

\(\ 7 x+3 y+z=-12 \text { becomes } \frac{7}{-12} x+\frac{3}{-12} y+\frac{1}{-12} z=1\)

Тому\(\ a=\frac{-12}{7}, b=\frac{-12}{3}=-4\),\(\ c=\frac{-12}{1}=-12\) і вектори положення трьох перехоплень є\(\ \vec{A}=\langle-1.714,0,0\rangle, \vec{B}=\langle 0,-4,0\rangle\), і\(\ \vec{C}=\langle 0,0,-12\rangle\).

Для завершення завдання обчислити точковий добуток.

\(\ (\vec{B} \times \hat{n}) \hat{n}=\left(B_{x} \hat{n}_{x}+B_{y} \hat{n}_{y}+B_{z} \hat{n}_{z}\right) \hat{n} = \left(0\left(\frac{7}{\sqrt{59}}\right)-4\left(\frac{3}{\sqrt{59}}\right)+0\left(\frac{1}{\sqrt{59}}\right)\right)\left\langle\frac{7}{\sqrt{59}}, \frac{3}{\sqrt{59}}, \frac{1}{\sqrt{59}}\right\rangle\)

\(\ (\vec{B} \times \hat{n}) \hat{n}=\frac{-12}{\sqrt{59}}\left\langle\frac{7}{\sqrt{59}}, \frac{3}{\sqrt{59}}, \frac{1}{\sqrt{59}}\right\rangle=\left\langle\frac{-84}{59}, \frac{-36}{59}, \frac{-12}{59}\right\rangle=\langle-1.424,-0.610,-0.203\rangle\)

---

Рецензія

Три точки визначають площину. Визначте точку на площині, яка найближча до початку.

1. \(\ P=(3,6,9), Q=(9,6,3) \text { and } R=(6,-9,9)\)
2. \(\ P=(1,-7,2), Q=(4,2,9) \text { and } R=(3,-5,1)\)
3. \(\ P=(3,8,10), Q=(-2,5,8) \text { and } R=(7,4,8)\)
4. \(\ P=(9,-1,4), Q=(6,2,-8) \text { and } R=(12,9,10)\)
5. \(\ P=(5,8,-9), Q=(-5,3,9) \text { and } R=(10,4,-6)\)

Визначте двогранний кут між кожною з площин в питаннях 1-5 і площиною xy. \(\ |\vec{n}|\)Скористайтеся обчисленим для кожної площини і нагадайте, що нормаль до площини x-y є одиничним вектором\(\ \hat{z}=\langle 0,0,1\rangle\).

6. \(\ P=(3,6,9), Q=(9,6,3) \text { and } R=(6,-9,9)\)
7. \(\ P=(1,-7,2), Q=(4,2,9) \text { and } R=(3,-5,1)\)
8. \(\ P=(3,8,10), Q=(-2,5,8) \text { and } R=(7,4,8)\)
9. \(\ P=(9,-1,4), Q=(6,2,-8) \text { and } R=(12,9,10)\)
10. \(\ P=(5,8,-9), Q=(-5,3,9) \text { and } R=(10,4,-6)\)

Визначте двогранний кут між двома площинами.

11. \(\ 9 x+17 y-4 z-7=0 \text { and }-17 x+24 y+14 z+2=0\)
12. \(\ 2 x-4 y+10 z-11=0 \text { and } 2 x-9 y+4 z+12=0\)
13. \(\ -7 x+20 y+6 z+4=0 \text { and }-19 x-3 y+z+5=0\)
14. \(\ 5 x-8 y+20 z-5=0 \text { and } 6 x+y+19 z-7=0\)
15. \(\ 14 x+11 y-5 z-16=0 \text { and } 11 x-13 y+8 z+4=0\)
16. \(\ -10 x+9 y+2 z+8=0 \text { and } 21 x+7 y-4 z+15=0\)

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.8.

---

Лексика

Термін	Визначення
Двогранний кут	Двогранний кут - це кут між двома площинами в тривимірному просторі.
Походження	Походження - точка перетину осей x і y на декартовій площині. Координати початку координат є (0, 0).
ортогональність	Бути ортогональним - це бути перпендикулярно.
Перпендикуляр	Перпендикулярні лінії - це лінії, які перетинаються під кутом 90 ^о. Твір ухилів двох перпендикулярних ліній дорівнює -1.
літак	Площина - це рівна двовимірна поверхня. Його можна осмислити як аркуш паперу нескінченної площі.
вектор положення	Вектор положення описує пряму лінію між початковою точкою (зазвичай початковою точкою) і розташуванням другої точки на координатній площині.