5.1.2: Тривимірні позиції

Тривимірні позиції

Брайан щойно увійшов до музею. Дивлячись на карту «Ти тут», він бачить, що його улюблений експонат «Динозаври в русі!» був перенесений на третій поверх, і знаходиться в четвертій кімнаті праворуч.

Брайан добре знає музей, тому він знає, що вхід - це перша кімната зліва на першому поверсі, і вже знайомий з музейним плануванням 8 кімнат з кожного боку головного залу на кожному поверсі, зі сходами перед будівлею.

Як можна було описати розташування експоната динозавра в тривимірних координатах? Що таке зміщення кімнати динозавра з його положення біля парадного входу?

---

Тривимірні позиції

Прямокутна (або декартова) система координат використовується для опису площини, розділеної на чотири квадранти, як показано нижче зліва. (Зверніть увагу, кольорові квадрати використовуються, щоб допомогти вам візуалізувати простір, пам'ятайте, що координатні площини насправді простягаються назовні до нескінченності.)

Декартова система координат, яка використовується для опису тривимірного простору, складається з початку та шести відкритих осей, + z та — z перпендикулярні площині x-y. Ці осі визначають три площини, які ділять простір на вісім частин, відомих як октанти, як показано вище праворуч. Подумайте про ці площини як розрізання простору трьома способами: зліва направо, зверху вниз і спереду назад.

За домовленістю, ми нумеруємо чотири квадранти площини xy таким чином: точки в квадранті 1 мають координати+x і +y, ті в квадранті 2 мають —x і +y, ті в квадранті 3 мають —x і —y, а ті в квадранті 4 мають +x і —y, в даний час немає стандартизованої системи нумерації для октанти в тривимірному просторі, хоча більшість людей ототожнюють область з +x, +y та +z як перший октант. Метод, який використовується для ідентифікації октантів, полягає в усній вказівці частини простору, яку вони займають. Наприклад, перший октант також можна було ідентифікувати як (верхній, передній, правий).

Вектори положення в тривимірному просторі все ще представлені стрілками, які починаються з початку і закінчуються в точці, про яку йде мова. На схемі вище показана точка, Р, розташована спереду, нижче, справа октанта. Три складові вектора положення (P _x, P _y та P _z) показані на схемі. Згідно теоремі Піфагора, величина вектора положення задається:

\(\ |\vec{P}|=\sqrt{P_{x}^{2}+P_{y}^{2}+P_{z}^{2}}\)

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вам задавали питання про Брайана, який хоче описати розташування експоната динозавра в 3-х вимірах.

Рішення

Брайан добре знає музей, тому він знає, що вхід - це перша кімната зліва на першому поверсі, і вже знайомий з музейним плануванням 8 кімнат з кожного боку головного залу на кожному поверсі, зі сходами перед будівлею. Як можна було описати розташування експоната динозавра в тривимірних координатах? Що таке зміщення кімнати динозавра з його положення біля парадного входу?

Можна припустити, що система координат використовує будь-які одиниці, які ви хочете, в цьому випадку інформація про місцезнаходження подається в одиницях «кімнати» та «поверхи». Нехай вісь x представляє горизонтальну ліву та праву сторони головних залів, y може бути вертикальною віссю, а z може бути передньою віссю кімнат у кожному залі.

Нехай початкове положення Брайана на вході представляють (0,0,0) в тривимірних прямокутних координатах. «Динозаври в русі!» знаходиться на третьому поверсі, і знаходиться в четвертій кімнаті праворуч.

(2,3,4) представляв би виставкову кімнату динозаврів.

Оскільки ми були розумними та орієнтували нашу систему координат на вході, векторне зміщення таке ж, як розташування кімнати: ⟨2rooms, 3floors,4room⟩.

Приклад 2

Дарнелл їхав додому з футбольного матчу в сусідньому місті, коли він повернувся, щоб уникнути оленя, який побіг на дорогу. На щастя для Дарнелла, він зміг уникнути попадання в оленя. На жаль, його машина опинилася в кювет біля дороги. Коли він не зміг самостійно зняти машину з канави, він пройшов через довколишнє поле до сімейної ферми Такера, щоб попросити про допомогу. Пізніше Дарнелл подивився на топографічну карту і визначив свою поїздку через поле. Він проїхав 300 ярдів на південь і 750 метрів на захід від того місця, де він залишив свою машину. Карта показала, що він також йшов у гору з висоти 800 футів до висоти 850 футів над рівнем моря. Якщо розглядати розташування автомобіля Дарнелла як початок координат, який вектор положення ферми Такера?

Рішення

Визначте систему координат, де x = E, y = N, а z = вгору. Оскільки Дарнелл йшов на південь і захід від машини, координати x і y ферми обидва негативні. Якщо ми виміряємо всі відстані в футах (1 двір = 3 фути), вектор положення ферми можна записати як

\(\ \vec{P}=\left\langle P_{\text {east }}, P_{\text {north }}, P_{u p}\right\rangle=\langle-2250,-900,50\rangle\).

Зауважте в цьому прикладі, що відстань ходьби Дарнелла була вказана у дворах, тоді як зміна висоти давалася в футах. Вам потрібно стежити за цими невеликими змінами, коли ви вирішуєте реальні проблеми.

Приклад 3

Зік насолоджується днем у місцевому скейт-парку. На схемі нижче показано його початкове положення і його кінцеве положення в найвищій точці на новому пагорбі.

Виберіть дві різні системи координат, які могли б описати цю систему. Знайдіть початкові та кінцеві вектори положення Зіка в кожній з двох систем координат. Потім визначте вектор зміщення від його вихідного положення до його кінцевого положення на вершині пагорба.

Рішення

Одне з можливих координат знаходиться в початковій позиції Zeke. При цьому вектор початкового положення задається\(\ \vec{r}_{i}=\langle 0 m, 0 m, 0 m\rangle\) і його кінцеве положення задається\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 6.1 m, 2.3 m, 0 m\rangle\). Зсув Зіка - це різниця між цими двома векторами,

\(\ \overrightarrow{\triangle r}=\vec{r}_{f}-\vec{r}_{i}=\langle 6.1 m, 2.3 m, 0 m\rangle-\langle 0 m, 0 m, 0 m\rangle=\langle 6.1 m, 2.3 m, 0 m\rangle\)

Ще одне можливе походження координат знаходиться в точці, позначеній O на схемі нижче. У цьому випадку його початкове положення дається\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle-6.1 m, 0 m, 0 m\rangle\) і його остаточне положення дається\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 0 m, 2.3 m, 0 m\rangle\). Зсув Зіка - це різниця між цими двома векторами,

\(\ \overrightarrow{\triangle r}=\vec{r}_{f}-\vec{r}_{i}=\langle 0 m, 2.3 m, 0 m\rangle-\langle-6.1 m, 0 m, 0 m\rangle=\langle 6.1 m, 2.3 m, 0 m\rangle\)

Зверніть увагу, що вектори положення, що представляють цей рух, залежать від вибору системи координат, але вектор зміщення не залежить від системи координат.

Приклад 4

Студент-архітектор проектує гвинтові сходи, модель якої показана нижче. Сходи накручують свій шлях навколо циліндра радіусом 3,5 м і висотою 11 м. сходи роблять 1 7/8 оборотів, просуваючись проти годинникової стрілки від її початку в точці А до її кінцевої точки в Б., Використовуючи початок координат внизу центру сходів, визначте вектори положення точок А і В. Потім знайдіть вектор зміщення між двома точками.

Рішення

Як ви можете бачити на діаграмі зверху, точка А знаходиться безпосередньо ліворуч від початку координат, тому вектор положення для точки А задається\(\ \overrightarrow{r_{A}}=\langle-R, 0,0\rangle=\langle-3.5 m, 0,0\rangle\).

Точка Б розташована на 11м вище точки А і 7/8 одного обороту проти годинникової стрілки дорівнює 1/8 одного обороту за годинниковою стрілкою, тому θ = 45 ^o. Ми також можемо використовувати геометрію системи для визначення координат x і z точки B:

\ (\\ begin {масив} {l}
\ overrightarrow {r_ {B}} =\ лангл-r\ cos\ тета, R\ sin\ тета, H\ діапазон =\ лівий\ лангл (-3.5 м)\ cos 45^ {\ circ}, (3.5 м)\ sin 45^ {\ circ}, 11 м\ праворуч\ діапазон\
=\ ланже-2.475 м, 2.475 м, 11 м\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Вектор зміщення між цими двома точками є вектором, який підпорядковується рівнянню:

\ (\\ begin {масив} {l}
\ переправа стрілка {\ трикутник r} =\ переправа стрілка {r_ {B}} -\ переправа стрілка {r_ {A}}
\\ переправа стрілка {\ трикутник r} =\ лангу-2.475 м, 2.475 м, 11 м\ діапазон-\ langle-3.5 м, 0 м\ діапазон\\
\ стрілка направо {\ трикутник r} =\ кут нахилу (-2,475 м- (-3,5 м)), (2,475 м-0 м) , (11 м-0 м)\ діапазон =\ кут нахилу 1,025 м, 2,475 м, 11 м\ діапазон
\ кінець {масив}\)

Приклад 5

Визначте середину між точками Р = (3,7, 8,4, -2,1) і Q = (5,5, -1,9, -8,6).

Рішення

Щоб знайти середню точку між двома точками, визначте середнє значення двох позицій.

\ (\\ begin {масив} {l}
\ ліворуч. \ left.m=\ ліворуч (\ розрив {1} {2} (3.7+5.5),\ розрив {1} {2} (8.4+ (-1.9)),\ розрив {1} {2} (-2.1+ (-8.6))\ праворуч) =\ лівий (\ розрив {1} {2} (9.2),\ frac {1} {2} (9.2),\ frac {1} {2} {2} (6.5)\ праворуч),\ frac {1} {2} (-10.7)\ право)\ праворуч)\\
M =( 4.6,3.25, -5.35)
\ end {масив}\)

Приклад 6

Намалюйте тривимірний вектор\(\ \vec{A}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}\)

Рішення

I, j і k - одиничні вектори відповідно в додатному напрямку осей x, y та z.

Приклад 7

Намалюйте тривимірний вектор\(\ \vec{A}=-3 \hat{i}+-4 \hat{j}-5 \hat{k}\)

Рішення

I, j і k - одиничні вектори відповідно у від'ємному напрямку осей x, y та z.

---

Рецензія

Задано: початкове та кінцеве положення векторів системи координат. Визначте вектор зміщення або середину від початкового до кінцевого положення.

1. Що таке зміщення або різниця між цими двома векторами? Вектор початкового положення\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle 0 m, 0 m, 0 m\rangle\) і кінцевий вектор положення\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 16.1 \mathrm{~m}, 7.5 \mathrm{~m}, 3 \mathrm{~m}\rangle\).
2. Що таке зміщення або різниця між цими двома векторами? Вектор початкового положення\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle 0 m i, 0 m i, 0 m i\rangle\) і кінцевий вектор положення\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 9.4 m i, 12.5 m i, 6.6 \mathrm{mi}\rangle\).
3. Що таке зміщення або різниця між цими двома векторами? Вектор початкового положення\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle 5 k m, 3 k m, 8 k m\rangle\) і кінцевий вектор положення\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 10 k m, 20 k m, 19 k m\rangle\).
4. Що таке зміщення або різниця між цими двома векторами? Вектор початкового положення\(\ \vec{r}_{i}=\langle 1 cm, 3 cm, 1 cm\rangle\) і кінцевий вектор положення\(\ \vec{r}_{f}=\langle 5.1 cm, 2 cm, 5 cm\rangle\).
5. Що таке зміщення або різниця між цими двома векторами? Вектор початкового положення\(\ \overrightarrow{r_{i}}=\langle 5.6 mm, 10.2 mm, 2.2 mm\rangle\) і кінцевий вектор положення\(\ \overrightarrow{r_{f}}=\langle 20.4 m m, 31.1 mm, 1.1 mm\rangle\).
6. Що таке зміщення або різниця між цими двома векторами? Вектор початкового положення\(\ \vec{r}_{i}=\langle 1 in, 2 in, 3 in \rangle\) і кінцевий вектор положення\(\ \vec{r}_{f}=\langle 4 i n, 5 i n, 3 i n\rangle\).

Визначте середину між точками A і B.

7. \(\ \mathrm{A}=\langle 0 m, 0 m, 0 m\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 16.1 m, 7.5 m, 3 m\rangle\)
8. \(\ \mathrm{A}=\langle 0 mi, 0 mi, 0 mi\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 9.4 mi, 12.5 mi, 6.6 mi\rangle\)
9. \(\ \mathrm{A}=\langle 5 k m, 3 k m, 8 k m\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 10 k m, 20 k m, 19 k m\rangle\)
10. \(\ \mathrm{A}=\langle 1 cm, 3 cm, 1 cm\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 5.1 cm, 2 cm, 5 cm\rangle\)
11. \(\ \mathrm{A}=\langle 5.6 mm, 10.2 mm, 2.2 mm\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 20.4 m, 31.1 mm, 1.1 mm\rangle\)
12. \(\ \mathrm{A}=\langle 1 i n, 2 i n, 3 i n\rangle \text { and } \mathrm{B}=\langle 4 i n, 5 i n, 3 i n\rangle\)

Намалюйте тривимірний вектор.

13. \(\ \vec{A}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}\)
14. \(\ \vec{A}=5 \hat{i}-3 \hat{j}+1 \hat{k}\)
15. \(\ \vec{A}=7 \hat{i}+1 \hat{j}-4 \hat{k}\)
16. \(\ \vec{A}=-7 \hat{i}-4 \hat{j}+8 \hat{k}\)
17. \(\ \vec{A}=-4 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k}\)
18. \(\ \vec{A}=-3 \hat{i}-2 \hat{j}-5 \hat{k}\)

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.3.

---

Лексика

Термін	Визначення
середина	Середина двох векторів - це розташування в центрі їх кінцевих точок.
октант	Октант - це будь-який з восьми «кутів» тривимірної прямокутної системи координат.
вектор положення	Вектор положення описує пряму лінію між початковою точкою (зазвичай початковою точкою) і розташуванням другої точки на координатній площині.
квадрант	Квадрант - це одна четверта координатної площини. Чотири квадранти нумеруються за допомогою римських цифр I, II, III та IV, починаючи у верхньому правому куті та збільшуючись проти годинникової стрілки.
Квадранти	Квадрант - це одна четверта координатної площини. Чотири квадранти нумеруються за допомогою римських цифр I, II, III та IV, починаючи у верхньому правому куті та збільшуючись проти годинникової стрілки.