3.5.5: Логістичні функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55004

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Логістичні функції

Експоненціальне зростання збільшується без обмежень. Це розумно для деяких ситуацій; однак для населення зазвичай існує певний тип верхньої межі. Це може бути викликано обмеженнями на їжу, простір або інші дефіцитні ресурси. Ефект цієї граничної верхньої межі - це крива, яка спочатку зростає експоненціально, а потім сповільнюється і майже не росте взагалі. Такий тип зростання називається логістичним зростанням. Які ще ситуації, коли логістичне зростання було б відповідною моделлю?

Логістичні функції

Логістичне зростання можна описати логістичним рівнянням. Логістичне рівняння має вигляд:

\(\ f(x)=\frac{c}{1+a \cdot b^{x}}\)

Наступна логістична функція має вантажопідйомність 2, яку можна безпосередньо спостерігати за її графіком.

\(\ f(x)=\frac{2}{1+0.1^{x}}\)

Важливе зауваження щодо логістичної функції полягає в тому, що вона має точку перегину. З попереднього графіка можна спостерігати, що в точці (0, 1) графік переходить від кривої вгору (увігнутою вгору) до кривої вниз (увігнутою вниз). Ця зміна кривизни буде вивчена більше в обчисленні, але наразі важливо знати, що точка перегину відбувається на півдорозі між несучою здатністю та віссю x.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, для яких ситуацій підходить логістична модель.

Рішення

Логістична модель підходить, коли загальна кількість має верхню межу, а початкове зростання є експоненціальним. Прикладами є поширення чуток і хвороб у обмеженій популяції та зростання бактерій або людської популяції, коли ресурси обмежені.

Приклад 2

Слух поширюється в школі, яка має загальну кількість учнів 1200. Чотири людини знають слух, коли він починається, і через три дні триста людей знають чутки. Про те, скільки людей в школі знають слух до четвертого дня?

Рішення

У обмеженому населенні кількість людей, які знають чутку, є прикладом ситуації, яку можна змоделювати за допомогою логістичної функції. Населення становить 1200, так що це буде пропускна здатність.

Ідентифікаційна інформація: c=1200; (0,4); (3,300). По-перше, використовуйте точку (0, 4), щоб вирішити для a.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ розрив {1200} {1+a\ cdot b^ {0}} &=4\
\ гідророзриву {1200} {1+a} &= 4\\
\ розрив {1200} {4} &=1+a\
a &=299
\ кінець {вирівняний}\)

Далі використовуйте точку (3, 300), щоб вирішити для b.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ розрив {1200} {1+299\ cdot b^ {3}} &=300\\
4 &=1+299 b^ {3}\
\ розрив {3} {299} &=b^ {3}\\
0.21568 &\ приблизно б
\ кінець {вирівняний}\)

Моделювання рівняння при x = 4:

\(\ f(x)=\frac{1200}{1+299 \cdot 0.21568^{x}} \rightarrow f(4) \approx 729 \text { people }\)

Подібна картина росту буде існувати при будь-якому інфекційному захворюванні, яке швидко поширюється і може заразити людину чи тварину лише один раз.

Приклад 3

Особливий вид водоростей вирощується в гігантських прозорих пластикових резервуарах і може бути заготовлений для виготовлення біопалива. Водоростям дають багато їжі, води та сонячного світла, щоб швидко рости, і єдиним обмежуючим ресурсом є простір у резервуарі. Водорості збирають, коли 95% резервуара заповнене, залишаючи резервуар на 5% повний водоростей для відтворення та поповнення резервуара. В даний час між урожаями становить двадцять днів, а окупність становить 90% врожаю. Ви б порекомендували більш оптимальний графік збору врожаю?

Рішення

Визначте відомі величини та змоделюйте ріст водоростей.

Відомі кількості: (0,0,05); (20,0,95); c = 1 або 100%

\ (\\ почати {вирівняний}
0.05 &=\ розриву {1} {1+a\ cdot b^ {0}}\\
1+a &=\ розриву {1} {0.05}\
a &= 19\\
0.95 &=\ розрив {1} {1+19\ cdot b ^ {20}}\\ 1+19\ cdot b^ {20}}\
1+19\ cdot b^ {20}\ гідророзриву {1} {0.95}\\
b^ {20} &=\ гідророзриву {\ ліворуч (\ гідророзриву {1} {0.95 } -1\ праворуч)} {19}\\
b &\ приблизно 0.74495
\ кінець {вирівняний}\)

Модель для росту водоростей:

\(\ f(x)=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}}\)

Питання задається про оптимальний графік збору врожаю. В даний час урожай становить 90% на 20 день або одинична норма 4,5% на добу. Якщо скоротити час між урожаями, де водорості ростуть найбільш ефективно, то потенційно ця одинична норма може бути вищою. Припустимо, ви залишаєте 15% водоростей у резервуарі і збираєте урожай, коли він досягне 85%. Скільки часу це займе, щоб дати 70%?

\ (\\ почати {вирівняний}
0,15 &=\ розрив {1} {1+19\ cdot (0.74495) ^ {x}}\\
x_ {1} &\ приблизно 4.10897\\
0.85 &=\ frac {1} {1+19\ cdot (0.74495) ^ {x}}\\
x_ {2} &\ приблизно 15.8914\ cdot (0.74495) ^ {x}}\
x_ {2} &\ приблизно 15.8914\ x_ {2} -x_ {1}\ приблизно & 15.8914-4.10897\ приблизно 11,78
\ end {вирівняний}\)

Потрібно близько 12 днів, щоб партії дали 70% врожаю, що становить одиничну норму близько 6% на день. Це значне підвищення ККД. Графік збору врожаю, який максимізує час, коли логістична крива найкрутіша, створює найшвидший загальний ріст водоростей.

Приклад 4

Визначте логістичну модель, задану c=12 та точки (0, 9) та (1, 11).

Рішення

Дві точки дають два рівняння, а логістична модель має дві змінні. Використовуйте ці точки, щоб вирішити для a і b.

\ (\\ почати {вирівняний}
9 &=\ розрив {12} {1+a\ cdot b^ {0}}\\
1+а &=\ розрив {12} {9}\
a &=\ frac {1} {3}\
11 &=\ розрив {12} {1+\ лівий (\ frac {1} {3}\ праворуч)\ cdot b^ {1}}\\
1+\ ліворуч (\ frac {1} {3}\ праворуч)\ cdot b &=\ frac {12} {11}\\
б &=0. \ оверлайн {27} =\ розрив {3} {11}
\ кінець {вирівняний}\)

Таким чином, приблизною моделлю є:

\(\ f(x)=\frac{12}{1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot\left(\frac{3}{11}\right)^{x}}\)

Приклад 5

Визначте логістичну модель, задану c=7 та точки (0, 2) та (3, 5).

Рішення

Дві точки дають два рівняння, а логістична модель має дві змінні. Використовуйте ці дві точки, щоб вирішити для a і b.

\ (\\ почати {вирівняний}
2 &=\ гідророзриву {7} {1+а}\\
1+а &=\ розриву {7} {2}\
a &= 2.5\\
5 &=\ розриву {7} {1+ (2.5)\ cdot b^ {3}}\\
1 + (2.5)\ cdot b^ {3} &=\ frac {7} 5}\\
b^ {3} &=0,16\\
b &\ приблизно 0,5429
\ end {вирівняний}\)

Таким чином, приблизною моделлю є:

\(\ f(x)=\frac{7}{1+(2.5) \cdot(0.5429)^{x}}\)

Рецензія

Для 1-5 визначають логістичну модель з урахуванням вантажопідйомності та двох точок.

1. с=12; (0,5); (1,7)

2. с = 200; (0,150); (5,180)

3. с = 1500; (0,150); (10,1000)

4. с = 1000000; (0,100000); (−40 20000)

5. с = 30000000; (−60, 10000); (0,8000000)

Для 6-8 використовуйте логістичну функцію\(\ f(x)=\frac{32}{1+3 e^{-x}}\).

6. Яка вантажопідйомність функції?

7. Що таке y-перехоплення функції?

8. Використовуйте свої відповіді на 6 і 7 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.

Для 9-11 використовуйте логістичну функцію\(\ g(x)=\frac{25}{1+4 \cdot 0.2^{x}}\).

9. Яка вантажопідйомність функції?

10. Що таке y-перехоплення функції?

11. Використовуйте свої відповіді на 9 і 10 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.

Для 12-14 використовуйте логістичну функцію\(\ h(x)=\frac{4}{1+2 \cdot 0.68^{x}}\).

13. Що таке y-перехоплення функції?

14. Використовуйте свої відповіді на 12 і 13 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.

15. Наведіть приклад логістичної функції, яка зменшується (моделі розпаду). Загалом, як можна з рівняння визначити, чи збільшується чи зменшується логістична функція?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.7.

Лексика

Термін	Визначення
вантажопідйомність	Вантажопідйомність - це максимально стійке населення, яке підтримуватимуть фактори навколишнього середовища. Іншими словами, це межа чисельності населення.
логістична функція	Логістична функція - це та, яка швидко зростає або розпадається протягом певного періоду часу, а потім вирівнюється. Вона набуває форму\(\ f(x)=\frac{c}{1+a \cdot b^{x}}\).
логістична модель	Логістична модель використовується для представлення функції, яка швидко зростає або розпадається протягом певного періоду часу, а потім вирівнюється.

Атрибуції зображень

[Малюнок 1]
Кредит: CK-12 Фонд; CK-12
Джерело: CK-12
Ліцензія: CC BY-SA