Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5.1: Експоненціальні моделі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55009

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Експоненціальні моделі

    Припустимо, ви оцінювали конкретний сайт як можливе майбутнє місце для вашого нового магазину автомагнітол «Rock can Roll». Ви знаєте, що для того, щоб бути успішним, магазин повинен знаходитися в місті з населенням не менше 100 000. Ви також знаєте, що ви накопичили достатньо, щоб провести вас через перші два роки становлення, так що місто може почати трохи під мінімальним населенням до тих пір, поки він досягне 100,000 до трьох років.

    Місто, яке вам найбільше подобається, має поточне населення 89 000, і зростає зі швидкістю 6% на рік. Це досить велике місто для вашого магазину, щоб бути успішним?

    Експоненціальні моделі

    Експоненціальне зростання може бути трохи дивним, оскільки спочатку це може здатися досить повільним. Однак у якийсь момент експоненціальна функція (іноді досить раптово) почне дуже швидко збільшуватися.

    Зростання населення часто можна моделювати за допомогою експоненціальної функції (припускаючи, що чисельність населення зростає у відсотках від поточного населення, тобто 8% на рік).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вам задавали питання про можливе місце розташування нового магазину автомагнітол.

    Рішення

    Вам потрібно знайти містечко, яке матиме мінімальне населення 100 000 до третього року відтепер. Місто, яке ви розглядаєте, має населення 89 000, з річним темпом зростання 6%. Чи буде це працювати?

    Кінцева чисельність населення дорівнює початковому населенню, помноженому на темпи зростання один раз на рік.

    Це вказує на те, що кінцева популяція: [(P i ⋅зростання) ⋅зростання] ⋅зростання... тощо, де P i - початкова популяція.

    Використовуючи r для зростання r ate, а x за минулі роки, це спрощує експоненціальну функцію:

    P (f) = P i ⋅р х

    У нашому місті населення через х років становило б: P (x) =89 000⋅ (1,06) х

    Початок 3-го року відбудеться після того, як пройдуть 2 роки, замінивши 2 в на х дає:

    Р (2) = 89,000⋅ (1.062)

    Р (2) = 100 000.4

    Прогнозована чисельність населення становить 100 000 (а 4/10... хтось вагітний!) на 3-й рік, просто досить великий.

    Приклад 2

    Населення невеликого містечка становило 2000 в 1950 році. Чисельність населення збільшувалася з плином часу, про що свідчать значення в таблиці нижче.

    Яка кількість людей додається до населення щорічно? Чому це питання складніше, ніж здається?

    Рік (1950 = 0) Чисельність населення
    0 2000
    5 2980
    10 450
    20 9900
    30 22 000
    40 50 000

    Рішення

    Якщо ви побудуєте ці точки даних, ви побачите, що модель росту нелінійна:

    F-D Ліжко 835102А3Б21754 ФД289 Е5743д57Ф9Ф5ФБ78565БД82032Ф22А7Ф1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Населення не продовжує збільшуватися на однакову кількість людей щороку, воно, скоріше, збільшується на відсоток населення в кінці кожного року, експоненціальна функція.

    Приклад 3

    Використовуйте графічний калькулятор, щоб знайти функцію виду y = a (b x), яка відповідає даними таблиці.

    Рік (1950 = 0) Чисельність населення
    0 2000
    5 2980
    10 450
    20 9900
    30 22 000
    40 50 000

    Використання графічного калькулятора TI-83/84, щоб знайти експоненціальну функцію, яка найкраще відповідає набору даних.

    Рішення

    1. Введення даних

      Дані повинні бути внесені в «списки». Калькулятор має шість названих списків, L1, L2,... L6. Ми введемо значення x у L1 та значення y в L2. Один із способів зробити це показаний нижче:

      Натисніть <TI font_2nd>[{], а потім введіть числа, розділені комами, і закрийте натисканням наступного: <TI font_2nd>[{] <TI font_STO><TI font_2nd>[L1].

      У трьох верхніх рядках малюнка нижче показано запис до списку L1, а потім запис значень y до списку L2.

      F-D_2455935 ФЦ3ФЦБ11СА00Д0071Д847 АБ бісеру Д13Б3ФФ 45312А2 Баеф Б534+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

      Тепер натисніть<TI font_STAT>, і рухайтеся вправо в меню CALC. Прокрутіть вниз до опції 10, ExpReg. Натисніть<TI font_ENTER>, і ви повернетеся на головний екран. Ви повинні побачити ExPreg на екрані. Поки числа знаходяться в L1 та L2, калькулятор продовжить пошук експоненціальної функції, яка відповідає даним, перерахованим у списку L1 та L2. Ви повинні побачити на головному екрані значення для a і b в експоненціальній функції (див. Малюнок нижче).

      Тому функція y = 1992.7 (1.0837) x є приблизною моделлю для даних.

      Ф-ДФ6 ДБ5Е10С5Е5Б834Д6А1649153Б76ЦБА ААААД 0348А38Д9 АЕБ96841А39+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    2. Побудова даних і рівняння

      Щоб переглянути графіки точок даних та рівняння на одному екрані, виконайте наступне.

      1. Спочатку натисніть <TI Font_Y=> і очистіть будь-які рівняння.

        Ви можете ввести рівняння вище, або щоб отримати рівняння з калькулятора, виконайте наступне:

      2. Введіть вище округлене рівняння в Y1 або скористайтеся наступною процедурою, щоб отримати повне рівняння з калькулятора: поставте курсор у Y1<TI font_VARS>, натисніть, 5, EQ та 1. Це повинно розмістити рівняння в Y1 (див. Малюнок нижче).

        Ф-Д_4Ф69АФ 5А5Б18042Б58Е21Б8А6А6А8256Е31863670Б90Е2425 Ф35С76+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

      3. Тепер натисніть <TI font_2nd>[STAT PLOT] і заповніть пункти, як показано на малюнку нижче.

        Ф-Д_Б3Д9Д64ФД6Д962Д526ДСЕ 6Б170589Ф1Б7426Ф50382ЕД 82ФД819067Ф2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

      4. Тепер встановіть своє вікно. (Підказка: використовуйте діапазон даних, щоб вибрати вікно - на малюнку нижче показаний наш вибір.)

        Ф-д_А1 дБ84Д59А 61Е34С38Ф8Д388Е1910Д62Б2Е310Б3ФА49КК8Б93АЕ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

      5. Натисніть, <TI font GRAPH>і ви побачите функцію та точки даних, як показано на малюнку нижче.

        Ф-Д_8А95ЕБА А1ДБ9 ЕБББ К00Б3245Ф2ДБ570118524А0718 КФ9С769983Б63А2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    3. Порівняння реальних даних з модельованими результатами

      Виглядає так, ніби точки даних лежать на функції. Однак за допомогою функції TRACE можна визначити, наскільки близькі змодельовані точки до реальних даних. Натисніть<TI font_TRACE>, щоб увійти в режим TRACE. Потім натисніть стрілку вправо, щоб перейти від однієї точки даних до іншої. Робіть це до тих пір, поки не приземлитеся на точку зі значенням Y=22000. Щоб побачити відповідне змодельоване значення, натисніть стрілку вгору або вниз. Див. Малюнок нижче. Змодельоване значення становить приблизно 22197, що досить близько до фактичних даних. Ви можете перевірити будь-яку з інших точок даних за допомогою того ж методу.

      Ф-д_41 ДБФ 4Ф21Д2905СЕ7210Е07ЕБЕ81ДФ 432С452193ДЕ112829Ф2ФА9С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Приклад 4

    Tiny Town, CO, в даний час (рік 2012) має населення 26 чоловік, але воно зростає зі швидкістю 17% на рік.

    Нагадаємо з уроку, що спрощеною функцією приросту населення є P f =P i ⋅r t Де "P f" - кінцева популяція, "P i" - початкова (стартова) популяція, "r «- це темп зростання, а «t» - час (в роках).

    1. Який фактор росту для Tiny Town?
    2. Яким буде населення в 2030 році?

    Рішення

    1. Коефіцієнт зростання становить 1,17, оскільки населення щороку становить все населення від попереднього року: 1⋅Р додається до нової популяції: .17⋅р.
    2. Чисельність населення в 2030 році становитиме близько 375 осіб:

      П ф = 26⋅1,17 1 7

      П ф = 26⋅14,426

      П ф = 375

    Приклад 5

    Abbi інвестує $4000 на ощадний рахунок з річною ставкою 6,5%, що збільшується щорічно.

    Гроші Еббі можна обчислити за тією ж формулою, що і вище: A = p⋅r t Де "A" - остаточна сума, «'P " - основна (стартові гроші), "r" - швидкість зростання (відсотки), а "t " - час (в років).

    1. Скільки у неї буде через 2 роки?
    2. Скільки у неї буде після 15 років?
    3. Скільки років знадобиться, щоб досягти 50 000 доларів?

    Рішення

    1. Через 2 роки Еббі матиме близько 4500 доларів

      А=$4000⋅1.065 2

      А= $4000⋅1.134

      А=4536 ДОЛ. США

    2. Через 15 років Еббі матиме близько 10 300 доларів США = $4000⋅1.065 1 5

      А=$4000⋅2.5718

      А=10287,20 ДОЛ. США

    3. Щоб обчислити, скільки часу знадобиться, щоб досягти 50 000 доларів, ми використовуємо формулу з A = $50,000 і x (в експоненті) - кількість років.

      $50 000=$4000⋅1.065 х

      12.5=1.065 x: Розділіть обидві сторони на 4000 доларів

      log12.5=log1.065 x: Візьміть журнал обох сторін

      log12.5=xlog1.065: Використання logx y =ylogx з попереднього уроку

      \(\ \frac{\log 12.5}{\log 1.065}=x\): Розділити обидві сторони на\(\ \log1.065\)

      \(\ \frac{1.096}{.0273}=x\): За допомогою калькулятора

      \(\ 40.14=x\): За допомогою калькулятора

      Це займе трохи більше 40 років, щоб початкові $4000 Abbi стали $50,000 під 6,5% відсотків, що складаються щорічно.

    Приклад 6

    Брендон купив новий автомобіль за 30 000 доларів. Це не було, поки він не поїхав, що його друг Кайл згадав, що автомобіль збирається знецінюватися зі швидкістю 50% на рік!

    Формула розрахунку розпаду знову дуже схожа: V f =V i ⋅r t Де "V f" - кінцеве значення, "V i" - початкове значення, "r" - коефіцієнт розпаду (норма амортизації), і «t» - це час (в роках).

    1. Який коефіцієнт розпаду автомобіля?
    2. Скільки буде коштувати автомобіль через 5 років?
    3. Використовуючи свій розрахунок з «б», apx скільки часу займе, перш ніж автомобіль коштує всього 100 доларів?

    Рішення

    1. Швидкість загасання становить просто 1−.5=.5, оскільки вартість автомобіля знижується зі швидкістю 50% на рік.
    2. Через 5 років машина буде коштувати apx

      V ф = $30,000⋅.5 5

      V ф = $30,000⋅.03125

      V ф = $937.50 ДОЧ!

    3. Використовуючи свій розрахунок з «б», apx скільки часу займе, перш ніж автомобіль коштує всього 100 доларів?

      Якщо автомобіль втрачає 1/2 своєї вартості щороку, а він коштує близько 1000 доларів через 5 років:

      Рік 6 = $1000⋅.5=500 $

      Рік 7 = $500⋅.5=$250

      Рік 8 = $250⋅.5=125 $

      Пройде всього близько 8 років, перш ніж автомобіль коштує всього 100 доларів. Брендон, можливо, зробив сумнівну покупку!

      Пройде всього близько 8 років, перш ніж автомобіль коштує всього 100 доларів. Брендон, можливо, зробив сумнівну покупку!

    Рецензія

    Обчисліть наступні значення за допомогою: A=p⋅rt

    Припустимо, що всі ставки складають х% на рік, сумуються щорічно, якщо не вказано інше

    1. Яка вартість інвестиції в розмірі 5000 доларів після 5 років за ставкою 5%?
    2. Яка вартість інвестиції в розмірі 15000 доларів після 3 років за ставкою 8%?
    3. Яка вартість інвестицій у розмірі 3500 доларів після 12 років за ставкою 2%?
    4. Яка вартість інвестицій у розмірі 7550 доларів після 7 років у розмірі 4,3%?
    5. Яка вартість інвестицій у розмірі 42 340 доларів після 13 років за ставкою 5,034%?

    З питань 6-10 розрахуйте:

    1. Фактор росту
    2. кінцева чисельність населення
    1. Якщо населення починається з 5000 чоловік в 1995 році і збільшується зі швидкістю 7% на рік, яке населення в 2032 році?
    2. Якщо населення починається з 15 000 чоловік у 2000 році і збільшується зі швидкістю 3% на рік, яке населення в 2027 році?
    3. Якщо населення починається з 25 500 чоловік у 1900 році і збільшується зі швидкістю 2% на рік, яке населення в 2008 році?
    4. Якщо населення починається з 87 432 чоловік в 1940 році, і збільшується зі швидкістю 4,3% на рік, яка чисельність населення в 2040 році?
    5. Якщо населення починається з 126 352 чоловік в 1776 році, і збільшується зі швидкістю 1,067% на рік, яке населення в 2012 році?

    З питань 11-15 порахуйте:

    1. Коефіцієнт розпаду (нагадаємо, що коефіцієнт розпаду = 1 -% розпаду як десятковий)
    2. Кінцеве значення, використовуючи V f =V i ⋅r t з уроку.
    1. Автомобіль коштує 4000 доларів, а втрачає вартість за ставкою 12% в рік, чого він буде коштувати через 5 років?
    2. Човен купується за 14 000 доларів, і втрачає вартість за ставкою 16% в рік, чого вона буде коштувати через 7 років?
    3. Автомобіль купується за $40 500, і втрачає вартість за ставкою 21% в рік, чого він буде коштувати через 4 роки?
    4. Мотоцикл коштує 9350 доларів, а втрачає вартість зі ставкою 6,5% в рік, чого він буде коштувати через 3,5 року?
    5. Літак купується за 342 137 доларів, і втрачає вартість за ставкою 4,67% на рік, чого він буде коштувати через 13 років?

    Для питань 16-20 обчислити кількість років, необхідних до того, як значення досягне заданої суми, використовуючи A f = A i ⋅r t і починаючи з A f = кінцева сума, а x (в експоненті) як кількість років.

    1. За скільки років до того, як населення 5,000 досягне щонайменше 8000 при темпі зростання 6%?
    2. За скільки років до того, як значення $4,000 досягне щонайменше 7000 доларів при темпі зростання 4%?
    3. За скільки років до того, як вартість $12,000 досягне щонайменше $25 000 при темпі зростання 12%?
    4. За скільки років до того, як населення в 15 500 осіб досягне не менше 46 000 при темпі зростання 8,5%?
    5. За скільки років до того, як вартість автомобіля в даний час вартістю $52138 знецінилася як мінімум до $8,000 при нормі амортизації 14,7%?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.9.

    Лексика

    Термін Визначення
    Показник Показники використовуються для опису кількості разів, коли термін множиться сам на себе.
    експоненціальна модель Експоненціальна модель - це функція, що відображає величину, яка зростає або розпадається зі швидкістю, пропорційною її поточному значенню.