3.4.4: Зміна бази

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55023

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Зміна бази

Хоча можна змінювати бази, завжди повертаючись до експоненціальної форми, ефективніше з'ясувати, як змінити базу логарифмів загалом. Оскільки на більшості калькуляторів є лише базові e та базові 10 логарифмів, як би ви оцінили вираз, як log ₃ 12?

Зміна бази логарифмів

Зміна базової власності говорить:

\(\ \log _{b} x=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b}\)

Ви можете отримати цю формулу шляхом перетворення\(\ \log_bx\) в експоненціальну форму, а потім взявши базу журналу x з обох сторін. Це показано нижче.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ журнал _ {b} x &= y\\
b^ {y} &= х\
\ журнал _ {a} b^ {y} &=\ log _ {a} x\
y\ log _ {a} b &=\ журнал _ {a} x\
y &=\ frac {\ log _ {a} x} {журнал _ {a}}
\ end {вирівняний}\)

Тому,\(\ \log _{b} x=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b}\).

Якщо ви повинні були оцінити log34 за допомогою калькулятора, можливо, вам доведеться використовувати зміну базової формули, оскільки деякі калькулятори мають лише базу 10 або базу e. Результатом буде:

\(\ \log _{3} 4=\frac{\log _{10} 4}{\log _{10} 3}=\frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1.262\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як за допомогою калькулятора оцінити такий вираз, як log ₃ 12.

Рішення

Для того, щоб оцінити такий вираз, як log ₃ 12, у вашому калькуляторі є кілька варіантів:

\(\ \frac{\ln 12}{\ln 3}=\frac{\log 12}{\log 3} \approx 2.26\)

Деякі графічні калькулятори також мають інший варіант. Натисніть MATH, а потім кнопки A і введіть журнал ₃ 12.

Приклад 2

Доведіть наступну ідентифікацію журналу.

\(\ \log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}\)

Рішення

\(\ \log _{a} b=\frac{\log _{x} b}{\log _{x} a}=\frac{1}{\frac{\log _{x} a}{\log _{x} b}}=\frac{1}{\log _{b} a}\)

Приклад 3

Спростіть до точного результату:\(\ \left(\log _{4} 5\right) \cdot\left(\log _{3} 4\right) \cdot\left(\log _{5} 81\right) \cdot\left(\log _{5} 25\right)\)

Рішення

\(\ \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 3^{4}}{\log 5} \cdot \frac{\log 5^{2}}{\log 5}=\frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{4 \cdot \log 3}{\log 5} \cdot \frac{2 \cdot \log 5}{\log 5}=4 \cdot 2=8\)

Приклад 4

Оцініть:\(\ \log _{2} 48-\log _{4} 36\)

Рішення

\ (\\ почати {вирівняний}
\ лог _ {2} 48-\ лог _ {4} 36 &=\ гідророзриву {\ лог 48} {\ лог 2} -\ frac {\ лог 36} {\ лог 4}\\
&=\ frac {\ лог 48} {\ лог 2} -\ гідророзриву {\ лог 6^ {2}} {\ log 2^ {2}}\
&=\ frac {\ лог 48} {\ лог 2} -\ гідророзриву {2\ cdot\ журнал 6} {2\ cdot\ журнал 2}\\
&=\ гідророзриву {\ лог 48-\ журнал 6} {\ log 2}\\
&=\ гідророзриву {\ лог\ ліворуч (\ гідророзриву {48} {6}\ праворуч)} {\ журнал 2}\\
&=\ гідророзриву {\ лог 8} {\ лог 2} {\ журнал 2}\\\ журнал 2}\\
&=\ frac {3\ cdot\ 2} {\ журнал 2}\\
&=\ frac {3\ cdot\ 2}\ log 2}\\
&=3
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 5

Враховуючи журнал ₃ 5≈1.465 знайти журнал ₂₅ 27 без використання кнопки журналу на калькуляторі.

Рішення

\(\ \log _{25} 27=\frac{\log 3^{3}}{\log 5^{2}}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\left(\frac{\log 5}{\log 3}\right)}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\log _{3} 5} \approx \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1.465}=1.0239\)

Рецензія

Оцініть кожен вираз, змінивши базу і скориставшись калькулятором.

1. журнал ₆ 15

2. журнал ₉ 12

3. журнал ₅ 25

Оцініть кожен вираз.

4. журнал ₈ (журнал ₄ (журнал ₃ 81))

5. журнал ₂ 3⋅журнал ₃ 4⋅журнал ₆ 16⋅лог ₄ 6

6. журнал125⋅журнал ₉ 4⋅журнал ₄ 81⋅журнал ₅ 10

7. Журнал ₅ (5 ^{журнал ₅ 125})

8. Журнал (журнал ₆ (журнал ₂ 64))

9. 10 ^{журнал ₁₀₀ 9}

10. (журнал ₄ х) (журнал _х 16)

11. Журнал ₄₉ 49 ⁵

12. 3лог ₂₄ 24 ⁸

13. 4 ^{журнал ₂ 3}

Доведіть наступні властивості логарифмів.

14. (log _a b) (журнал _b c) = журнал _а с

15. (журнал _а б) (log _b c) (log _c d) = журнал _а д

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.5.

Лексика

Термін	Визначення
Зміна базової формули	Нехай b, x і y будуть додатними числами, b1 і y1. Потім\(\ \log _{y} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} y}\). Більш конкретно,\(\ \log _{y} x=\frac{\log x}{\log y}\) і\(\ \log _{y} x=\frac{\ln x}{\ln y}\), щоб вирази можна було оцінити за допомогою калькулятора.
журнал	«log» - це скорочений термін для «логарифма», оскільки в «log _b n» означає «логарифм, основа b, з n».
Логарифм	Логарифм є оберненим експоненціальною функцією і записується log _b a=x таким чином, що b ^x = a.