3.4.3: Розв'язування логарифмічних рівнянь
- Page ID
- 55029
Розв'язування логарифмічних рівнянь
У цьому розділі розглядаються способи розв'язання різних типів логарифмічних рівнянь. Він досліджує, як конденсувати розширені рівняння і як перетворити логарифмічні рівняння в експоненціальні. Крім того, розділ демонструє, як перевірити розв'язки логарифмічних рівнянь, щоб переконатися, що вони правильні, а не сторонні.
Розминка
Рішення рівнянь можна розуміти графічно як місце, де перетинаються два графіки. Використовуйте інтерактивні нижче, щоб візуалізувати рішення логарифмічних рівнянь. Пізніше в цьому розділі ви дізнаєтеся, як знайти ці розв'язки алгебраїчно.
* Інтерактивний
Опрацюйте це 1
Ось логарифмічне рівняння: log 2 (x+3) =6.
- Скільки процесів можна використовувати для вирішення цього рівняння?
- Які існують різні процеси? Що таке значення х?
- Чи можуть ці процеси бути застосовані для вирішення будь-якого логарифмічного рівняння? Якщо ні, то чому один процес може бути застосований для деяких логарифмічних рівнянь, а не інших?
- Як перевірити, щоб переконатися, що ваша відповідь правильна?
Обговорення
Нагадаємо, що логарифмічне рівняння - це обернене експоненціального рівняння. Наприклад, якщо log b (x+y) =z, то ви можете застосувати зворотну властивість b log b x =x для скасування журналу. Тому журнал рівнянь b (x+y) =z можна переписати як b z =x+y Як можна застосувати цю властивість для розв'язання рівняння в цій задачі?
У цьому відео представлений короткий огляд процесу розв'язання логарифмічних рівнянь.
Вирішіть наступне логарифмічне рівняння, використовуючи два різні процеси, і перевірте свою відповідь, щоб переконатися, що ваше рішення не є стороннім.
\(\ \log _{2}(x+5)=9\)
Рішення
Існує два різних способи вирішення цього рівняння. Перший полягає у використанні визначення логарифма.
\ (\\ почати {вирівняний}
\ журнал _ {2} (x+5) &=9\
2^ {9} &=x+5\\
512 &= x+5\\
507 &=x
\ end {вирівняний}\)
Другий спосіб вирішення цього рівняння полягає в тому, щоб поставити все в експоненту 2, а потім використовувати зворотну властивість.
\ (\\ почати {вирівняний}
2^ {\ log _ {2} (x+5)} &=2^ {9}\
x+5 &=512\\
x &=507
\ кінець {вирівняний}\)
Для перевірки підключіть 507 для х.
\(\ \log _{2}(507+5)=9 \rightarrow \log _{2} 512=9\)
Працюйте це 2
Калісту попросили вирішити наступне логарифмічне рівняння:\(\ \log 5 x+\log (x-1)=2\) Її робота показана нижче.
- Для кожного кроку опишіть в письмовій формі, що вона робить і навіщо це робить. Іншими словами, розповісти про процес, який вона використовує для вирішення рівняння.
- Які рішення вона отримає, використовуючи цей процес?
Крок 1: журнал5x+журнал (x−1) =2
Крок 2: увійти [5x (x−1)] =2
Крок 3: журнал (5x 2 −5x) = 2
Крок 4:\(\ 10^{\log \left(5 x^{2}-5 x\right)}=10^{2}\)
Крок 5:5x 2 −5x=100
Крок 6:5x 2 −5x−100 = 0
Крок 7: x 2 −x−20=0
Крок 8: (x−5) (x+4) =0
Обговорення
У кроці 1 Каліста написала рівняння, яке вона, ймовірно, помітила, включає кілька термінів. У кроці 2 вона конденсує рівняння. Навіщо вона це зробила? Що вона зробила, щоб конденсувати рівняння? На кроці 4 вона змінила рівняння на експоненціальне. Чому вона відчула, що це потрібно робити? Як вона перейшла від кроку 3 до кроку 4?
CK-12 ІНТЕРАКТИВНИЙ
Наступний інтерактивний надасть вам додаткову практику вивчення процесу розв'язання логарифмічних рівнянь.
Почніть з рівняння зверху: log5x+ log (x−1) = 2. Знайдіть два рішення, які Calista обчислив би, і перевірте обидві відповіді.
Рішення
Двома розв'язками цієї задачі є x=5 та x=−4. Тепер перевірте, щоб переконатися, що ці рішення є правильними, підставивши їх назад у вихідне рівняння.
\ (\\ почати {вирівняний}
\ журнал 5 (5) +\ журнал (5-1) &=2 &\ журнал 5 (-4) +\ журнал (-4) -1) =2\
\ журнал 25+\ журнал 4 &=2 &\ журнал (-20) +\ журнал (-5) =2\
\ журнал 100 &=2 &
\ кінець {вирівняний}\)
На кроці праворуч log (−20) + log (−5) = 2, обидва журнали мають від'ємні значення, і ви не можете взяти журнал від'ємного числа. Тому -4 вважається стороннім рішенням, або іншими словами, це не рішення. 5 - єдине рішення.
Працюйте над цим 3
Терренс працював над вирішенням цього рівняння: log10x 2 − logx = 3, але не впевнений, як розпочати роботу. Який би перший крок він зробив, і чому? Яке рішення він врешті-решт знайде?
Обговорення
Згадайте властивість віднімання/поділу для колод. При відніманні одного логарифмічного члена від іншого з тими ж основами можна витягнути функцію log і об'єднати решту кожного члена в задачу дробу або ділення. Виконайте цей крок для Терренса, а потім вирішіть решту рівняння.
CK-12 ІНТЕРАКТИВНИЙ
Наступний інтерактивний допоможе вам вивчити взаємозв'язок між експоненціальними, радикальними та логарифмічними рівняннями.
Працюйте над цим 4
Почніть з рівняння y = log 2 (x)
- Графік рівняння.
- Яке значення x, коли y=4? Покажіть це на графіку і розв'яжіть алгебраїчно.
- Що таке домен і діапазон цієї функції? Що таке вертикальна асимптота?
Обговорення
Ви повинні використовувати графічну утиліту для візуалізації кривої цього рівняння. Передбачте, що буде виглядати по-іншому на графіку, оскільки база стала більшою, а потім перевірте свій прогноз, графікуючи додаткові рівняння.
Задано рівняння y=log 5 x+2
а. граф рівняння.
b Визначте значення x, коли y=2.
c Що таке домен і діапазон функції?
d Визначити рівняння для вертикальної асимптоти.
Рішення
а.
b. коли y=2, то x = 1.
c. домен: (0, ∞); Діапазон: (−∞, ∞).
d Вертикальна асимптота: x = 0.
Рецензія
Використовуйте властивості логарифмів і калькулятор для розв'язання наступних рівнянь для х, округляйте відповіді до трьох знаків після коми і перевірте наявність сторонніх розв'язків.
- \(\ \log_2x=15\)
- \(\ \log_{12}x=2.5\)
- \(\ \log_9(x−5)=2\)
- \(\ \log_7(2x+3)=3\)
- \(\ 4\log_33x−\log_3x=5\)
- \(\ \log(x+5)+\log x=\log14\)
- \(\ 3\log_3(x−5)=3\)
- \(\ \frac{2}{3} \log _{3} x=2\)
- \(\ 5 \log \frac{x}{2}-3 \log \frac{1}{x}=\log 8\)
- \(\ 2 \log _{6} x+1=\log _{6}(5 x+4)\)
- \(\ 2 \log _{\frac{1}{2}} x+2=\log _{\frac{1}{2}}(x+3)\)
- \(\ 3 \log _{\frac{2}{3}} x-\log _{\frac{2}{3}} 27=\log _{\frac{2}{3}} 8\)
Опрацюйте це
Знайшли помилку в контенті?
Розкажіть нам