Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.3.3: Обернені властивості логарифмів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55002

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Обернені властивості логарифмічних функцій

    Якщо ви продовжуєте вивчати математику в коледжі, ви можете пройти курс під назвою Диференціальні рівняння. Там ви дізнаєтеся, що розв'язком диференціального рівняння y′=y є загальною функцією Y=Ce x. Що таке зворотна ця функція?

    Обернені властивості логарифмів

    За визначенням логарифма він є оберненою показником. Тому логарифмічна функція є оберненою експоненціальної функції. Згадайте, що означає бути оберненою функцією. Коли складаються дві інверси, вони рівні\(\ x\). Тому якщо\(\ f(x)=b^{x} \text { and } g(x)=\log _{b} x\), то:

    \(\ f \circ g=b^{\log _{b} x}=x \text { and } g \circ f=\log _{b} b^{x}=x\)

    Вони називаються зворотними властивостями логарифмів.

    Давайте вирішимо наступні проблеми. Ми будемо використовувати зворотні властивості логарифмів.

    1. Знайти\(\ 10^{\log 56}\).

      Використовуючи першу властивість, ми бачимо, що основи скасовують один одного. \(\ 10^{\log 56}=56\)

      \(\ e^{\ln 6} \cdot e^{\ln 2}\)

      Тут\(\ e\) і природний журнал скасувати, і ми залишаємося з 6⋅2=12.

    2. Знайти\(\ \log _{4} 16^{x}\) Ми будемо використовувати друге властивість тут. Також перепишіть 16 як 4 2.

      \(\ \log _{4} 16^{x}=\log _{4}\left(4^{2}\right)^{x}=\log _{4} 4^{2 x}=2 x\)

    3. Знайдіть зворотне\(\ f(x)=2 e^{x-1}\).

      \(\ f(x)\)Змінити на\(\ y\). Потім перемикають\(\ x\) і\(\ y\).

      \ (\\ begin {масив} {l}
      y=2 e^ {
      x-1}\ x = 2 e^ {y-1}
      \ end {масив}\)

      Тепер нам потрібно виділити показник і взяти логарифм обох сторін. Спочатку ділимо на 2.

      \ (\\ begin {масив} {l}
      \ frac {x} {2} =e^ {y-1}\\ ln
      \ ліворуч (\ frac {x} {2}\ праворуч) =\ ln e^ {y-1}
      \ end {масив}\)

      Згадаймо зворотні властивості логарифмів з більш ранніх у цьому понятті. \(\ \log _{b} b^{x}=x\); застосовуючи це до правої сторони нашого рівняння, ми маємо\(\ \ln e^{y-1}=y-1\). Вирішити для\(\ y\).

      \ (\\ begin {масив} {l}
      \ ln\ ліворуч (\ frac {x} {2}\ праворуч) =y-1\
      \ ln\ ліворуч (\ frac {x} {2}\ праворуч) +1=y
      \ end {масив}\)

      Тому\(\ \ln \left(\frac{x}{2}\right)+1\) є зворотним\(\ 2 e^{y-1}\).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас просили знайти зворотне\(\ y=C e^{x}\).

    Рішення

    Перемикайте x та y у функції,\(\ y=C e^{x}\) а потім вирішіть для y.

    \ (\\ почати {масив} {r}
    x = C e^ {y}\
    \ розрив {x} {C} =e^ {y}\\ ln
    \ frac {x} {C} =\ ln\ ліворуч (e^ {y}\ вправо)\
    \ ln\ frac {x} {C} =y
    \ кінець {масив}\)

    Тому зворотне\(\ y=C e^{x} \text { is } y=\ln \frac{x}{C}\).

    Приклад 2

    Спростити\(\ 5^{\log _{5} 6 x}\).

    Рішення

    Використовуючи першу зворотну властивість, журнал і база скасовуються, залишаючи\(\ 6x\) як відповідь.

    \(\ 5^{\log _{5} 6 x}=6 x\)

    Приклад 3

    Спростити\(\ \log _{9} 81^{x+2}\).

    Рішення

    Використовуючи другу зворотну властивість і змінюючи 81 на 9 2, ми маємо:

    \ (\\ почати {вирівняний}
    \ журнал _ {9} 81^ {x+2} &=\ журнал _ {9} 9^ {2 (x+2)}\
    &=2 (x+2)\\
    &=2 x+4
    \ кінець {вирівняний}\)

    Приклад 4

    Знайдіть зворотне\(\ f(x)=4^{x+2}-5\).

    Рішення

    \ (\\ почати {вирівняний}
    f (x) &=4^ {x+2} -5\\
    y &=4^ {x+2} -5\\
    x &= 4^ {y+2} -5\
    x+5 &=4^ {y+2}\
    \ журнал _ {4} (x+5) &=y+2\
    \ журнал _ {4} (x+5) -2 = y
    \ кінець {вирівняний}\)

    Рецензія

    Скористайтеся оберненими властивостями логарифмів, щоб спростити наведені нижче вирази.

    1. \(\ \log _{3} 27^{x}\)
    2. \(\ \log _{5}\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)
    3. \(\ \log _{2}\left(\frac{1}{32}\right)^{x}\)
    4. \(\ 10^{\log (x+3)}\)
    5. \(\ \log _{6} 36^{(x-1)}\)
    6. \(\ 9^{\log _{9}(3 x)}\)
    7. \(\ e^{\ln (x-7)}\)
    8. \(\ \log \left(\frac{1}{100}\right)^{3 x}\)
    9. \(\ \ln e^{(5 x-3)}\)

    Знайдіть обернену кожну з наступних експоненціальних функцій.

    1. \(\ y=3 e^{x+2}\)
    2. \(\ f(x)=\frac{1}{5} e^{\frac{x}{7}}\)
    3. \(\ y=2+e^{2 x-3}\)
    4. \(\ f(x)=7^{\frac{3}{x}+1-5}\)
    5. \(\ y=2(6)^{\frac{x-5}{2}}\)
    6. \(\ f(x)=\frac{1}{3}(8)^{\frac{x}{2}-5}\)

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.6.

    Лексика

    Термін Визначення
    Обернені властивості логарифмів Обернені властивості логарифмів є\(\ \log _{b} b^{x}=x \text { and } b^{\log _{b} x}=x, b \neq 1\).