3.3.2: Властивість потужності логарифмів

Власність потужності логарифмів

Гіпотенуза прямокутного трикутника має довжину колоди ₃ 27 ⁸. Скільки триває гіпотенуза трикутника?

---

Власне майно

Останньою властивістю журналів є властивість Power.

журнал _б x = y

Використовуючи визначення журналу, ми маємо b ^y =x, тепер піднімаємо обидві сторони до n степені.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ лівий (b^ {y}\ праворуч) ^ {n} &=x^ {n}\
b^ {n} &=x^ {n}
\ end {вирівняний}\)

Давайте перетворимо це назад в журнал з базою б, журнал _б х ^п = NY. Підставивши у, ми маємо log _b x ⁿ = n log _b x.

Тому властивість Power говорить, що якщо в логарифмі є показник, ми можемо витягнути його перед логарифмом.

Давайте використаємо властивість Power, щоб розширити наступні логарифми.

1. Щоб розширити цей журнал, нам потрібно використовувати Product Property і Power Property.

   \ (\\ почати {вирівняний}
   \ журнал _ {6} 17 x^ {5} &=\ журнал _ {6} 17+\ журнал _ {6} x^ {5}\
   &=\ log _ {6} 17+5\ log _ {6} x
   \ кінець {вирівняний}\)

2. \(\ \ln \left(\frac{2 x}{y^{3}}\right)^{4}\) Нам потрібно буде використовувати всі три властивості, щоб розширити цю проблему. Оскільки вираз всередині природного журналу знаходиться в дужках, почніть з переміщення ^{4-го степеня} до передньої частини колоди.

   \ (\\ почати {вирівняний}
   \ ln\ лівий (\ розрив {2 x} {y^ {3}}\ праворуч) ^ {4} &= 4\ ln\ frac {2 x} {y^ {3}}\\\
   &= 4\ ліворуч (\ ln 2 x-\ ln y^ {3}\ праворуч)\\\
   &= 4 (\ ln 2+\ ln x-3\ ln y)\\
   &=4\ ln 2+4\ ln x-12\ ln y
   \ end {вирівняний}\)

   Залежно від того, як ваш викладач хотів би отримати вашу відповідь, ви можете оцінити 4 ln2 ≈ 2.77, зробивши остаточну відповідь 2.77 + 4 lnx − 12 ln y.

   Тепер давайте конденсуємо журнал 9 − 4 журнал 5 − 4 журнал х 2 журнал 7 + 2 log y.

   Це протилежність попереднім двом проблемам. Почніть з властивості Power.

   журнал 9 − 4 журнал 5 − 4 журнал x + 2 журнал 7 + 2 журнал y

   журнал 9 − журнал 5 ⁴ − журнал x ⁴ + журнал 7 ² + журнал у ²

   Тепер почніть змінювати речі на ділення та множення в одному журналі.

   \(\ \log \frac{9 \cdot 7^{2} y^{2}}{5^{4} x^{4}}\)

   Нарешті, комбінуйте подібні терміни.

   \(\ \log \frac{441 y^{2}}{625 x^{4}}\)

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вас попросили знайти довжину гіпотенузи трикутника.

Рішення

Ми можемо переписати журнал ₃ 27 ⁸ і 8 журнал ₃ 27 і вирішити.

8 журнал ₃ 27

=8⋅3

=24

Тому гіпотенуза трикутника має довжину 24 одиниці.

Приклад 2

Розгорніть наступний вираз: ln x ³.

Рішення

Єдине, що тут потрібно зробити - застосувати Power Property: 3 lnx.

Приклад 3

Розгорніть наступний вираз:\(\ \log _{16} \frac{x^{2} y}{32 z^{5}}\).

Рішення

Почнемо з використання властивості Коефіцієнт.

\(\ \log _{16} \frac{x^{2} y}{32 z^{5}}=\log _{16} x^{2} y-\log _{16} 32 z^{5}\)

Тепер застосуйте Product Property, а потім Power Property.

\ (\\ begin {масив} {l}
=\ лог _ {16} x^ {2} +\ журнал _ {16} y-\ ліворуч (\ лог _ {16} 32+\ log _ {16} z^ {5}\ праворуч)\
\\ журнал _ {16} x+\ журнал _ {16} y-\ frac {5} {4} -5\ журнал _ {16}
\ end {масив}\)

Спростити\(\ \log _{16} 32 \rightarrow 16^{n}=32 \rightarrow 2^{4 n}=2^{5}\) і вирішити для\(\ n\). Крім того, зверніть увагу, що ми ставимо дужки навколо другого журналу, як тільки він був розширений, щоб гарантувати, що також\(\ z^5\) буде відніматися (тому що це було в знаменнику вихідного виразу).

Приклад 4

Розгорніть наступний вираз:\(\ \log \left(5 c^{4}\right)^{2}\).

Рішення

Для цієї проблеми вам потрібно буде застосувати Power Property двічі.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ журнал\ ліворуч (5 c^ {4}\ праворуч) ^ {2} &=2\ журнал 5 c^ {4}\
&=2\ ліворуч (\ лог 5+\ журнал c ^ {4}\ праворуч)\\
&=2 (\ журнал 5+4\ журнал c)\\
&= 2\ журнал 5+8\ журнал c
\ кінець {вирівняний}\)

Важливе зауваження: Ви можете написати цей конкретний журнал кількома різними способами. Еквівалентними журналами є:\(\ \log 25+8 \log c, \log 25+\log c^{8} \text { and } \log 25 c^{8}\). Через цих властивостей існує кілька різних способів написання одного логарифма.

Приклад 5

Ущільнюємо в одне колоду:\(\ \ln 5-7 \ln x^{4}+2 \ln y\).

Рішення

Щоб згустити цей вираз в одне колоду, потрібно буде використовувати всі три властивості.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ ln 5-7\ ln x^ {4} +2\ ln y &=\ ln 5-\ ln x^ {28} +\ ln y^ {2}\\\
&=\ ln\ frac {5 y^ {2}} {x^ {28}}
\ кінець {вирівняний}\)

Важливе зауваження: Якби проблема була\(\ \ln 5-\left(7 \ln x^{4}+2 \ln y\right)\), то відповідь була б\(\ \ln \frac{5}{x^{28} y^{2}}\). Але, оскільки дужок немає, то\(\ y^2\) знаходиться в чисельнику.

---

Рецензія

Розгорніть наступні логарифмічні вирази.

1. \(\ \log _{7} y^{2}\)
2. \(\ \log _{12} 5 z^{2}\)
3. \(\ \log _{4}(9 x)^{3}\)
4. \(\ \log \left(\frac{3 x}{y}\right)^{2}\)
5. \(\ \log _{8} \frac{x^{3} y^{2}}{z^{4}}\)
6. \(\ \log _{5}\left(\frac{25 x^{4}}{y}\right)^{2}\)
7. \(\ \ln \left(\frac{6 x}{y^{3}}\right)^{-2}\)
8. \(\ \ln \left(\frac{e^{5} x^{-2}}{y^{3}}\right)^{6}\)

Згустіть наступні логарифмічні вирази.

9. \(\ 6 \log x\)
10. \(\ 2 \log _{6} x+5 \log _{6} y\)
11. \(\ 3(\log x-\log y)\)
12. \(\ \frac{1}{2} \log (x+1)-3 \log y\)
13. \(\ 4 \log _{2} y+\frac{1}{3} \log _{2} x^{3}\)
14. \(\ \frac{1}{5}\left[10 \log _{2}(x-3)+\log _{2} 32-\log _{2} y\right]\)
15. \(\ 4\left[\frac{1}{2} \log _{3} y-\frac{1}{3} \log _{3} x-\log _{3} z\right]\)

---

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.9.

---

Лексика

Термін	Визначення
Власне майно	Властивість power для логарифмів стверджує\(\ b≠1\), що поки, то \ (\ log _ {b} x^ {n} =n\ log _ {b} x\).