3.3.1: Добуток і коефіцієнтні властивості логарифмів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55001

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Добуткові та часткові властивості логарифмів

Ваш друг Роббі працює сервером в піцерії. Ви з двома друзями заходите в ресторан і замовляєте піцу. Ви просите Роббі принести вам окремі чеки, щоб ви могли розділити вартість піци. Замість того, щоб приносити вам три перевірки, Robbie пропонує вам один із загальним журналом ₃ 162−log ₃ 2. «Ось скільки кожен з вас повинен», - каже він, коли скидає рахунок на стіл. Скільки зобов'язаний кожен з вас?

Добуткові та часткові властивості логарифмів

Як і показники, логарифми мають спеціальні властивості або ярлики, які можуть бути застосовані при спрощенні виразів. У цьому уроці ми розглянемо два з цих властивостей.

Давайте спростимо журнал _b x + log _b y.

По-перше, зверніть увагу, що ці колоди мають однакову основу. Якщо їх немає, то властивості не застосовуються.

лог _б х = м і лог _b y = n, потім b ^m = x і b ^{n = у}.

Тепер помножте останні два рівняння разом.

\ (\\ почати {вирівняний}
b^ {m}\ cdot b^ {n} &= х у\\
b^ {m+n} &= х у
\ кінець {вирівняний}\)

Нагадаємо, що коли два експоненти з однаковою базою множаться, ми можемо скласти показники. Тепер знову застосуйте логарифм до цього рівняння.

\(\ b^{m+n}=x y \rightarrow \log _{b} x y=m+n\)

Нагадаємо, що\(\ m=\log _{b} x \text { and } n=\log _{b} y, \text { therefore } \log _{b} x y=\log _{b} x+\log _{b} y\).

Це властивість добутку логарифмів.

Тепер давайте розгорнемо журнал ₁₂ 4y.

Застосовуючи Product Property з попередньої проблеми, ми маємо:

журнал ₁₂ 4y = журнал ₁₂ 4 + журнал ₁₂ у

Нарешті, давайте спростимо журнал ₃ 15−log ₃ 5.

Як і слід було очікувати, частка властивість логарифмів є\(\ \log _{b} \frac{x}{y}=\log _{b} x-\log _{b} y\) (доказ у розділі Огляд). Тому відповідь така:

\ (\\ почати {вирівняний}
\ log _ {3} 15-\ log _ {3} 5 &=\ лог _ {3}\ гідророзриву {15} {5}\
&=\ log _ {3} 3\
&=1
\ end {вирівняний}\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили знайти суму, яку повинен кожен з вас.

Рішення

Якщо ви перезаписуєте журнал ₃ 162−журнал ₃ 2 як журнал ₃\(\ \frac{162}{2}\), ви отримаєте журнал ₃ 81.

3 ⁴ = 81, тому кожен з вас повинен 4 долари.

Приклад 2

Спростіть наступний вираз: журнал ₇ 8 + журнал ₇ х ² + журнал ₇ 3y.

Рішення

Об'єднайте всі журнали разом за допомогою Product Property.

журнал ₇ 8 + журнал ₇ х ² + журнал ₇ 3й = журнал ₇ 8х ² 3й

= журнал ₇ 24х ² р

Приклад 3

Спростіть такий вираз: log y−log 20+log 8x.

Рішення

Використовуйте як продукт, так і властивість частки для конденсації.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ журнал y-\ журнал 20+\ журнал 8 x &=\ журнал\ розрив {y} {20}\ cdot 8 x\\
&=\ log\ frac {2 x y} {5}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 4

Спростіть такий вираз: log ₂ 32 − log ₂ z.

Рішення

Будьте обережні; вам не потрібно використовувати жодне правило тут, просто визначення логарифма.

журнал ₂ 32−журнал ₂ z=5−журнал ₂ z

Приклад 5

Спростіть наступний вираз:\(\ \log _{8} \frac{16 x}{y^{2}}\).

Рішення

Розширюючи колоду, спочатку зробіть поділ, а потім далі розбийте чисельник на частини.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ журнал _ {8}\ розрив {16 x} {y^ {2}} &=\ журнал _ {8} 16 x-\ log _ {8} y^ {2}\\
&=\ log _ {8} 16+\ журнал _ {8} x-\ журнал _ {8} y^ {2}\
&=\ frac {4} {3} +\ log _ {8} x-\ log _ {8} y^ {2}
\ кінець {вирівняний}\)

Щоб визначити журнал ₈ 16, скористайтеся визначенням і повноваженнями 2:

\(\ 8^{n}=16 \rightarrow 2^{3 n}=2^{4} \rightarrow 3 n=4 \rightarrow n=\frac{4}{3}\)

Рецензія

Спростіть наступні логарифмічні вирази.

журнал ₃ 6 + журнал ₃ y − журнал ₃ 4
log12 − журнал+журнал за ²
журнал ₆ x ² − журнал ₆ x − журнал ₆ y
лн8 + лн6 − лн12
лн7 − лн14 + лн10
журнал ₁₁ 22 + журнал ₁₁ 5 − журнал ₁₁ 55

Розгорніть наступні логарифмічні функції.

Журнал ₆ (5х)
журнал ₃ (abc)
\(\ \log \left(\frac{a^{2}}{b}\right)\)
\(\ \log _{9}\left(\frac{x y}{5}\right)\)
\(\ \log \left(\frac{2 x}{y}\right)\)
\(\ \log \left(\frac{8 x^{2}}{15}\right)\)
\(\ \log _{4}\left(\frac{5}{9 y}\right)\)
Напишіть алгебраїчний доказ частки властивості. Почніть з журналу виразів _a x − log _a y, а рівняння _{записують a} x = m і запишіть _a y = n у вашому доказі. Зверніться до доказу власності продукту в першій проблемі практики як керівництво для вашого доказу.

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.8.

Лексика

Термін	Визначення
Властивість добутку логарифмів	Властивість добутку логарифмів стверджує, що до тих пір\(\ b≠1\), як, потім\(\ \log _{b} x y=\log _{b} x+\log _{b} y\)
Частна властивість логарифмів	Коефіцієнтна властивість логарифмів стверджує, що до тих пір\(\ b≠1\), як, потім\(\ \log _{b} \frac{x}{y}=\log _{b} x-\log _{b} y\).