Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.1.1: Функції «один-на-один» та їх зворотні

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55020

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Функції «один-на-один» та їх зворотні

    Заява «Піцерії продають піцу» можна розглядати як функцію. Це може бути побудовано на графіку, з різними ресторанами по осі x, і різними продуктами, на яких спеціалізується ресторан на осі y. Кожного разу, коли піцерія була введена в функцію, вона виводить «піцу» як спеціалізовану їжу.

    Чи є ця функція піцерії функція один-на-один? Як ми можемо сказати?

    Функції «один-на-один» та їх зворотні

    Розглянемо функцію\(\ f(x)=x^{3}\), і її зворотну\(\ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\).

    Графіки цих функцій наведені нижче:

    Ф-Д_57Ф4ДД 1898КД8 АБ 13ФК 46ЕФКЧ78К1А4Б934ДФ 8Е976 BEE614181 ліжко 38+зображення_крихітка+зображення_крихітка_крихітка.jpg

    Функція f (x) = x 3 є прикладом функції один до одного, яка визначається наступним чином:

    Функція є один до одного тоді і лише тоді, коли кожен елемент її діапазону відповідає щонайменше одному елементу своєї області.

    Функція y = x 2, однак, не є один-на-один. Графік цієї функції наведено нижче.

    Ф-Д_3Б5901А437Б8А368ЕБ 971 Д1Б5423130С8353А84881А6А4Е9711Ф3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Ви можете згадати, що ви можете визначити відношення як функцію, якщо ви можете провести вертикальну лінію в будь-якому місці через графік, а лінія стосується лише однієї точки.

    Зверніть увагу, що якщо ми проведемо горизонтальну лінію через y = х 2, лінія стосується більше однієї точки. Це вказує на те, що зворотна не буде функцією, ось чому: Якщо ми інвертуємо функцію y = x 2, результатом буде графік, який є відображенням над лінією y = x, ефективно обертаючи початкові 90 градусів. Оскільки x та y помінялися місцями, нова функція не завершує тест вертикальної лінії.

    Ф-Д_ЕФ 57545 АБ279Д5Д2ЕД Е78Д30Б 171С33ККА4 БД7406ФДФ 06978ЕС+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Таким чином, функція y = x 2 не є функцією один до одного. Функція, яка є один-на-один, буде обертованою.

    Визначити оборотну функцію можна графічно, провівши горизонтальну лінію через графік функції, якщо вона торкається більше однієї точки, функція не обертається.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вам давали питання про функцію піци.

    Рішення

    «Піцерії продають піцу» - це функція. Однак це НЕ функція один-на-один.

    Для того, щоб бути один-на-один, він повинен бути оборотним, даючи щось на кшталт: «продавці піци - це ресторани піци», і це твердження також має бути функцією.

    Оскільки продуктові магазини продають піцу, і, отже, були б серед виходів нової функції, але не були серед вхідних даних оригіналу (в якому вказані «ресторани піци»), функції не є оборотними.

    Приклад 2

    Графік функції\(\ f(x)=\frac{1}{3} x+2\). Використовуйте тест горизонтальної лінії, щоб переконатися, що функція є оборотною.

    Рішення

    На графіку нижче видно, що ця функція є оборотною. Ми можемо намалювати горизонтальну лінію в будь-якому значенні y, і лінія буде тільки перетнути\(\ f(x)=\frac{1}{3} x+2\).

    Ф-Д9 ББ 3КС9А91249Е74102Д7Д6А6А3Б9С634ЕЕ6ФАА930С0Д10Д949+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    У сумі функція один-на-один є оборотною. Тобто, якщо ми інвертуємо функцію один до одного, її зворотна також є функцією. Тепер, коли ми встановили, що означає функція, щоб бути оборотною, ми зупинимося на області та діапазоні обернених функцій.

    Приклад 3

    Вкажіть область та діапазон наступної функції та її зворотну: (1, 2), (2, 5), (3, 7).

    Рішення

    Оберненою цією функцією є множина точок (2, 1), (5, 2), (7, 3).

    Доменом функції є {1, 2, 3}. Це також діапазон зворотного.

    Діапазон дії функції дорівнює {2, 5, 7}. Це також область зворотного.

    Лінійні функції, які ми розглядали раніше, а також f (x) = x 3, всі мали область і діапазон, рівні множини всіх дійсних чисел. Тому зворотні також мали домен і діапазон, рівний множині всіх дійсних чисел. Оскільки домен та діапазон були однаковими для цих функцій, перемикання їх підтримувало ці відносини.

    Також, як ми з'ясували вище, функція y = x 2 не є один-на-один, а значить, і не обертається. Тобто, якщо ми його інвертуємо, отримане відношення не є функцією. Ми можемо змінити цю ситуацію, якщо визначимо область функції більш обмеженим способом. Нехай f (x) є функцією, визначеною таким чином: f (x) = x 2, при цьому область обмежена дійсними числами ≥ 0. Тоді оберненою функцією є функція квадратного кореня:\(\ f^{-1}(x)=\sqrt{x}\).

    Ф-Д_359КБ ФАБ 5Е04С0Б32Д3СБ75434Д0Ф1Ф6Е94Б474Б3ФД07864А1Ф7А944+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Приклад 4

    Визначте домен для функції f (x) = (x - 2) 2 так, щоб f був оборотним.

    Рішення

    Графік цієї функції є параболою. Нам потрібно обмежити домен однією стороною параболи. Умовно у подібних випадках ми вибираємо позитивну сторону; отже, домен обмежується дійсними числами ≥ 2.

    Приклад 5

    Чи є g (x) = 3x−2 функцією один до одного?

    Рішення

    Алгебраїчний тест для функцій один до одного: якщо f (a) = f (b) означає, що a = b, то f - один до одного.

    ∴ якщо g (x) = 3x−2 є один до одного, то g (a) = g (b) →a=b

    Тест: г (а) = г (б)

    3a−2=3b−2

    3а=3б

    а=б

    3x−2 — один до одного.

    приклад 6

    Використовуйте тест горизонтальної лінії, щоб побачити, чи f (x) = x 3 є один до одного.

    Рішення

    Графік рівняння:

    Ф-Д_6А9Д8А00696Ф0895БД 96Б6752C5Ф5247668 ЕФЕ788Ф7Е803Б7ФДЕ8ФДЕ8Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Це батьківська функція сімейства кубічних функцій. Кожне значення x має одне унікальне значення y, яке не використовується жодним іншим x-елементом. Оскільки це визначення функції один до одного, ця функція є один-на-один.

    Приклад 7

    Чи є g (x) =|x−2| один до одного?

    Рішення

    Графік рівняння:

    Ф-Д_24Ф537 АБ601СС37БК 53421С75Е621Б4502Ф13Д60541 ФЕ672 ЕС1F6653+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Ця функція абсолютного значення має значення y, які поєднуються з більш ніж одним значенням x, наприклад (4, 2) та (0, 2). Ця функція не є один-на-один. Зауважте, що ця функція також не завершує тест горизонтальної лінії, який використовується в прикладі 6.

    Рецензія

    1. Опишіть тест горизонтальної лінії один до одного.
    2. Опишіть один до одного алгебраїчний тест.

    Які функції є один-на-один?

    1. (3,28), (4,29), (4,30), (6,31)
    2. (4,5), (9,6), (7,8), (23,5)
    3. (8,18), (33,4), (5,16), (7,19)

    Щоб наступне було функцією один до одного, x не може бути якими значеннями?

    1. (9,12), (35,6), (7,18), (12, Х)
    2. (20,21) (21,14), (110 112), (Х,7)

    Чи є наступні функції один-на-один?

    1. ф (х) = х 2
    2. ф (х) = х 3
    3. f (х) =\(\ \frac{1}{x}\)
    4. f (x) = х n −х, n> 0
    5. х=у 2 +2

    Визначте, чи є наведені нижче відносини функціями, функціями один до одного чи ні:

    F-д_А0С316727 АБ02ДБ8575Д231А0БА 2БД 69071Е98А651А29КБ6С858+зображення_крихіткий+зображення_крихітка_крихіткий.PNG

    1. F-д_А0С316727 АБ02ДБ8575Д231А0БА 2БД 69071Е98А651А29КБ6С858+зображення_крихіткий+зображення_крихітка_крихіткий.PNG
    2. F-D_7E339675765D8 АА3438А 350 С9Е7Е16Е ЕАД 092Ф4ФД7Б79435441А0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    3. Ф-д_Д96418Д04А5331С44 ЕД 362129035 ФК02385Б0ФД 35721Ф051С0ЕД158+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.2.

    Лексика

    Термін Визначення
    1-1 функція Функція дорівнює 1-1, якщо її зворотна функція також є функцією.
    Тест горизонтальної лінії Тест горизонтальної лінії говорить, що якщо горизонтальна лінія, проведена в будь-якому місці через графік функції, перетинає функцію в більш ніж одному місці, то функція не є один до одного і не обертається.
    зворотний Зворотні функції - це функції, які «скасовують» один одного. Формально: f (x) і g (x) є оберненими функціями, якщо f (g (x)) = g (f (x)) = x.
    обернена функція Зворотні функції - це функції, які «скасовують» один одного. Формально f (x) і g (x) є оберненими функціями, якщо f (g (x)) = g (f (x)) = x.
    оборотний Функція є оборотною, якщо вона має зворотну.
    Один до одного Функція є один до одного, якщо її зворотна функція також є функцією.
    Тест вертикальної лінії Тест вертикальної лінії говорить, що якщо вертикальна лінія, проведена в будь-якому місці через графік відношення, перетинає відношення в більш ніж одному місці, то відношення не є функцією.