2.6.5: Фундаментальна теорема алгебри

Пошук уявних рішень

Луї обчислює, що площа прямокутника представлена рівнянням 3x ⁴ +7x ² =2. Чи правильно це розрахував Луї? Поясніть на основі ступеня і нулів функції.

---

уявні рішення

Пам'ятайте, уявні рішення завжди приходять парами. Щоб знайти уявні розв'язки функції, скористайтеся квадратичною формулою.

Давайте розв'яжемо f (x) =3x ⁴ −x ² −14.

По-перше, ця квартична функція може бути врахована так само, як квадратне рівняння.

г (х) = х ⁴ +21х ² +90

Тепер, оскільки жоден фактор не може бути врахований далі і немає x−term, ми можемо встановити кожен рівний нулю і вирішити.

\ (\\ почати {масив} {ll}
&3 x^ {2} -7=0\\
x^ {2} +2=0 & &3 x^ {2} =7\
x^ {2} =-2 &\ текст {і} & x^ {2} =\ frac {7} {3}\\
x=\ pm\ sqrt {-2}\ текст {}\ pm\ sqrt {2} && x=\ pm\ sqrt {\ frac {7} {3}}\ текст {або}\ pm\ frac {\ sqrt {21}} {3}
\ end {масив}\)

Включаючи уявні рішення, є чотири, що ми очікуємо, оскільки ступінь цієї функції чотири.

Тепер знайдемо всі розв'язки функції g (x) =x ⁴ +21x ² +90.

Якщо позначено графіки, ця функція не торкається осі x. Тому всі рішення є уявними. Для вирішення ця функція може бути врахована як квадратне рівняння. Коефіцієнти 90, які складають до 21, - це 6 і 15.

\ (\\ почати {вирівняний}
g (x) &=x^ {4} +21 x^ {2} +90\\
0 &=\ лівий (x^ {2} +6\ праворуч)\ лівий (x^ {2} +15\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\)

Тепер встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуйте.

\ (\\ почати {масив} {lll}
x^ {2} +6=0 & x^ {2} +15=0\
x^ {2} =-6 &\ текст {і} & x^ {2} =-15\\
x=\ пм я\ sqrt {6} & x=\ pm i\ sqrt {15}
\ кінець {масив}\)

Нарешті, давайте знайдемо функцію, яка має рішення 3, -2 і 4+i.

Зверніть увагу, що одне з заданих рішень передбачає уявне число. Уявні та складні розв'язки завжди попарно, тому 4−i також є фактором. Два фактори - це складні кон'югати. Переведіть кожне рішення в коефіцієнт і помножте їх все разом.

[Малюнок 1]

Будь-яка кратна ця функція також матиме ці корені.

Наприклад, 2x ⁴ −18x ³ +38x ² +62x−204 також матимуть ці корені.

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вас попросили визначити, чи правильно розрахував Людовик свою роботу.

Рішення

Для початку нам потрібно змінити рівняння на стандартну форму. Тоді ми можемо це врахувати.

\ (\\ почати {масив} {r}
3 x^ {4} +7 x^ {2} =2\
3 x^ {4} +7 x^ {2} -2=0\
\ ліворуч (3 x^ {2} +1\ праворуч)\ ліворуч (x^ {2} +2\ праворуч) =0
\ кінець {масив}\)

Розв'язуючи для х отримуємо

\ (\\ почати {вирівняний}
3 x^ {2} +1&=0 &x^ {2} +2&= 0\\ x^ {2} &=\
гідророзриву {-1} {3}\ квад\ квад\ квадрад\ текст {і} & x^ {2} &= -2\\ x &=\ pm i\ sqrt {\ frac {1} {3}}
&х =-2\ x &=\ pm i\ sqrt {\ frac {1} {3}} &x =\ вечора я\ sqrt {2}
\ кінець {вирівняний}\)

Всі рішення є уявними, і площа прямокутника повинна мати реальні рішення. Тому Людовик не розрахував правильно.

Приклад 2

Знайти всі розв'язки такої функції: f (x) =25x ³ −120x ² +81x−4.

Рішення

Спочатку наведіть графік функції.

Використовуючи теорему раціонального кореня, можливі реалістичні нулі можуть бути\(\ \frac{1}{25}\), 1 або 4. Спробуємо ці три можливості за допомогою синтетичного поділу.

З цих трьох можливостей тільки 4 - це нуль. Залишковий многочлен, 25x ² −20x+1, не є факторним, тому нам потрібно скористатися Квадратичною формулою, щоб знайти останні два нулі.

\ (\\ почати {вирівняний}
х &=\ розрив {20\ пм\ sqrt {20^ {2} -4 (25) (1)}} {2 (25)}\\
&=\ frac {20\ pm\ sqrt {400-100}} {50}\
&=\ frac {20\ pm 10\ sqrt {3}} {50}\ текст {}\\ frac {20\ pm 10\ sqrt {3}} {50}\ текст {}\\ frac {c {2\ pm\ sqrt {3}} {5}\ приблизно 0.746\ текст {і} 0.054
\ кінець {вирівняний}\)

Корисна підказка: Завжди знаходьте десяткові значення кожного нуля, щоб переконатися, що вони збігаються з графіком.

Приклад 3

Знайти всі розв'язки такої функції: f (x) =4x ⁴ +35x ² −9.

Рішення

f (x) = 4x ⁴ +35x ² −9 є факторним. ac=−36.

\ (\\ почати {масив} {r}
4 x^ {4} +35 x^ {2} -9\\
4 x^ {4} +36 x^ {2} -x^ {2} -9\
4 x^ {2}\ ліворуч (x^ {2} +9\ праворуч) -1\ лівий (x^ {2} +9\ праворуч)\
\ лівий (x^ {2} +9\ праворуч)\ ліворуч (4 x^ {2} -1\ праворуч)
\ end {масив}\)

Встановлюючи кожен коефіцієнт рівним нулю, ми маємо:

\ (\\ begin {масив} {ll}
&4 x^ {2} -1=0\\
x^ {2} +9=0 &4 x^ {2} =1\
x^ {2} =-9 &\ текст {або}\ квад &x^ {2} =\ frac {1} {4}\
x =\ pm 3 i & x =\ pm\ frac {1} {2}
\ end {масив}\)

Приклад 4

Знайдіть рівняння функції з коренями\(\ \text { 4, } \sqrt{2} \text { and } 1-i\).

Рішення

Нагадаємо, що ірраціональні і уявні коріння йдуть парами. Тому все коріння є\(\ 4, \sqrt{2},{\color{red}-\sqrt{2}}, 1+i, \color{red}1-i\). Розмножте всі 5 коренів разом.

\ (\\ почати {масив} {r}
(x-4) (x-\ sqrt {2}) (x+\ sqrt {2}) (x- (1+i)) (x- (1-i))\\
(x-4)\ лівий (x^ {2} -2\ праворуч)\ лівий (x^ {2} -2 x +2\ праворуч)\
\ лівий (x^ {3} -4 x^ {2} -2 x+8\ праворуч)\ ліворуч (x^ {2} -2 x+2\ праворуч)\\
x^ {5} -6 x^ {4} +8 x^ {3} -4 x^ {2} -20 x+16
\ end {масив}\)

---

Рецензія

Знайдіть всі рішення для наступних функцій. Використовуйте будь-який метод.

1. f (x) = х ⁴ +х ³ −12х ² −10х+20
2. f (x) = 4х ³ −20х ² −3х+15
3. f (x) = 2х ⁴ −7х ² −30
4. ф (х) = х ³ +5х ² +12х+18
5. ф (х) = 4х ⁴ +4х ³ −22х ² −8х+40
6. ф (х) = 3х ⁴ +4х ² −15
7. f (x) = 2х ³ −6х ² +9х−27
8. f (x) = 6x ⁴ −7x ³ −280x ² −419х+280
9. ф (х) = 9х ⁴ +6х ³ −28х ² +2х+11
10. ф (х) = 2х ⁵ −19х ⁴ +30х ³ +97х ² −20х+150

Знайдіть функцію з наступними коренями.

11. \(\ 4,i\)
12. \(\ −3,−2i\)
13. \(\ \sqrt{5},-1+i\)
14. \(\ 2, \frac{1}{3}, 4-\sqrt{2}\)
15. Запис: Запишіть кроки, які ви використовуєте, щоб знайти всі нулі поліноміальної функції.
16. Писання: Чому уявні та ірраціональні коріння завжди приходять парами?
17. Завдання: Знайти всі рішення для\(\ f(x)=x^5+x^3+8x^2+8\).

---

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.12.

---

Лексика

Термін	Визначення
Складний кон'югат	Складні кон'югати - це пари складних біноміалів. Складний кон'югат a+bi є a−bi. При множенні складних сполучень виходить єдине дійсне число.
комплексне число	Комплексне число - це сума дійсного числа і уявного числа, записаного у вигляді a+bi.
теорема сполучених пар	Теорема спряжених пар стверджує, що якщо f (z) є поліномом ступеня n, з n0 і з дійсними коефіцієнтами, а якщо f (z 0) =0, де z 0 = a+bi, то f (z 0 ^∗) =0. Де z 0 ^∗ - комплексний сполучений з z 0.
фундаментальна теорема алгебри	Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що якщо f (x) є поліномом ступеня n≥1, то f (x) має принаймні один нуль у комплексній числовій області. Іншими словами, існує хоча б одне комплексне число c таке, що f (c) =0. Теорему також можна викласти так: поліном n ^-го ступеня з дійсними або комплексними коефіцієнтами має, з кратністю, рівно n складних коренів.
Уявне число	Уявне число - це число, яке можна записати як добуток дійсного числа і i.
уявні числа	Уявне число - це число, яке можна записати як добуток дійсного числа і i.
многочлен	Многочлен - це вираз з принаймні одним алгебраїчним терміном, але який не вказує на поділ на змінну або містить змінні з дробовими показниками.
Коріння	Коріння функції - це значення x, які роблять y рівним нулю.
Нульовий	Нулі функції f (x) - це значення x, які змушують f (x) дорівнювати нулю.
нулі	Нулі функції f (x) - це значення x, які призводять до того, що f (x) дорівнює нулю.

---

Атрибуції зображень

1. [Малюнок 1]
   Кредит: Бахман Калантарі
   Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ANonfractal_polynomiograph.png