Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6.4: Теорема про проміжні значення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55048

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Теорема про проміжні значення

    Цей урок представляє дві теореми: Теорема проміжних значень та Теорема про межі нулів. Технічне визначення наведено нижче, але що насправді означають ці теореми в «звичайній мові»?

    Теорема про проміжні значення

    Теорема проміжних значень пропонує один із способів знайти коріння неперервної функції. Неформальне визначення неперервного полягає в тому, що функція є безперервною протягом певного інтервалу, якщо вона не має розривів, стрибків, асимптотів або отворів у цьому інтервалі. Поліноміальні функції є неперервними для всіх дійсних чисел x. Раціональні функції часто не є неперервними над множиною дійсних чисел через асимптоти або дірки у графі, але для інтервалів без дірок раціональні функції є неперервними.

    Якщо ми знаємо, що функція є безперервною протягом деякого інтервалу [a, b], то ми можемо використовувати теорему про проміжні значення:

    Якщо f (x) є неперервним на деякому інтервалі [a, b], а n знаходиться між f (a) та f (b), то існує деякий c[ a, b] такий, що f (c) =n.

    Наступні графіки висвітлюють, як працює теорема про проміжні значення. Розглянемо графік функції\(\ f(x)=\frac{1}{4}\left(x^{3}-\frac{5 x^{2}}{2}-9 x\right)\) нижче на інтервалі [-3, -1].

    F-D_736D44B8FF22CAD51DE56A97D303E9897 Додано 942BAC11812 CF89CBE7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    f (−3) =−5,625 та f (−1) =1,375. Якщо ми намалюємо межі на [-3, -1] та [f (−3), f (−1)], то ми побачимо, що для будь-якого значення y між y=−5.625 та y=1.375 має бути значення x у [-3, -1] таким чином, що f (x) =y.

    Ф-Д_81 КФ58КС0 КБФ 1С932Ф2019 С9Ф9915А5451Б34ЕЕ35098 ЕЦФ9ЦФ9С59615Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Так, наприклад, якщо ми виберемо c=−2, ми знаємо, що для деяких x [−3, −1], f (x) =−2, хоча розв'язання цього вручну було б важкою задачею!

    Ф-Д_А46 ББ5 ФК 02645Д28Д70Д 1С4Д3Д75А8СЕ9ФДЕ854749 ЦЕФЦ53Д3Ф35+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Теорема про межі нулів є слідством теореми про проміжні значення:

    Межі теореми нулів

    Якщо f є безперервним на [a, b] і є зміна знака між f (a) і f (b) (тобто f (a) позитивний і f (b) негативний, або навпаки), то існує cμ (a, b) такий, що f (c) =0.

    Теорема про межі нулів є наслідком теореми проміжного значення, оскільки вона принципово не відрізняється від загального твердження теореми про проміжні значення, лише особливий випадок, коли n = 0.

    Озираючись на\(\ f(x)=\frac{1}{4}\left(x^{3}-\frac{5 x^{2}}{2}-9 x\right)\) вище, тому що f (−3 0 <0 and f (−1) >, ми знаємо, що для деяких x[ −3, −1], f (x) має корінь. Фактично, цей корінь знаходиться на x = −2. і ми можемо перевірити це за допомогою синтетичного ділення або шляхом безпосередньої оцінки f (−2).

    Наближені нулі поліноміальних функцій

    У обчисленні ви дізнаєтеся кілька методів чисельного наближення коренів функцій. У цьому розділі показано один елементарний числовий метод знаходження нулів многочлена, який використовує переваги теореми проміжних значень.

    Дано неперервну функцію g (x),

    1. Знайдіть дві точки, такі, що g (a) > 0 і g (b) < 0. Після того, як ви знайшли ці дві точки, ви можете ітераційно використовувати наведені нижче кроки, щоб знайти корінь g (x) на інтервалі [a, b]. (Зверніть увагу, ми будемо вважати < b, but the same algorithm works with minor adjustments if b > a)
    2. Оцінити\(\ g\left(\frac{a+b}{2}\right)\).
      1. Якщо\(\ g\left(\frac{a+b}{2}\right)=0\), то корінь є\(\ x=\frac{a+b}{2}\).
      2. Якщо\(\ g\left(\frac{a+b}{2}\right)>0\), замініть з\(\ \frac{a+b}{2}\). І повторіть кроки 1-2, використовуючи\(\ \left[\frac{a+b}{2}, b\right]\)
      3. Якщо\(\ g\left(\frac{a+b}{2}\right)<0\), замініть b с\(\ \frac{a+b}{2}\). і повторіть кроки 1-2, використовуючи\(\ \left[a, \frac{a+b}{2}\right]\)

    Цей алгоритм зазвичай не знайде точний корінь g (x), але він дозволить знайти досить малий інтервал для кореня. Наприклад, ви можете повторити цей процес достатньо разів, щоб знайти інтервал з |a−b|<0,01, і ви будете знати корінь g (x) у досить хорошому наближенні. Якість наближення, яке ви використовуєте (і кількість кроків, які ви використовуєте) залежатиме від того, чому ви шукаєте корінь. Для більшості застосувань, що надходять в межах 0,01 кореня, є розумним наближенням, але для деяких застосувань (наприклад, побудови моста або запуску ракети) вам потрібна набагато більша точність.

    Цікавий наслідок теореми проміжних значень

    Один дивовижний результат теореми проміжних значень полягає в тому, що якщо ви намалюєте будь-яке велике коло навколо земної кулі, то на цьому великому колі повинні бути дві антиподальні точки, які мають точно таку ж температуру.

    Нагадаємо, що велике коло - це шлях навколо сфери, який дає найкоротшу відстань між будь-якими двома точками на сфері. Екватор являє собою велике коло по всій земній кулі. Антиподальні точки - це дві точки з протилежних сторін сфери. На діаграмі нижче B і B′ є антиподальними.

    F-D_8DF0 КАЕД 21ДФ 4015ДФ8Д9С16Б76 ББ986Б3ДД 1689БФ 8544Е60АФА83+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Для неформального підтвердження цього результату подивіться на зображення сфери з трьома великими колами вище. Припустимо, що температура при B дорівнює 75, а температура B′ дорівнює 50. Різниця між температурою в B і при B′ становить 75−50=25. Тепер уявіть, що обертаєте відрізок\(\ \overline{B B^{\prime}}\) навколо синього великого кола. Коли відрізок повернувся на 180 градусів (тобто коли B повернувся туди, де B′), різниця між температурами в цих двох точках становить 50−75 = −25. Оскільки температури постійно змінюються, за теоремою проміжних значень, на цьому колі повинна бути певна точка, коли різниця становила 0, маючи на увазі, що дві антиподальні точки мали однакову температуру.

    Зверніть увагу, що ця маленька демонстрація не говорить нам, які дві антиподальні точки мали однакову температуру, лише те, що на будь-якому великому колі має бути дві такі точки.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, чи можна написати менш формальні визначення теореми проміжних значень та теореми меж нулів.

    Рішення

    Однією з можливостей може бути:

    Теорема проміжних значень просто стверджує, що якщо ви знаєте дві точки на графіку, і знаєте, що графік включає всі точки між ними, то будь-яка точка між ними повинна бути на графіку.

    Теорема про межі нулів передбачає, що якщо графік містить всі точки між додатним і від'ємним значенням, то нульова точка між цими двома значеннями знаходиться на графіку.

    Приклад 2

    Показати, що f (x) =−3x 3 +5x має принаймні один корінь у інтервалі [1, 2].

    Рішення

    Оскільки f (x) є многочленом, ми знаємо, що він безперервний. f (1) = 2 і f (2) = −14. Нехай n = 0 [−14,2]. Застосовуючи теорему проміжних значень, повинна існувати якась точка c [1,2] така, що f (c) = 0. Це доводить, що f (x) має корінь в [1, 2].

    Приклад 3

    У таблиці нижче наведено кілька вибіркових значень полінома p (x).

    х −4 −2 0 1 4 6 8 10 15 18
    р (х) 44.15 6.62 −4.12 −4.09 1.16 0 −8.74 −24.07 −49.8918 3.41

    Рішення

    Виходячи з інформації в таблиці:

    а Яка мінімальна кількість коренів p (x)?

    б Які межі коренів p (x), які ви визначили в (а)?

    Оскільки p (x) - многочлен, ми вже знаємо, що він безперервний. Ми можемо використовувати теорему проміжних значень для ідентифікації коренів, дивлячись на те, коли p (x) змінюється від негативного до позитивного або від позитивного до негативного.

    а У таблиці є чотири зміни знаків p (x), тому, як мінімум, p (x) має чотири корені.

    b Коріння знаходяться в наступних інтервалах x [−2, 0], x [1, 4], x [15, 18], і таблиця також повідомляє нам, що один корінь знаходиться на x=6.

    Приклад 4

    Показати перші 5 ітерацій пошуку кореня h (x) =x 2 −x−1 за допомогою початкових значень a=0 та b=2.

    Рішення

    1. Спочатку ми перевіряємо, що існує корінь між x=0 та x=2. h (0) =−1 та h (2) =1, тому ми знаємо, що в інтервалі є корінь [0, 2]. Перевірте\(\ h\left(\frac{2+0}{2}\right)=h(1)=-1\). Починаючи з −1 < 0, ми знаємо, що корінь знаходиться між x=1 та x=2, і ми використовуємо новий інтервал [1, 2].
    2. Тепер використовуємо інтервал [1, 2]. \(\ h\left(\frac{1+2}{2}\right)=h(1.5)=-0.25\). Починаючи з −0,25 < 0, ми використовуємо інтервал [1.5, 2].
    3. \(\ h\left(\frac{1.5+2}{2}\right)=h(1.75)=0.31\). Починаючи з 0.31 > 0, ми знаємо, що нуль знаходиться в інтервалі [1.5, 1.75].
    4. \(\ h\left(\frac{1.5+1.75}{2}\right)=h(1.625)=0.02\). Починаючи з 0,02 > 0, ми знаємо, що корінь знаходиться між 1.5 і 1.625.
    5. \(\ h\left(\frac{1.5+1.625}{2}\right)=h(1.5620)=-0.12\). Починаючи з −0,12 < 0, ми знаємо, що корінь знаходиться між 1.5620 і 1.625.

    Цей приклад показує, що після п'яти ітерацій ми звузили можливе розташування кореня до 0,06 одиниць. Непогано!

    Приклад 5

    Скористайтеся зображенням графіка нижче, щоб знайти наступне:

    1. Ступінь многочлена
    2. Кількість дійсних нулів та їх наближені значення за допомогою графіка
    3. Кількість уявних нулів

    F-D_C1333772 де 1712d3725320f391e134F829080D2CF94C3E6182A1CE0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Рішення

    1. Для ідентифікації ступеня нагадаємо, що ступінь многочлена на одне число більше числа витків. Зображення показує повороти при apx x = -.6 і apx x = .75, тому це функція 3-го ступеня.
    2. На зображенні показано лінію, що перетинає вісь x 3 рази, при (apx) -1,15, при 0 і в (apx) 1.4.
    3. Оскільки це рівняння 3-го ступеня, існує 3 можливі нулі, а оскільки є 3 дійсних нулі, то уявних немає.
    Приклад 6

    Показати, що f (x) =8x 3 −5x 2 −7x−5 має принаймні один корінь у інтервалі [1, 2].

    Рішення

    Оскільки f (x) є многочленом, ми знаємо, що він безперервний. f (1) = −9 і f (2) = 25. Нехай n = 0 [−9, 25]. Застосовуючи теорему проміжних значень, повинна існувати якась точка c [1,2] така, що f (c) = 0. Це доводить, що f (x) має корінь в [1, 2].

    Зверніть увагу, що оскільки це многочлен 3-го ступеня, існує три нулі. Так як існує тільки один реальний нуль, два інших повинні бути уявними.

    Рецензія

    Для питань 1 - 6 використовуйте зображення графіка, щоб знайти наступне:

    1. Провідний коефіцієнт і ступінь многочлена
    2. Кількість дійсних нулів та їх наближені значення за допомогою графіка
    3. Кількість уявних нулів
    Ф-д_дад 9А8А 24С1д93Е91ЕФ8Ф7Б50095283884457 ББ0 Додати 0e63af476D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 1]

    2.

    F-D_47 АББ Б 70854Ф14709Б60 БА Е02 АС ФД5Е8С585Ф930ДФ 7D0E0F754E1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 2]

    3.

    F-д_60Б457ДА519 ДБ6164 ДБ8С51Д0336ФБ135АФ816Д046400Ф69901695+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 3]

    4.

    F-д_7ФД5А9 АСЕБ 22CF82F63798DAD60B5CDD9Б3136Ф1С0Б281479182136+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    5.

    F-д_6631 Фе 69444Б6А4А4А349Е6758А912Д55936624КД2ЕЕ3ДФБ7Ф9Д9Е+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 4]

    6.

    Ф-Д_27Е264ФБЕ3632А65Е672Е04С3Ф419 АА60Д9068983554 ЕД5Д6302АА+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 5]

    Для питань 7-12 використовуйте теорему про проміжні значення, щоб показати межі нулів кожної функції. (Ваші межі повинні бути в межах цілого числа)

    1. f (x) = 2х 3 −3х+4
    2. г (х) =−5х 2 +8х+12
    3. \(\ h(x)=\frac{1}{2} x^{4}-x^{3}-3 x^{2}+1\)
    4. \(\ j(x)=-\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{1}{2}\)
    5. k (x) - многочлен, і вибрані значення k (x) наведені в наступній таблиці:
      х -3 -2 -1 0 1 2 3
      к (х) −23.5 −1 0.5 −1 5. −1 −23.5
    6. Стівен стверджує,\(\ r(x)=\frac{4 x+1}{x+3.5}\) що функція має два нулі на основі наступної таблиці та застосування теореми Межі на нулі. Що несправно в міркуваннях Стівена?
      х −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
      г (х) 12.67 30 −22 −4.67 -1.20 0,29 1.11 1.64 2.0 2.27

    Для питань 13-15 застосуйте числовий алгоритм п'ять разів, щоб знайти межу на нулі наступних функцій з урахуванням зазначених стартових значень. Дайте остаточну оцінку за нуль.

    1. k (x) = х 4 −3х+1 на [0,1]
    2. b (x) =−0,1x 5+3x 3 −5x 2 на [1,3]
    3. \(\ c(x)=\frac{3 x^{2}-2}{x^{4}+2} \text { on }[0,2]\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.13.

    Лексика

    Термін Визначення
    Межі теореми нулів Теорема про межі нулів стверджує, що якщо f є неперервним на [a, b] і існує зміна знаків між f (a) і f (b) (тобто f (a) позитивний, а f (b) негативний, або навпаки), то існує c (a, b) такий, що f (c) = 0.
    Безперервний Безперервність для точки існує, коли ліві та праві межі збігаються з функцією, оціненою в цій точці. Щоб функція була неперервною, функція повинна бути неперервною в кожній точці нерозривної області.
    Безперервна функція Безперервна функція - це функція без розривів або зазорів. Він містить нескінченну, незліченну кількість значень.
    теорема проміжного значення Теорема проміжного значення стверджує, що якщо f (x) є неперервним на деякому інтервалі [a, b], а n знаходиться між f (a) і f (b), то існує деякий c [a, b] такий, що f (c) = n.
    інтервал Інтервал - це специфічна і обмежена частина функції.
    Раціональна функція Раціональна функція - це будь-яка функція, яку можна записати як відношення двох поліноміальних функцій.
    Синтетичний поділ Синтетичне ділення - це скорочений варіант поліноміального довгого ділення, де використовуються тільки коефіцієнти многочлена.
    теорема Теорема - це твердження, яке можна довести правдивим за допомогою постулатів, визначень та інших теорем, які вже доведені.
    нулі Нулі функції f (x) - це значення x, які призводять до того, що f (x) дорівнює нулю.
    Нулі Нулі функції f (x) - це значення x, які призводять до того, що f (x) дорівнює нулю.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
       Кредит: CK-12
      Джерело: CK-12
    2. [Малюнок 2]
       Кредит: CK-12
      Джерело: CK-12
    3. [Малюнок 3]
       Кредит: CK-12
      Джерело: CK-12
    4. [Малюнок 4]
       Кредит: CK-12
      Джерело: CK-12
    5. [Малюнок 5]
       Кредит: CK-12
      Джерело: CK-12