2.6.3: Реальні нулі многочленів

Реальні нулі многочленів

У реальному світі задачі не завжди легко вписуються в квадратичні або навіть кубічні рівняння. Фінансові моделі, моделі населення, текуча активність тощо, часто вимагають багатьох ступенів вхідної змінної, щоб наблизити загальну поведінку. Хоча моделювати деякі з цих більш складних взаємодій може бути складним завданням, зусилля можуть бути цілком вартими того. Математичні моделі акцій використовуються постійно як спосіб «заглянути в майбутнє» фінансів і зробити ті види освічених здогадок, які стоять за деякими з найбільших статків у світі.

Які переваги ви можете придумати для моделювання поведінки великих популяцій? Чи можете ви придумати інші корисні програми, не згадані тут?

---

Знаходження дійсних нулів многочленів

Є три теореми і правило, на яке ми будемо посилатися під час цього уроку, щоб полегшити відкриття коренів поліноміальних функцій. Ви повинні переглянути їх і бути готовим часто посилатися на них під час практичних проблем.

Теорема про залишок

Якщо многочлен f (x) ступеня n>0 ділиться на x−c, то залишок R є постійною і дорівнює значенню многочлена, коли c підставляється на x.

f (c) = R

Теорема про множник

Якщо f (x) є поліномом ступеня n>0 і f (c) =0, то x−c є множником многочлена f (x). Далі, якщо x−c є множником, то c дорівнює нулю f.

Теорема про раціональний нуль

Задано многочлен

f (x) = а _п х ^п +а _н−1 х ^н−1 ++a ₁ x+a ₀

a _n 0 і n - натуральне число. Якщо коефіцієнти є цілими числами і\(\ \frac{p}{q}\) є раціональним нулем в найнижчих вираженнях, то p - дільник a ₀, а q - дільник _n.

Правило знаків Декарта

Задано будь-який многочлен, p (x),

1. Запишіть його термінами в порядку спадання, тобто від терміну найвищого ступеня до терміну найнижчого ступеня.
2. Підрахуйте кількість знакових змін термінів в p (x). Називаємо число змін знака n.
3. Тоді кількість позитивних коренів p (x) менше або дорівнює n.
4. Далі можлива кількість додатних коренів n, n−2, n−4,...
5. Щоб знайти кількість від'ємних коренів p (x), запишіть p (−x) у порядку спадання, як зазначено вище (тобто змініть знак усіх членів у p (x) з непарними степенями) і повторіть процес вище. Тоді максимальна кількість від'ємних коренів дорівнює n.

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чи можна визначити деякі цінні реальні способи використання для моделювання поліномів вищого ступеня.

Рішення

Ось кілька можливостей:

• Визначення того, який час доби люди, швидше за все, хочуть кави (дослідження ринку, як це, є ключовим для ведення власного бізнесу)
• Прогнозування зростання населення в конкретному районі або районі міста (корисно для визначення вдалого місця для початку малого бізнесу)
• Визначення того, які запаси, ймовірно, зростуть або впадуть залежно від погоди або сезону
• прогнозування погоди
• Розрахунок правого старту, щоб дати більш повільний автомобіль, щоб зробити драг-гонку захоплюючою

Їх багато, багато більше.

Приклад 2

Використовуйте синтетичне ділення та теореми про залишок і множник, щоб знайти частку Q (x) та залишку R, якщо f (x) =2x ³ −3x ² +6 ділиться на x−5.

Рішення

Звідси

2х ³ −3х ² +6 = (2х ² +7х+35) (х−5) +181

Зверніть увагу, що залишок становить 181 і його також можна отримати, якщо ми просто підставили x = 5 в f (x),

\ (\\ почати {вирівняний}
f (5) &=2 (5) ^ {3} -3 (5) ^ {2} +6\\
&=250-75+6\\
&=181
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 3

Використовуйте теорему про раціональне нуль та синтетичне ділення, щоб знайти всі можливі раціональні нулі многочлена

f (x) = х ³ −2х ² −х+2

Рішення

З раціональної нульової теореми,\(\ \frac{p}{q}\) є раціональним нулем многочлена f. так p - дільник 2, а q - дільник 1. Значить, p може приймати такі значення: -1, 1, -2, 2 і q може бути як -1, так і 1. Тому можливі значення\(\ \frac{p}{q}\) є

\(\ \frac{p}{q}:-1,1,-2,2\)

Таким чином, є чотири можливі нулі. З цих чотирьох не більше трьох можуть бути нулями f, оскільки f - многочлен зі ступенем 3. Щоб перевірити, хто з чотирьох можливих кандидатів є нулями f, ми використовуємо синтетичне ділення. Нагадаємо з теореми про залишок, якщо f (c) =0, то c дорівнює нулю f.

Значить, 2 - це нуль f Далі, за алгоритмом поділу,

\ (\\ почати {вирівняний}
f (x) &= (x-c) Q (x) +R (x)\\
& =( x-2)\ ліворуч (x^ {2} -1\ праворуч) +0
\ кінець {вирівняний}\)

Решта нулів f - це просто нулі Q (x) =x ² −1, якими легше маніпулювати,

\ (\\ почати {вирівняний}
Q (x) &=x^ {2} -1\\
& =( x-1) (x+1)
\ кінець {вирівняний}\)

і, таким чином, залишилися нулі -1 і 1. Таким чином, раціональними нулями f є -1, 1 і 2.

Приклад 4

Графік функції полінома h (x) =2x ³ −9x ² +12x−5.

Рішення

Зверніть увагу, що провідним терміном є 2x ³, де n = 3 непарних і _n = 2> 0. Це говорить нам про те, що кінцева поведінка прийме форму силової функції з непарним показником.

Тут, як бачите, немає прямого способу знайти нулі h (x). Однак з використанням теореми фактора і синтетичного поділу ми можемо знайти раціональні корені h (x).

Спочатку ми використовуємо теорему раціонального нуля і виявимо, що можливі раціональні нулі

\(\ \frac{p}{q}:-1,1,-2,2,-5,5,-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\)

тестування всіх цих чисел синтетичним поділом,

-1 не корінь. Тепер давайте перевіримо x = 1.

ми знаходимо, що 1 дорівнює нулю h і тому ми можемо переписати h (x),

ч (х) = (2х ² −7х+5) (х−1)

Дивлячись на квадратичну частину,

2х ² −7х+5 = (2х−5) (х−1)

і так

ч (х) = (2х−5) (х−1) ²

Таким чином, 1 і\(\ \frac{5}{2}\) є x−перехопленнями h (x). Перехоплення y−є

ч (0) =−5

Далі синтетичне поділ можна використовувати і для формування таблиці значень для графіка h (x):

х	−1	0	1	2	\(\ \frac{5}{2}\)	3
ч (х)	−28	−5	0	-1	0	4

Вибираємо контрольні точки з кожного інтервалу і знаходимо g (x).

Інтервал	Тестове значення x	ч (х)	Знак h (х)	Розташування точок на графіку
(−∞, 1)	-1	-28	-	нижче осі x
(1,\(\ \frac{5}{2}\))	\(\ \frac{3}{2}\)	\(\ \frac{-11}{4}\)	-	нижче осі x
(\(\ \frac{5}{2}\), ∞)	3	4	+	над віссю x

З цієї інформації графік h (x) показаний на двох графіках нижче. Зверніть увагу, що другий графік є збільшенням h (x) поблизу осі x.

[Малюнок 1]

[Малюнок 2]

Приклад 5

Використовуйте теорему «раціональний нуль» та синтетичне ділення, щоб знайти всі можливі раціональні нулі многочлена

f (x) = х ³ −2х ² −5х+6

Рішення

Припустимо,\(\ p\over q\) є раціональним нулем f За раціональною нульовою теоремою p є дільником 6, а q - дільником 1. Таким чином, p і q можуть приймати наступні відповідні значення:

p: 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6

і

q: −1, 1

Тому можливі раціональні нулі будуть

\(\ p\over q\): −1, 1, −2, 2, −3, 3, −6, 6

Зверніть увагу, що з цими варіантами для p та q може бути 8⋅2 = 16 раціональних нулів. Але, вісім з них є дублікатами. Наприклад\(\ \frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}=-1\). Наступним кроком є перевірка всіх цих значень синтетичним діленням (ми дозволимо вам зробити це самостійно для практики) і ми нарешті виявимо, що 1, −2 і 3 - це нулі f.

f (x) = х ³ −2х ² −5х+6

= (х−1) (х+2) (х−3)

Приклад 6

Використовуйте Правило знаків Декарта, щоб визначити можливу кількість позитивних і негативних коренів

f (x) =−2x ³ +x ² −3x ^5+5x−1.

Рішення

Спочатку перепишіть f (x) в порядку спадання

f (x) =−3x ⁵ −2x ³ +х ² +5x−1.

Кількість змін знаків f (x) дорівнює 2, тому кількість позитивних коренів дорівнює або 2, або 0.

Для негативних коренів пишіть

f (−x) =−3x ^{5+2x 3} +х ² −5x−1

Кількість змін знаків f (−x) дорівнює 2, тому максимальна кількість негативних коренів дорівнює 2.

Графік f (x) нижче показує, що існує один негативний корінь і два позитивних кореня.

[Малюнок 3]

---

Рецензія

Питання 1 - 3: Використовуйте а) довгий поділ і б) синтетичний поділ для виконання поділів. Висловлюйте кожен результат у вигляді: f (x) =D (x) ⋅Q (x) +R.

1. 5х ⁵ − 3х ⁴ + 2х ³ + х ² − 7х+ 3 по х−2
2. −4x ⁶ − 5x ³ + 3x ² + x + 7 за x−1
3. 2x ³ − 5x ² + 5x + 11 по х -\(\ \frac{1}{2}\)
4. Використовуйте синтетичне ділення, щоб знайти Q (x) та f (c) так, що f (x) = (x−c) Q (x) +f (c), якщо f (x) = −3x ⁴ − 3x ³ + 3x ² + 2x − 4 та c = −2
5. Якщо f (x) = x ³ + 2x ² − 10x + 10, використовуйте синтетичне поділ для визначення наступного: а) f (−1) b) f (−3) c) f (0) d) f (4) e) Які фактори f (x)?
6. Знайти k так, що x−2 є коефіцієнтом f (x) = 3x ³ + 4x ² + kx − 20
7. Використовуйте синтетичне ділення для визначення всіх нулів многочленів: a) f (x) = 3x ³ − 7x ² + 8x − 2 b) g (x) = 4x ⁴ − 4x ³ − 7x ² + 4x + 3
8. Графік поліноміальної функції f (x) = x ³ − 2x ² − 5x + 6 за допомогою синтетичного ділення, щоб знайти x−перехоплення та знайти y−перехоплення.
9. Графік поліноміальної функції h (x) = x ³ − 3x ² + 4 за допомогою синтетичного ділення, щоб знайти x−перехоплення та знайти y−перехоплення.
10. Напишіть рівняння 3-го ступеня поліноміальної функції з нулями: 0, 2 і -5.
11. Напишіть рівняння 7 ступеня поліноміальної функції з нулями: 0 (кратність 2), 2 (кратність 3) та -5 (кратність 2)
12. Напишіть квадратне рівняння, яке має 4 (кратність 2) як нуль і відкривається вниз.
13. Напишіть поліноміальну функцію 3-го ступеня з нулями: -2, 2 і 6, що проходять через точку (3, 4)
14. Нехай f (x) = 2x ³ − 5x ² − 4x + 3 і знайдемо розв'язки: a) f (x) =0 b) f (2x) =0
15. Граф і знайти розв'язку множини ^{нерівностей x 3} − 2x ² − 5x + 6 ≤ 0.
16. Скористайтеся графіком f (x) =x (x−1) (x+2), щоб знайти множину розв'язків нерівності x (x−1) (x+2) >0.

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.12.

---

Лексика

Термін	Визначення
Правило знаків Декарта	Правило знаків Декарта - це методика визначення кількості позитивних і негативних дійсних коренів многочлена.
теорема про коефіцієнт	Теорема фактора стверджує, що якщо f (x) є поліномом ступеня n>0 і f (c) =0, то x−c є множником многочлена f (x).
теорема факторизації	Теорема факторизації стверджує, що якщо f (x) = a n ^x n + a n−1 ^x n−1 + + a 1 x + a 0, де a n 0, а n - натуральне число, то f (x) = a n (x−c 1) (x−c 2) (x−c 0) де числа ci є комплексними числами.
Кратність	Кратність члена описує кількість разів, коли даний член виступає як нуль заданої функції.
многочлен	Многочлен - це вираз з принаймні одним алгебраїчним терміном, але який не вказує на поділ на змінну або містить змінні з дробовими показниками.
Теорема про раціональний нуль	Теорема про раціональне нуль стверджує, що для многочлена f (x) = a n ^x n + a n−1 x ^n−1 + + a 1 x + a 0, де an, a n−1, a 0 є цілими числами, раціональні корені можна визначити за факторами an та a0. Більш конкретно, якщо p - коефіцієнт a0, а q - множник an, то всі раціональні фактори матимуть вигляд\(\ \pm \frac{p}{q}\).
Теорема про залишок	Теорема про залишок стверджує, що якщо f (k) =r, то r - залишок при діленні f (x) на (x−k).
Коріння	Коріння функції - це значення x, які роблять y рівним нулю.
Синтетичний поділ	Синтетичне ділення - це скорочений варіант поліноміального довгого ділення, де використовуються тільки коефіцієнти многочлена.
нулі	Нулі функції f (x) - це значення x, які призводять до того, що f (x) дорівнює нулю.
Нулі	Нулі функції f (x) - це значення x, які змушують f (x) дорівнювати нулю.

---

Атрибуції зображень

1. [Малюнок 1]
   Кредит: CK-12
   Джерело: CK-12
2. [Малюнок 2]
   Кредит: CK-12
   Джерело: CK-12
3. [Малюнок 3]
   Кредит: CK-12
   Джерело: CK-12