Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6.2: Синтетичний поділ поліномів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55052

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Синтетичний поділ поліномів

    Об'єм прямокутної призми становить 2x 3 +5x 2 −x−6. Визначте, чи 2х+3 - довжина однієї зі сторін призми.

    Синтетичний поділ

    Синтетичне поділ - альтернатива довгому поділу. Він також може бути використаний для поділу многочлена на можливий множник, x−k. Однак синтетичне ділення не може бути використано для поділу більших многочленів, таких як квадратики, на інший многочлен.

    Скористаємося синтетичним діленням, щоб розділити 2x 4 −5x 3 −14x 2 +47x−30 на x−2.

    Використовуючи синтетичне поділ, настройка відбувається наступним чином:

    Ф-Д_ББ0ДФ 65Ф257Ф24БК 20КС2Е537Б55Б9546Д67Е3А1979C045428 AEEEBD+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 1]
    F-д_ад 9 ЕБС7Ф23С29Б2ЕФ3А6А06А5ЕАФ 437Б13Ф220348E114AC 147A29B4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 2]
    F-D_566E3B9 ЕД Д 198 ФДД 5404488 ББ1 ББДБ 2799С21070А96А3ДКБД 6CDD0B0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 3]
    Ф-д_ЕФ1695Е2Б29180049813595Б4С2С БФ 5138А494Е9Ф8546Е5Е2ФБ6123+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 4]
    Ф-д_2643Б03А2748943АА8 АББ 9Б08Ф1Е014ДАФ 22А9БФ 27ДК9Ф88805+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 5]

    Щоб «прочитати» відповідь, використовуйте цифри наступним чином:

    F-д_СЕББ 3Ф3428Б 923759 AD7D49ДД 48703528Б89Е3А3А3КД21ЕФ0АФ92+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 6]

    Тому 2 - це рішення, тому що залишок дорівнює нулю. Факторний многочлен дорівнює 2x 3 −x 2 −16x+15. Зверніть увагу, що коли ми синтетично ділимо на k, «залишок» многочлена на один ступінь менше, ніж оригінал. Ми також могли б написати

    (x−2) (2x 3 −x 2 −16x+15) =2x 4 −5x 3 −14x 2 +47х−30.

    Тепер давайте визначимо, чи 4 є розв'язком f (x) =5x 3 +6x 2 −24x−16.

    Використовуючи синтетичне поділ, ми маємо:

    F-D_F3D178830CF538F9 АЦБ 3993Б93Б92051 ГК 07Е38881003Д1СБ97А55692+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 7]

    Залишок дорівнює 304, тому 4 не є рішенням. Зверніть увагу, якщо ми підставимо в x = 4, також написані f (4), ми матимемо f (4) =5 (4) 3 +6 (4) 2 −24 (4) −16=304. Це призводить нас до теореми про залишок.

    Теорема про залишки: Якщо f (k) =r, то r також є залишком при діленні на (x−k).

    Це означає, що якщо ви підставите x = k або ділите на k, то, що виходить з f (x), однакове. r - це залишок, але це також відповідне значення y. Тому точка (k, r) була б на графіку f (x).

    Нарешті, давайте визначимо, чи є (2x−5) коефіцієнтом 4x 4 −9x 2 −100.

    Якщо ви використовуєте синтетичне ділення, коефіцієнт не буде у формі (x−k). Нам потрібно вирішити можливий коефіцієнт для нуля, щоб побачити, яким буде можливе рішення. Тому нам потрібно виставити\(\ \frac{5}{2}\) в лівому кутку коробку. Також далеко не кожен член представлений в цьому многочлені. Коли це станеться, ви повинні поставити в нульові заповнювачі. У цій задачі нам потрібні нулі для терміна x 3 та x−term.

    F-D_CCD1E30500 БФА 71097D266E3С16Е43АЕ5С7683Е8Ф8С12E7729 EDB+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 8]

    Це означає, що\(\ \frac{5}{2}\) є нулем і відповідним біноміалом (2x−5) є коефіцієнтом.

    Приклад 1

    Раніше вас попросили визначити, чи 2х+3 - це довжина однієї зі сторін призми.

    Рішення

    Якщо 2x+3 розділяється рівномірно на 2x 3 +5x 2 −x−6, то це довжина однієї зі сторін призми.

    Якщо ми хочемо використовувати синтетичне ділення, зверніть увагу, що коефіцієнт не має форми (x−k). Тому нам потрібно вирішити можливий коефіцієнт для нуля, щоб побачити, яким буде можливе рішення. Якщо 2x+3=0, то x=\(\ -\frac{3}{2}\). Тому нам потрібно виставити\(\ -\frac{3}{2}\) в лівому кутку коробку.

    Ф-д_79 ДДБ0FF53169Ф2986ЕБ001138Ф73Ф721Ф2097CE696AF341B85D1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Коли ми виконуємо синтетичне ділення, отримуємо залишок 0. Це означає, що (2х+3) - коефіцієнт гучності. Тому це ще й довжина однієї зі сторін прямокутної призми.

    Приклад 2

    Розділіть x 3 +9x 2 +12x−27 на (x+3). Запишіть отриманий многочлен із залишком (якщо такий є).

    Рішення

    Використовуючи синтетичне поділ, ділимо на -3.

    F-д_675ЕФ9222ЕД 3Ф0103ББ95СБ Б 1069Ф625А25А25289БФ 03793 ЕДБ49AD3C3F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 9]

    Відповідь є\(\ x^{2}+6 x-6-\frac{9}{x+3}\).

    Приклад 3

    Розділіть 2x 4 −11x 3 +12x 2 +9х−2 на (2x+1). Запишіть отриманий многочлен із залишком (якщо такий є).

    Рішення

    Використовуючи синтетичне поділ, ділимо на\(\ -\frac{1}{2}\).

    F-D_B70241E10АЕ 3877602327F8 АЦФ змінного струму CF738 AB1F0A75C2463B8DFA9D2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 10]

    Відповідь:\(\ 2 x^{3}-12 x^{2}+18 x-\frac{2}{2 x+1}\)

    Приклад 4

    Чи є 6 розв'язком для f (x) =x 3 −8x 2 +72? Якщо так, то знайдіть дійсні нулі (розв'язки) отриманого полінома.

    Рішення

    Поставте нульовий заповнювач для x−term. Розділити на 6.

    Ф-д_АЕ4Е846С09816333053366726911 БД7651147А6Ф1343Д61С46ФД50+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Отриманий многочлен дорівнює x 2 −2x−12. Хоча цей квадратичний фактор не є фактором, ми можемо використовувати квадратичну формулу, щоб знайти інші корені.

    \(\ x=\frac{2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-12)}}{2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+48}}{2}=\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2}=1 \pm \sqrt{13}\)

    Розв'язки цього многочлена є\(\ 6,1+\sqrt{13} \approx 4.61 \text { and } 1-\sqrt{13} \approx-2.61\).

    Рецензія

    Використовуйте синтетичне ділення, щоб розділити наступні многочлени. Випишіть залишився многочлен.

    1. (х 3+6х 2 +7х+10) ÷ (х+2)
    2. (4х 3 −15х 2 −120х−128) ÷ (х−8)
    3. (4х 2 −5) ÷ (2х+1)
    4. (2x 4 −15x 3 −30x 2 −20x+42) ÷ (х+9)
    5. (х 3 −3х 2 −11х+5) ÷ (х−5)
    6. (3х 5+4х 3 −х−2) ÷ (х−1)
    7. Яка з вищезазначених проблем поділу не генерує залишку? Що це означає?
    8. У чому різниця між нулем і коефіцієнтом?
    9. Знайти f (−2), якщо f (x) =2x 4 −5x 3 −10x 2 +21x−4.
    10. Тепер розділіть 2x 4 −5x 3 −10x 2 +21x−4 на (x+2) синтетично. Що ви помічаєте?

    Знайти всі дійсні нулі наступних многочленів, заданих один нуль.

    1. 12х 3 +76х 2 +107х−20; −4
    2. х 3 −5х 2 −2х+10; −2
    3. 6х 3 −17х 2 +11х−2; 2

    Знайти всі дійсні нулі наступних многочленів, заданих два нулі.

    1. х 4 +7х 3 +6х 2 −32х−32; −4, −1
    2. 6х 4 +19х 3 +11х 2 −6х; 0, −2

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.10.

    Лексика

    Термін Визначення
    коса асимптота Коса асимптота - це діагональна лінія, що позначає певний діапазон значень, до якого графік функції може наблизитися, але, як правило, ніколи не досягати. Коса асимптота існує, коли чисельник функції рівно на один ступінь більше знаменника. Коса асимптота може бути виявлена за допомогою довгого поділу.
    Косий асимптот Коса асимптота - це діагональна лінія, що позначає певний діапазон значень, до якого графік функції може наблизитися, але, як правило, ніколи не досягати. Коса асимптота існує, коли чисельник функції рівно на один ступінь більше знаменника. Коса асимптота може бути виявлена за допомогою довгого поділу.
    Теорема про залишок Теорема про залишок стверджує, що якщо f (k) =r, то r - це залишок при діленні f (x) на (x−k).
    Синтетичний поділ Синтетичне ділення - це скорочений варіант поліноміального довгого ділення, де використовуються тільки коефіцієнти многочлена.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm
    2. [Рисунок 2]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm
    3. [Малюнок 3]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm
    4. [Рисунок 4]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm
    5. [Малюнок 5]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm
    6. [Рисунок 6]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm
    7. [Рисунок 7]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm
    8. [Малюнок 8]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm
    9. [Малюнок 9]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm
    10. [Малюнок 10]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates67/opciones/sabias/Ruffinni/Ruffinni.htm