Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6.1: Довге ділення многочленів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55041

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Довгий поділ і синтетичний поділ

    Чи можете ви розділити наступні многочлени?

    \(\ \frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}\)

    Довгий поділ і синтетичний поділ

    Поліноміальне довге ділення

    Всякий раз, коли ви хочете розділити многочлен на многочлен, ви можете використовувати процес, який називається поліноміальним довгим діленням. Цей процес схожий на довге ділення для регулярних чисел. Подивіться на проблему нижче:

    \(\ \frac{\left(x^{2}+3 x+2\right)}{(x+1)}\)

    Це те саме, що і проблема поділу нижче:

    Ф-д_514ф0Ф506С20А3С4Б6Б6Д8Б92ДК 800Ф7Б50Ф37С7062Ф8Ф5369А3С4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Крок 1: Розділіть перший член чисельника (x 2) на перший член у знаменнику (x). Помістіть цей результат вище планки поділу у вашій відповіді. В даному випадку,\(\ \frac{x^{2}}{x}=x\).

    F-д_04С47Д5С17 Баб8С46Ф5А87659C805522857a8CE241E1AC06C47E7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крихіткий.PNG

    Крок 2: Помножте знаменник (x+1) на результат з кроку 1 (x) і поставте новий результат нижче вашого чисельника. Потім відніміть, щоб отримати новий многочлен. Це той самий процес, що і при регулярному розподілі довгих чисел!

    F-д_д39546d223A6D 1667765A8 А8 CAE 7848 СБ6333772A056822A1E460DE2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Крок 3: Розділіть перший член у новому многочлені (2x) на перший член у знаменнику (x). Помістіть цей результат вище планки поділу у вашій відповіді. Помножте, відніміть і повторюйте цей процес, поки ви не зможете його більше повторити.

    Ф-д_ФД1Е94ЕС8812Ф93603КБ07А22ДБ2Ф72616102Ф6506537Е029Б60А7Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Тому:\(\ \frac{\left(x^{2}+3 x+2\right)}{(x+1)}=(x+2)\)

    Синтетичний поділ

    Синтетичне ділення - ще один метод ділення многочленів. Це скорочення довгого ділення, яке працює лише тоді, коли ви ділите на многочлен ступеня 1. Зазвичай дільник має форму (x±a). У синтетичному діленні, на відміну від довгого ділення, вас турбують лише коефіцієнти в многочленах. Розглянемо ту ж проблему, що і вище:

    Ф-д_514ф0Ф506С20А3С4Б6Б6Д8Б92ДК 800Ф7Б50Ф37С7062Ф8Ф5369А3С4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 1]

    Крок 1: Запишіть коефіцієнти в перевернутому знаку поділу.

    F-д_673ФБК 23Ф79722Ф395795С50462Е8245Ф0А8Д1АФ 56А4644444D7ad78+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 2]

    Крок 2: Поставте протилежне числу від дільника ліворуч від символу ділення. У цьому випадку дільником буде x+1, тож ви будете використовувати −1.

    Ф-д_79055Д60ДБ9659БД43145А43С8Е339ДА74Ф47Д257Ф1Ф313926А38+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Крок 3: Візьміть провідний коефіцієнт і знизьте його нижче символу поділу.

    Ф-Д_СЕ 9450Е8С5098А25Б1С2БК 43А8Е9С1Д05752БФ34Д902Д314Ф66ДАФФК+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 4]

    Крок 4: Помножте це число на число зліва від символу поділу і помістіть його в наступний стовпець. Додайте два числа разом і помістіть це нове число під знаком поділу.

    F-д_6Е63383E009344F7034дБФ 47176Б190Б954Е5ЕЕ312497ААА692214+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 5]

    Крок 5: Помножте це друге число на число зліва від символу поділу і помістіть його в третій стовпець. Додайте два числа разом і помістіть це нове число під знаком поділу.

    Ф-Д_02БК 84ФБ Б Б 4Е2Ф0Ф1А8ФС7ДДД5Ф84ФДБ8Б373С8186 ЕС494Б6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 6]

    Цифри під знаком ділення представляють ваші коефіцієнти. Тому

    \(\ \frac{\left(x^{2}+3 x+2\right)}{(x+1)}=(x+2)\)

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас просили розділити многочлени:

    \(\ \frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}\)

    Рішення

    Можна використовувати довге поділ або синтетичне поділ.

    Довгий дивізіон:

    Крок 1: Розділіть перший член в чисельнику на перший член знаменника, поставте це у вашій відповіді. Тому\(\ \frac{x^{2}}{x}=x\).

    \ (\\ begin {масив} {c}
    \ textcolor {червоний} х\\
    (x-2) |\ overline {x^2 -5x + 6}
    \ end {масив}\)

    Крок 2: Помножте знаменник на це число (змінну) і поставте його під чисельником, відніміть і отримайте свій новий многочлен.

    Знімок екрана 2021-01-18 о 9.20.54 PM.png

    Крок 3: Повторюйте процес, поки не зможете його більше повторити.

    Знімок екрана 2021-01-18 о 9.21.37 PM.png

    Тому:\(\ \frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}=(x-3)\)

    Приклад 2

    Використовуйте довге ділення для поділу:

    \(\ \frac{x^{2}+6 x-7}{x-1}\)

    Рішення

    Крок 1: Розділіть перший член в чисельнику на перший член знаменника, поставте це у вашій відповіді. Тому\(\ \frac{x^{2}}{x}=x\).

    Знімок екрана 2021-01-18 о 9.26.30 PM.png

    Крок 2: Помножте знаменник на це число (змінну) і поставте його під чисельником, відніміть і отримайте свій новий многочлен.

    Знімок екрана 2021-01-18 о 9.27.12 PM.png

    Крок 3: Повторюйте процес, поки не зможете його більше повторити.

    Знімок екрана 2021-01-18 о 9.27.46 PM.png

    Тому:\(\ \frac{x^{2}+6 x-7}{x-1}=(x+7)\)

    Приклад 3

    Використовуйте довге ділення для поділу:

    \(\ \frac{2 x^{2}+7 x+5}{2 x+5}\)

    Рішення

    Крок 1: Розділіть перший член чисельника на перший член у знаменнику; поставте це у вашій відповіді. Тому\(\ \frac{2 x^{2}}{2 x}=x\).

    Знімок екрана 2021-01-18 о 9.34.32 PM.png

    Крок 2: Помножте знаменник на це число (змінну) і поставте його під чисельником, відніміть і отримайте свій новий многочлен.

    Знімок екрана 2021-01-18 о 9.35.36 PM.png

    Крок 3: Повторюйте процес, поки не зможете його більше повторити.

    Знімок екрана 2021-01-18 о 9.36.33 PM.png

    Тому:\(\ \frac{2 x^{2}+7 x+5}{2 x+5}=(x+1)\)

    Приклад 4

    Використовуйте синтетичне поділ, щоб розділити:

    \(\ \frac{3 x^{2}+x-4}{x-1}\)

    Рішення

    Крок 1: Запишіть коефіцієнти в перевернутому знаку поділу.

    F-D_0FF01d5252C846F56FFF6FFF6A81CC2C11A113A7017B82D8877970+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png

    Крок 2: Поставте протилежне числу від дільника ліворуч від символу ділення.

    F-D_900E5931238F2DD61B31077 FAA64A0b468e00849d921a53de45a8a8ad+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великого пальця_листівка_крихіткий.PNG

    Крок 3: Візьміть провідний коефіцієнт і знизьте його нижче символу поділу.

    F-D_EE0A2BB1208C88ACD667806 FFE005FC67b42003027492A3638FF5E4C+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палецька_листівка_крихітка_png

    Крок 4: Помножте це число на число зліва від символу поділу і помістіть його в наступний стовпець. Додайте два числа разом і помістіть це нове число під знаком поділу.

    F-D_35902179B39A44C2B1989FF6А361С1905Ф0БК бед 772d08920ec85BC+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png

    Крок 5: Помножте це друге число на число зліва від символу поділу і помістіть його в третій стовпець. Додайте два числа разом і помістіть це нове число під знаком поділу.

    F-D_1EACE 6276БД4С484CDDBA 64322 EBC7D03CD4137310C8EA6992500171+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png

    Тому:\(\ \frac{3 x^{2}+x-4}{x-1}=(3 x+4)\)

    Рецензія

    Використовуйте довге ділення, щоб розділити кожне з наступних дій:

    1. (х 2+7х+12) ÷ (х+3)
    2. (х 2+4х+3) ÷ (х+3)
    3. (a 2 −4a−45) ÷ (a−9)
    4. (3x 2+5x−2) ÷ (3х−1)
    5. (2x 2 −5x+2) ÷ (2x−1)

    Використовуйте синтетичне поділ, щоб розділити кожне з наступних дій:

    1. (b 2 −5b+6) ÷ (b−3)
    2. (х 2 −6х+8) ÷ (х−4)
    3. (a 2 −1) ÷ (a+1)
    4. (c 2 −9) ÷ (c−3)
    5. (5р 2 +2р−3) ÷ (р+1)

    Розділіть кожне з наступних дій:

    1. \(\ \frac{2 x^{3}-7 x^{2}-14 x-5}{x-5}\)
    2. \(\ \frac{9 x^{4}-15 x^{3}+12 x^{2}-11 x-15}{3 x^{3}+4 x+3}\)
    3. \(\ \frac{6 x^{4}+4 x^{3}+9 x^{2}+2 x+3}{2 x^{2}+1}\)
    4. \(\ \frac{x^{4}+4 x^{3}+3 x^{2}+x+1}{x+1}\)
    5. \(\ \frac{2 x^{3}+7 x^{2}-27 x+18}{x+6}\)
    6. \(\ \frac{8 x^{3}-2 x^{2}+7 x+5}{2 x+1}\)
    7. \(\ \frac{3 x^{3}-15 x^{2}+4 x-20}{x-5}\)
    8. \(\ \frac{9 x^{3}+26 x^{2}-48 x+5}{x^{2}+3 x-5}\)
    9. \(\ \frac{-x^{3}+13 x+12}{x+3}\)
    10. \(\ \frac{x^{3}-2 x^{2}-5 x+10}{x-2}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.13.

    Лексика

    Термін Визначення
    Дивіденди У задачі поділу дивіденд - це число або вираз, яке ділиться.
    дільник У задачі ділення дільник - це число або вираз, яке ділиться на дивіденд. Наприклад: У виразі 152÷6 6 6 - дільник, а 152 - дивіденд.