Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5.2: Поліноміальні та раціональні нерівності

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55062

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Поліноміальні та раціональні нерівності

    Часто легше використовувати та запам'ятовувати нові терміни, коли у вас є «гачок» або порівняння з терміном, який ви вже знаєте.

    «Поліноміальна нерівність» - це термін, який зазвичай використовується для позначення нерівностей, де змінна x має ступінь 3 або більше.

    Префікс «полі» означає «множинний» або «багато», а кореневе слово «nomial» означає «ім'я» або «термін».

    Тому «многочлен» буквально: «багато термінів».

    Префікс «in» означає «не», а кореневе слово «рівний», звичайно, означає «те саме».

    Тому і «нерівність» відноситься до речей, які «не однакові» або «не рівні».

    Чи можете ви використати цю логіку, щоб визначити походження деяких інших термінів, що використовуються в цьому уроці?

    Поліноміальні та раціональні нерівності

    Поліноміальні нерівності

    Розв'язування поліноміальних нерівностей дуже схоже на розв'язування квадратичних нерівностей. Основні етапи однакові:

    1. Встановлюємо нерівність у вигляді p (x) >0 (або p (x) <0, p (x) ≤0, p (x) ≥0)
    2. Знайти розв'язки рівняння p (x) =0.
    3. Розділіть числовий рядок на інтервали на основі розв'язків p (x) =0.
    4. Використовуйте контрольні точки, щоб знайти набори розв'язків рівняння.

    Раціональні нерівності

    До процесу розв'язання раціональних нерівностей додається один крок, оскільки раціональна функція також може змінювати ознаки при своїх вертикальних асимптотах або при розриві графіка. Наприклад, подивіться на графік функції\(\ r(x)=\frac{x}{x^{2}-9}\) нижче.

    Ф-Д_279Е 93357D356733ДФ 2549420Б5845018Д371854CE6064C8184C8AD0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Якщо ми хочемо розв'язати нерівність\(\ \frac{x}{x^{2}-9}>0\), то нам потрібно використати такі критичні точки: x=0, x=3 та x=−3. x=0 - це рішення встановлення чисельника рівним 0, і це дає нам єдиний корінь функції. x=± 3 - це вертикальні асимптоти, x−координати, які роблять функцію undefined, тому що введення 3 або -3 для x призведе до поділу на нуль.

    Тестування інтервалів між кожною критичною точкою, щоб побачити, чи задовольняють значення цього інтервалу функції, дає нам:

    Інтервал Тестова точка Позитивний/Негативний? Частина набору рішень?
    (−∞, −3) -4 - ні
    (-3, 0) -2 + так
    (0, 3) 2 - ні
    (3, +∞) 4 + так

    Таким чином,\(\ \frac{x}{x^{2}-9}>0\) розв'язки є x( −3,0) (3, +∞).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вам давали питання про виявлення витоків інших термінів на цьому уроці.

    Рішення

    Скільки термінів, які ми використовували останнім часом, ви змогли відстежити походження? Деякі з них перераховані нижче, чи знайшли ви інших?

    Біноміал: «двоіменний» або «двочленний» - від «бі», що означає «два» та «номіал», що означає «ім'я» або «термін». Квадратний: «пов'язані з квадратом» - від «квадрат», що означає «квадрат». Ratio-nal: «пов'язаний із співвідношенням» - від «співвідношення», що означає «причина» (як у «міркувати» або «обчислити») та «-al», що означає «пов'язаний з».

    Приклад 2

    Розв'яжіть x 3 −3x 2 +2x≥0.

    Рішення

    Многочлен вже в правильному вигляді p (x) ≥0, тому ми вирішуємо рівняння

    х 3 −3х 2 +2х=0

    х (х 2 −3х+2) =0

    x (x−2) (x−1) =0

    Нулі мають значення x = 0, x = 1 і x = 2.

    Інтервал Тестова точка Позитивний/Негативний? Частина набору рішень?
    (−∞, 0) -5 - ні
    (0, 1) \(\ 1 \over 2\) + так
    (1, 2) \(\ 3 \over 2\) - ні
    (2, +∞) 3 + так

    Зверніть увагу, що ця нерівність більше або дорівнює нулю, тому ми включаємо нулі в набір рішень. Тому розв'язки є x[ 0,1] [2, +∞].

    Приклад 3

    Розв'яжіть 6х 4 +5х 2 <25.

    Рішення

    Спочатку ми змінимо нерівність на 6x 4 +5x 2 −25<0. Тепер розв'яжіть рівняння 6x 4 +5x 2 −25=0.

    6х 4 +5х 2 −25 = 0

    (3х 2 −5) (2х 2 +5) = 0

    Перший термін дає рішення\(\ x=\pm \sqrt{\frac{5}{3}}\) і немає реальних рішень для другого терміну.

    Інтервал Тестова точка Позитивний/Негативний? Частина набору рішень?
    \(\ \left(-\infty,-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\) -3 + ні
    \(\ \left(-\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}}\right)\) 0 - так
    \(\ \left(\sqrt{\frac{5}{3}},+\infty\right)\) 3 + ні

    Нарешті, набір рішень є\(\ x \in\left(-\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}}\right)\).

    Приклад 4

    Знайти розв'язку множини нерівності

    \(\ \frac{4 x-12}{3 x-2}<0\)

    Рішення

    З чисельника вирішуємо 4x−12=0 або x=3. У знаменнику розв'язуємо 3x−2=0 і знаходимо критичну точку\(\ x=frac{2}{3}\).

    виготовлення столу

    Інтервал Тестова точка Позитивний/Негативний? Частина набору рішень?
    \(\ \left(-\infty, \frac{2}{3}\right)\) 0 + ні
    \(\ \left(\frac{2}{3}, 3\right)\) 1 - так
    (3, +∞) 5 + ні

    Тому набір рішень включає в себе числа в інтервалі\(\ \left(\frac{2}{3}, 3\right)\). Або в позначеннях set-builder рішення є\(\ \left\{x \mid \frac{2}{3}<x<3\right\}\).

    Приклад 5

    (з використанням технології) Компанія McNeil Surf виготовляє гідрокостюми. Для заданої кількості гідрокостюмів x прибуток Макнейла у доларах задається функцією P (x) =−0,01x 2 +25x−3000.

    1. Якщо менеджер McNeil хоче, щоб прибуток залишався вище 9,000 доларів, яка мінімальна та максимальна кількість гідрокостюмів, які вони можуть виготовити, щоб підтримувати цей рівень прибутку?
    2. Яку максимальну прибуток може отримати Макнейл?
    3. Чи можете ви пояснити, чому ця форма може мати сенс для функції прибутку?

    Рішення

    1. Налаштуйте нерівність

      −0,01х 2 + 25х − 3000 > 9000

      −0,01х 2 + 25х − 12000 > 0

      За допомогою калькулятора ви можете скласти графік функції Y 1 = −0.01x 2 + 25x − 12000.

      На TI-83: скористайтеся вікном [−1000,4000] × [−5000,15000].

      Налаштування такі:

      Хмін = −1000, Xmax = 4000, Xscl = 500

      Ymin = −5000, Ymax = 5000, Yscl = 1000 рс=1

      На програмному графіку зображення виглядає наступним чином з вікном x:0→2400 та y:0→3500

      F-д_Ф 6Ф1Ф81176Б ФД де 9Ф889Б56346Ефак 4А27C5C0E7F6053C704B6F2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

      Використовуючи меню CALC (2ND TRACE) та вибравши параметр НУЛІ, ми бачимо, що нулі Y 1 =−0,01x 2 +25x−12000 мають значення x=647,920 та x=1852.080.

      Досліджуючи графік, ми можемо побачити, що розв'язком, встановленим на нерівність −0.01x 2 +25x−12000>0, є xμ (648,1852).

      Візуально це виглядає так:

      Ф-д_0 ЕДБ123Д56ФАФ 249Б3ЕЕЕЕ5298БФ1БФ 1Д34ФА222Д20Д2765АБ4ДЕА+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    2. Тримаючи той самий графік відкритим, використовуйте CALC MAXIMUM для вирішення для максимального прибутку. Максимум знаходиться на рівні (1250, 3625), що вказує на те, що максимальний прибуток становить 3625 доларів вище встановленого нами мінімуму: 9000 доларів.

      Таким чином, фактичний максимальний прибуток становить $12,625, коли виробляються 1250 гідрокостюмів.

    3. Однією з можливих причин, по якій функція прибутку може прийняти таку форму, є витрати на робочу силу. Якщо Макнейл хоче зробити дуже велику кількість гідрокостюмів за короткий проміжок часу, то це може зажадати оплати понаднормової роботи для працівників, і це може зменшити норму прибутку.
    Приклад 6

    Для наступної раціональної функції визначте обмеження на область та асимптоти, а потім намалюйте графік.

    \(\ f(x) \geq \frac{2 x+5}{x-1}\)

    Рішення

    Щоб визначити графік нерівності\(\ f(x) \geq \frac{2 x+5}{x-1}\), спочатку сприймайте його так, ніби це рівність\(\ f(x) \geq \frac{2 x+5}{x-1}\)

    Для\(\ f(x) \geq \frac{2 x+5}{x-1}\):

    Щоб знайти критичні точки, визначте значення (и), які роблять знаменник = 0: x1

    Це дає нам вертикальну асимптоту x = 1

    Горизонтальна асимптота стає очевидною, оскільки х стає справді величезним, а «+5" та «-1" більше не мають значення. У цей момент, у нас є\(\ f(x)=\frac{2 x}{x} \rightarrow f(x)=2\) Так горизонтальна асимптота y = 2

    Ф-Д_27А 70869 FFDCE173A36513AC8 БК дек 45А942110С360Ф1273150Д201Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Тепер, коли ви знаєте форму графіка, просто затіньте область над лініями, оскільки початкова функція була f (x) більше, ніж функція, і залиште лінії твердими, оскільки це було більше, ніж або дорівнює.

    Остаточний графік повинен виглядати так:

    F-D_28719D5ФДДК6717815E40D768766ФБ59CE1ФЧ4А268785EB088C845B+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Рецензія

    Знайдіть набір розв'язків наступних нерівностей без використання калькулятора. Відображення набору рішення на числовому рядку.

    1. х 2 + 2x − 3 ≤ 0
    2. 3x 2 − 7х + 2 > 0
    3. −6х 2 − 13х+ 5 ≥ 0
    4. \(\ \frac{5 x-1}{x-2}>0\)
    5. \(\ \frac{1-x}{x}<1\)
    6. Вирішити: 4x 3 −4x 2 −3x>0
    7. Вирішити:\(\ \frac{x^{4}}{4}-x^{2}<0\)
    8. Вирішити: 4x 3 − 8x 2 − х + 2 ≥ 0
    9. \(\ \frac{n^{3}-2 n^{2}-n+2}{n^{3}+3 n^{2}+4 n+12}<0\)
    10. \(\ \frac{n^{3}+3 n^{2}-4 n-12}{n^{3}-5 n^{2}+4 n-20} \leq 0\)
    11. \(\ \frac{2 n^{3}+5 n^{2}-18 n-45}{3 n^{3}-n^{2}+27 n-9} \geq 0\)
    12. \(\ \frac{12 n^{3}+16 n^{2}-3 n-4}{8 n^{3}+12 n^{2}+10 n+15}>0\)

    Використовуйте калькулятор для вирішення наступних нерівностей. Округляйте відповідь до трьох знаків після десяткової коми.

    1. −9,8 т 2+357,6т ≥ 0
    2. x 3 − 5x + 7 ≤ −4х 2 + 18
    3. \(\ \frac{x^{2}-2 x}{x-5}>x^{2}-25\)
    4. Розв'яжіть і графуйте:\(\ f(x)>\frac{9 x^{2}-4}{3 x+2}\)
    5. Загальний опір двох електронічних компонентів, підключених паралельно, задається тим,\(\ \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\) де R 1 і R 2 - індивідуальні опори (в Омах) двох компонентів. а) Якщо опір R 1 дорівнює 20 Ом, то який максимальний опір R 2 якщо сумарний опір має бути менше 15 Ом? б) Яке максимальне теоретичний опір цієї схеми? Звідки ти знаєш?
    6. Прямокутна ділянка землі має довжину, яка на 7 метрів більше, ніж в два рази більше ширини. Якщо площа ділянки більше 60 квадратних метрів, які можливі значення ширини лота?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.10.

    Лексика

    Термін Визначення
    домен Домен функції - це множина x-значень, для яких визначена функція.
    Поліноміальна нерівність Термін поліноміальна нерівність, як правило, використовується для опису нерівності з коефіцієнтом x термін три або більше.
    квадратична нерівність Квадратична нерівність - це квадратичний вираз, який задається більшим або меншим за задане значення.
    Раціональна функція Раціональна функція - це будь-яка функція, яку можна записати як відношення двох поліноміальних функцій.
    Раціональна нерівність Раціональна нерівність - це відношення двох поліномів, заданих більшим або меншим за задане значення.
    Вертикальна асимптота Вертикальна асимптота - це вертикальна лінія, що позначає певне значення, до якого графік функції може наблизитися, але ніколи не досягне.