2.5.1: Квадратичні нерівності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55063

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Квадратичні нерівності

Як би ви висловили наступне як функцію?

Ви повинні косити газон квадратної форми для батьків, але косарка має лише частину резервуара з газом. Якщо ви можете косити 2500 sf на галон, а у газонокосарки приблизно 2,5 галонів, яку максимальну довжину однієї сторони газону ви можете косити? Якщо ваш газон довжиною 75 футів, вам знадобиться більше газу?

Квадратичні нерівності

Квадратичні нерівності - це нерівності, які мають одну з наступних форм:

Макс. ⁺² коробки+c> 0

Макс. ⁺² коробки+C <0

Ми можемо вирішити ці нерівності, використовуючи методи, які ми дізналися про розв'язування квадратичних рівнянь. Для прикладу розглянемо графік рівняння:

y=f (x) = х ² +х−6

Ф-Д_8509Е79Ф8КС27А253 ФАФ 26Ф05741908316Б38105Д343D2CEAAB5602+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Зверніть увагу, що крива перетинає вісь x на -3 та 2. З графіка ми помічаємо наступне

Якщо x<−3, то f (x) >0
Якщо −3<x<2, то f (x) <0
Якщо x>2, то f (x) >0

Отже, x ² +x−6>0 кожного разу, коли x<−3 або x>2, і x ² +x−6<0, коли −3<x<2.

Приклади

Приклад 1

Раніше вам давали питання про стрижку газону.

Якщо ви можете скосити 2500 sf трави на галон газу, а косарка має 2,5 галонів в ній, яку максимальну довжину однієї сторони газону ви можете косити?

Якщо ваш газон довжиною 75 футів, вам знадобиться більше газу?

Рішення

Ми знаємо, що функція S ² <6250 описує можливі довжини сторін квадратних форм, які ви могли б скосити, перш ніж закінчиться газ (якщо у вас виникли проблеми з розумінням чому, див. приклад 4 для подібного процесу).

Рішення для S дає:

\ (\\ почати {масив} {л}
\ sqrt {s^ {2}} =\ sqrt {6250}\
s=79
\ кінець {масив}\)

З 2.5 галон газу, ви можете косити квадрат до apx 79 футів з кожного боку.

Вам не потрібно більше газу, якщо газон довжиною всього 75 футів з кожного боку.

Приклад 2

Що таке множина розв'язку нерівності 2x ² +7x−4<0?

Рішення

Найкраще навести графік функції f (x) =2x ² +7x−4 і шукати значення x таким чином, щоб нерівність f (x) <0 була істинною.

Ф-Д_Д41 Ед 52А4809 ББ 349533961 Е338 ФА6Ф 465213282Б40Е703Ф60Д5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Таким чином, з графа, 2x ² +7x−4<0, лише якщо

\(\ -4<x<\frac{1}{2}\)

Таким чином, набір рішень є\(\ x \in\left(-4, \frac{1}{2}\right)\) або в наборі позначення будівельника,\(\ \left\{x \mid-4<x<\frac{1}{2}\right\}\)

Хоча метод графіків для пошуку розв'язку множини нерівності легко слідувати, може бути використаний інший алгебраїчний метод. Алгебраїчний метод передбачає знаходження x−перехоплень графа, а потім поділ осі x на інтервали, розділені x−перехопленнями. Наведені нижче приклади ілюструють метод.

Приклад 3

Знайти множину розв'язків квадратичної нерівності x ² +2x−8>0 без графіків.

Рішення

Щоб знайти набір рішень без графіків, перший фактор:

х ² +2х−8=0

(х+4) (х−2) =0

Згадуючи правило нульового добутку, ми бачимо, що двома розв'язками цього квадратного рівняння є x=−4 та x=2, отже, x−перехоплення функції f (x) =x ² +2x−8 складають -4 та 2.

Ці точки ділять вісь x на три інтервали: (−∞, −4) | (−4,2) | (2, ∞). Ми можемо вибрати контрольну точку з кожного інтервалу, підставити її в f (x) і подивитися, чи функція негативна або позитивна з цим значенням як x. Цю процедуру можна спростити, склавши таблицю, як показано нижче:

Інтервал	Тестова точка	x ^2+2x−8 позитивний чи негативний?	Частина набору рішень?
(−∞, −4)	−5	+	так
(−4,2)	1	−	ні
(2, +∞)	3	+	так

З таблиці ми робимо висновок, що починаючи з x ² +2x−8>0, якщо і тільки якщо x<−4 та x>2. Набір рішень також може бути записаний у вигляді:

x∞ (−∞, −4) (2, +∞)

Деякі проблеми в науці пов'язані з квадратичними нерівностями. Приклад нижче ілюструє одне з таких додатків.

Приклад 4

Прямокутник має довжину на 10 метрів більше, ніж в два рази більше ширини. Знайдіть всі можливі ширини, які призводять до того, що площа прямокутника не перевищує 100 квадратних метрів.

Рішення

Нехай w буде ширина прямокутника і l його довжина. З огляду на інформацію в питанні, можна сказати:

л=10+2Вт

Тоді ми можемо скористатися формулою для площі прямокутника:

площа = л × ш

Підставляючи 10+2w в на l дає:

площа = ш × (10+2Вт)

Площа не може перевищувати 100 м ², тому

10 вт+2 Вт ² <100

або

2 Вт ² +10 вт−100 <0

Спростіть, розділивши обидві сторони на 2:

ш ² +5в−50 <0

Фактор триноміалу:

ш ² +5в−50 =( ш+10) (ш−5)

Таким чином, точки поділу 5 і -10, що означає, що у нас є три інтервали. Оскільки ширина не може бути негативною, ми можемо сміливо ігнорувати -10. Це означає, що максимальна площа становить 100 м ²

w <5.

Ширина повинна бути менше 5 метрів.

Приклад 5

Знайти множину розв'язку нерівності x ² ≤16.

Рішення

Встановіть функцію рівну нулю:

х ² −16=0

Коефіцієнт для знаходження критичних значень (точок, де графік перетинає вісь x, змінюючи тим самим знаки):

(х−4) (х+4) =0

За правилом нульового добутку: x=4 або x=−4

Це дає нам три розділи на графіку:

x≤−4

−4≤x≤4

4≤x

Перевірте одне значення зразка з кожного поділу, щоб визначити можливі набори рішень.

Набір	x≤−4	−4≤x≤4	4≤x
Тестове значення	−5		5
f (x) істинно зі значенням?	4⋅ (⁻⁵²) = 10016 Ні	4⋅0 ² =0≤16 Так	4⋅5 ² = 10016 Ні

Набір

x≤−4

−4≤x≤4

4≤x

Тестове значення

−5

f (x) істинно зі значенням?

4⋅ (⁻⁵²) = 10016

Ні

4⋅0 ² =0≤16

Так

4⋅5 ² = 10016

Ні

Тому набір розв'язків становить −4≤x≤4.

приклад 6

Графік множини розв'язків: (x−3) (x+4) ≥0.

Рішення

Розв'язки (x−3) (x+4) ≥0 можна ідентифікувати за допомогою правил множення від'ємних чисел:

Нагадаємо з Pre-Algebra, що парне число негативів дає позитивну відповідь, а непарна кількість негативів дає негативну відповідь.

Оскільки (x−3) (x+4) ≥0 ми знаємо, що нам потрібна позитивна відповідь або нуль.

Тому або:

Випадок #1: (x−3) ≥0 → x≥3 і (x+4) ≥0 → x≥−4

або

Випадок #2: (x−3) ≤0 → x≤3 і (x+4) ≤0 → х≤−4

Оскільки будь-яке число більше 3 вже більше -4, з Case #1 отримуємо: x≥3

Оскільки будь-яке число менше -4 вже менше 3, з Case #2 ми отримуємо x≤−4

Тому наша відповідь - x≤−4 або x≥3.

У множині позначення: x∞ (−∞, −4] [3, +∞)

Щоб графікувати цю інформацію, ми малюємо лінійний графік і відзначаємо значення, які можуть бути x, з суцільними крапками на кінцевих числах, щоб вказати, що ці значення включені.

Візуально це:

F-д_557297 ФСЕ 39866 FF5AD8ЕД 1А95С89СА6С77731D60FF152F1A4A856B3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

«рамка =» 0" висота = «450px» ім'я = «99198" src =» https://www.ck12.org/flx/show/video/...ties-Example-2 "URL-адреса мініатюр ="» title="Відеооб'єкт? хеш = f688e36d565e0820730d1d47d13380a6" дата завантаження = «2016-07-06 16:34:48" ширина =» 95% «>

Рецензія

Графік наборів розв'язків нижче на числовому рядку:

x<3 або x> 4
x≥−5 і x≥3
x<6 і x≥−2
x> 7 або x≥−4
x≤−8 і x> 3

Визначте критичні точки, розв'яжіть та графік:

х ² +9х>−14
х ² −5x≤50
х ² +2х≤48
\(\ x-\frac{20}{x}-8<0\)(підказка: спочатку помножте обидві сторони на x)
\(\ x+10 \geq-\frac{21}{x}\)
(x+6) (x−3) > 0
(x−8) (x+1) > 0
х ² −х≥90
3х ² −23х≤8
х ^2+х−6> 0

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.9.

Лексика

Термін	Визначення
Критичні значення	Критичними значеннями є x−перехоплення квадратичної функції.
інтервал	Інтервал - це специфічна і обмежена частина функції.
квадратична нерівність	Квадратична нерівність - це квадратичний вираз, який задається більшим або меншим за задане значення.
Коріння	Коріння функції - це значення x, які роблять y рівним нулю.
Правило нульового продукту	Правило нульового добутку стверджує, що якщо добуток двох виразів дорівнює нулю, то хоча б одне з вихідних виразів значно дорівнюватиме нулю.

Атрибуції зображень

[Малюнок 1]
Кредит: CK-12 Фонд; Desmos
Джерело: Desmos