Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4.3.1: Косі асимптоти раціональних функцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55045

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Косий асимптот

    Коли ступінь чисельника раціональної функції перевищує ступінь знаменника на одиницю, то функція має косі асимптоти. Для того, щоб знайти ці асимптоти, потрібно використовувати поліноміальне довге ділення і незалишкова частина функції стає косою асимптотою. Природне запитання: що відбувається, коли ступінь чисельника перевищує ступінь знаменника більш ніж на одиницю?

    Косий асимптот

    Наступна функція показана до і після виконання поліноміального довгого ділення.

    \(\ f(x)=\frac{x^{4}+3 x^{2}+2 x+14}{x^{3}-3 x^{2}}=x+3+\frac{12 x^{2}+2 x+14}{x^{3}-3 x^{2}}\)

    Зверніть увагу, що частина решти буде йти до нуля, коли х стає надзвичайно великим або надзвичайно малим, оскільки потужність чисельника менше, ніж сила знаменника. Це означає, що, хоча ця функція може йти haywire з малими абсолютними значеннями x, великі абсолютні значення x надзвичайно близькі до рядка y = x+3.

    F-D_5BFC10C90128EA60E2A56B06C86C0410ФД9ФА055FF6A189A7FA3004+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 1]

    Косими асимптотами є ці похилі асимптоти, які показують, як саме функція збільшується або зменшується без обмежень. Косі асимптоти також називають похилими асимптотами.

    Іноді функція матиме асимптоту, яка не схожа на рядок. Погляньте на наступну функцію:

    \(\ f(x)=\frac{\left(x^{2}-4\right)(x+3)}{10(x-1)}\)

    Ступінь чисельника дорівнює 3, тоді як ступінь знаменника дорівнює 1, тому похила асимптота не буде лінією. Однак, коли графік спостерігається, все ще існує чітка закономірність того, як ця функція збільшується без обмежень, оскільки х наближається до дуже великих і дуже малих чисел.

    \(\ f(x)=\frac{1}{10}\left(x^{2}+4 x\right)-\frac{12}{10(x-1)}\)

    Як бачите, це виглядає як парабола з залишком. Ця раціональна функція має хребет параболи. Магістраль - це функція, до якої прагне графік. Це технічно не коса асимптота, оскільки це не лінія.

    F-D_80c63385981e51a08f58a14b8df7c6f9494c8516035b687fe1927+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 2]

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, що відбувається, коли сила чисельника перевищує силу знаменника більш ніж на одиницю.

    Рішення

    Як видно вище, коли сила чисельника перевищує силу знаменника більш ніж на одиницю, функція розвиває кістяк, який має форму будь-якого многочлена. Косі асимптоти - це завжди лінії.

    Приклад 2

    Знайдіть асимптоти та перехоплення функції:

    \(\ f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-4}\)

    Рішення

    Функція має вертикальні асимптоти при x = ± 2.

    Після тривалого поділу функція стає:

    \(\ f(x)=x+\frac{4}{x^{2}-4}\)

    Це робить косу асимптоту при y = x

    Приклад 3

    Визначте вертикальні і косі асимптоти наступної раціональної функції.

    \(\ f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-x-1}{(x-3)(x+4)}\)

    Рішення

    Після використання поліноміального довгого ділення та перезапису функції з часткою залишку та без залишку вона виглядає так:

    \(\ f(x)=x-2+\frac{13 x-25}{x^{2}+x-12}=x-2+\frac{13 x-25}{(x-3)(x+4)}\)

    Коса асимптота дорівнює y=x−2. Вертикальні асимптоти знаходяться на x = 3 та x = −4, які легше спостерігати в останній формі функції, оскільки вони явно не скасовуються, щоб стати дірками.

    Приклад 4

    Створіть функцію з косою асимптотою при y=3x−1, вертикальні асимптоти при x=2, −4 і включає дірку, де x дорівнює 7.

    Рішення

    Хоча існує нескінченна кількість функцій, які відповідають цим критеріям, один із прикладів:

    \(\ f(x)=3 x-1+\frac{(x-7)}{(x-2)(x+4)(x-7)}\)

    Приклад 5

    Визначте кістяк наступної функції і поясніть, чому функція не має косої асимптоти.

    \(\ f(x)=\frac{5 x^{5}+27}{x^{3}}\)

    Рішення

    Хоча багаточлен довгий поділ можливо, також можна просто розділити кожен член на х 3.

    \(\ f(x)=\frac{5 x^{5}+27}{x^{3}}=\frac{5 x^{5}}{x^{3}}+\frac{27}{x^{3}}=5 x^{2}+\frac{27}{x^{3}}\)

    Основою цієї функції є парабола y=5x 2. Це не коса асимптота, оскільки це не лінія.

    Рецензія

    1. Що таке коса асимптота?

    2. Як ви можете визначити, дивлячись на рівняння функції, якщо вона буде мати косу асимптоту чи ні?

    3. Чи може функція мати як косу асимптоту, так і горизонтальну асимптоту? Поясніть.

    Для кожного з наступних графіків намалюйте графік, а потім намалюйте в косому асимптоті, якщо він існує. Якщо його не існує, поясніть, чому б ні.

    1. F-D_DC9A45C093C40C30B289E140F7D66E73FD851118 ACE9C98E9DE3E90+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 3]

    2. F-D_CEC593333673084D8BACAAB684FC14F055530a3BF277956215351175+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палецька_листівка_крихітка_png

      [Малюнок 4]

    3. F-D_5C4F59A4FF9674 F9F59E9E8E163F49998771F2FA6FE79 DC CAE55AD+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png

      [Малюнок 5]

    4. F-D_B1654B6FA9F2E33E539E8751BCEBC9B5AF80382C7cd950BB2ed3+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 6]
    5. F-D_E897545A9D3C6D79E317404 ДДД15008Е2Д7Д41984A524A3D39280D35+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 7]

    Знайдіть рівняння косої асимптоти для кожної з наступних раціональних функцій. Якщо косою асимптоти немає, поясніть чому б ні і дайте рівняння хребта функції, якщо така існує.

    1. \(\ f(x)=\frac{x^{3}-7 x-6}{x^{2}-2 x-15}\)
    2. \(\ g(x)=\frac{x^{3}-7 x-6}{x^{4}-3 x^{2}-10}\)
    3. \(\ h(x)=\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}+2 x+1}\)
    4. \(\ k(x)=\frac{x^{4}+9 x^{3}+21 x^{2}-x-30}{x^{2}+2 x+1}\)
    5. Створіть функцію з косими асимптотами при y = 2x−1, вертикальну асимптоту на x=3 та дірку, де x дорівнює 7.
    6. Створіть функцію з косою асимптотою при y = x, вертикальними асимптотами при x = 1, −3 і без дірок.
    7. Чи має парабола косий асимптот? А як щодо кубічної функції?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.11.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    2. [Рисунок 2]
       Кредит:
       Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    3. [Рисунок 3]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    4. [Рисунок 4]
       Кредит:
       Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    5. [Рисунок 5]
       Кредит:
       Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    6. [Рисунок 6]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    7. [Рисунок 7]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA