2.4.3: Горизонтальні асимптоти

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55039

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Горизонтальні асимптоти

Вертикальні асимптоти описують поведінку функції, оскільки значення x наближаються до певного числа. Горизонтальні асимптоти описують поведінку функції, оскільки значення x стають нескінченно великими та нескінченно малими. Оскільки функції не можуть торкатися вертикальних асимптотів, чи заборонено їм торкатися горизонтальних асимптотів?

Знаходження горизонтальних асимптотів

Горизонтальні асимптоти є засобом опису кінцевої поведінки функції. Поведінка кінця по суті є описом того, що відбувається по обидва боки графіка, оскільки функція продовжується вправо і вліво нескінченно. При визначенні горизонтальних асимптотів важливо враховувати і праву, і ліву сторони, тому що горизонтальні асимптоти не обов'язково будуть однаковими в обох місцях. Розглянемо зворотну функцію і зверніть увагу, як x йде вправо і вліво, він згладжується до рядка y=0.

Іноді функції згладжуються, а в інших випадках функції збільшуються або зменшуються без обмежень. Є в основному три випадки.

Випадок 1: Ступінь чисельника менше ступеня знаменника

Перший випадок полягає в тому, що функція згладжується до 0, оскільки x стає нескінченно великим або нескінченно малим. Це відбувається, коли ступінь чисельника менше ступеня знаменника. Ступінь визначається найбільшим показником х.

\(\ f(x)=\frac{2 x^{8}+3 x^{2}+100}{x^{9}-12}\)

Один із способів пояснити, чому це має сенс, полягає в тому, що коли х - це смішно велика кількість, то більшість частин функції навряд чи впливають. Наприклад, 100 - це ніщо в порівнянні, і не є 3x ². Два важливі терміни для порівняння - х ⁸ і х ⁹. 2 зараз навіть не важливо, тому що якщо х навіть мільйон, ніж х ⁹ буде в мільйон разів більше, ніж х ⁸, і 2 навряд чи має значення знову. По суті, коли х стає досить великим, ця функція діє так\(\ 1 \over 2\), як має горизонтальну асимптоту 0.

Випадок 2: Ступінь чисельника дорівнює ступені знаменника

Якщо ступінь чисельника дорівнює ступеня знаменника, то горизонтальна асимптота дорівнює відношенню провідних коефіцієнтів.

\(\ f(x)=\frac{6 x^{4}-3 x^{3}+12 x^{2}-9}{3 x^{4}+144 x-0.001}\)

Зверніть увагу, як ступінь чисельника і знаменника дорівнює 4. Це означає, що горизонтальна асимптота є\(\ y=\frac{6}{3}=2\). Один із способів пояснити, чому це має сенс, полягає в тому, що коли х стає дуже великою кількістю, всі менші повноваження насправді не зроблять значного впливу. Найбільші учасники — це лише найбільші повноваження. Тоді значення чисельника буде приблизно в два рази більше, ніж у знаменника. Оскільки х стає ще більшим, то функція стане ще ближче до 2.

Випадок 3: Ступінь чисельника більше, ніж ступінь знаменника

Якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, горизонтальної асимптоти не існує. Ви повинні визначити, чи збільшується або зменшується функція без обмежень як в лівому, так і в правому напрямку.

Подивіться наступне відео, зосередившись на ділянках про горизонтальні асимптоти.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чи дозволено функціям торкатися їх горизонтальних асимптотів.

Рішення

Функції можуть торкатися і проходити через горизонтальні асимптоти без обмежень. Це різниця між вертикальними і горизонтальними асимптотами. У обчисленні є суворі докази, які показують, що функції, подібні до того, що в прикладі C, стають довільно близькими до асимптоти.

Приклад 2

Визначте вертикальні і горизонтальні асимптоти наступної раціональної функції.

\(\ f(x)=\frac{(x-2)(4 x+3)(x-4)}{(x-1)(4 x+3)(x-6)}\)
Рішення

Існує фактор, який скасовує, який не є ні горизонтальною, ні вертикальною асимптотою. Вертикальні асимптоти виникають при x = 1 і x=6. Щоб отримати горизонтальну асимптоту, ви можете методично помножити кожен біном, однак оскільки більшість цих членів не мають значення, ефективніше спочатку визначити відносні сили чисельника та знаменника. У цьому випадку вони обидва трапляються 3. Далі визначаємо коефіцієнт тільки кубічних домішок. Чисельник матиме 4x ³, а знаменник матиме 4x ³, і тому горизонтальна асимптота буде відбуватися при\(\ y=\frac{4}{4}=1\).

Приклад 3

Опишіть поведінку правого кінця наступної функції.

Рішення

Зверніть увагу, як швидко ця функція гасіння хвилі осідає. Здається, є очевидна горизонтальна вісь праворуч при y = 1

Приклад 4

Визначте горизонтальні асимптоти наступної функції.

\(\ f(x)=\frac{(x-3)(x+2)}{|(x-5)| \cdot(x-1)}\)

Рішення

Додайте текст тутСпочатку зверніть увагу на абсолютне значення, що оточує один із термінів у знаменнику. Ступені як чисельника, так і знаменника будуть 2, що означає, що горизонтальна асимптота буде відбуватися за числом. Оскільки x стає нескінченно великим, функція приблизно:

\(\ f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}}\)

Отже, горизонтальна асимптота дорівнює y=−1, оскільки x стає нескінченно великим.

З іншого боку, оскільки x стає нескінченно малим, функція приблизно:

\(\ f(x)=\frac{x^{2}}{-x^{2}}\)

Отже, горизонтальна асимптота дорівнює y=−1, оскільки x стає нескінченно малим.

У цьому випадку ви не можете сліпо використовувати правило провідного коефіцієнта, оскільки абсолютне значення змінює знак.

Приклад 5

Визначте горизонтальні асимптоти, якщо вони існують для наступних 3 функцій.

\(\ f(x)=\frac{3 x^{6}-72 x}{x^{6}+999}\)
\(\ h(x)=\frac{a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e}{f x^{4}+g x^{3}+h x^{2}}\)
\(\ g(x)=\frac{f(x)}{h(x)}\)

Рішення

Ступені чисельника та знаменника рівні, тому горизонтальна асимптота isy=3.
Ступені чисельника і знаменника знову рівні, тому горизонтальна асимптота дорівнює\(\ y=\frac{a}{f}\)
Як х стає нескінченно великим,\(\ g(x)=\frac{f(x)}{h(x)}=\frac{\frac{3 x^{6}-72 x}{x^{6}+999}}{\frac{a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e}{f x^{4}+g x^{3}+h x^{2}}} \approx \frac{3}{\frac{a}{f}}=\frac{3 f}{a}\)

Коли ви вивчаєте обчислення, ви дізнаєтеся суворі методи, які дозволяють вам відчувати себе більш впевнено щодо таких результатів.

Рецензія

Визначте горизонтальні асимптоти, якщо вони існують, для наступних функцій.

\(\ f(x)=\frac{5 x^{4}-2 x}{x^{4}+32}\)
\(\ g(x)=\frac{3 x^{4}-2 x^{6}}{-x^{4}+2}\)
\(\ h(x)=\frac{3 x^{4}-5 x}{8 x^{3}+3 x^{4}}\)
\(\ j(x)=\frac{2 x^{3}-15 x}{-x^{4}+3}\)
\(\ k(x)=\frac{2 x^{5}-3 x}{5 x^{2}+3 x^{4}+2 x-7 x^{5}}\)
\(\ f(x)=\frac{a x^{14}+b x^{23}+c x^{12}+d x+e}{f x^{24}+g x^{23}+h x^{21}}\)
\(\ g(x)=\frac{(x-1)(x+4)}{|(x-2)| \cdot(x-1)}\)
Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти при x = 1 і x = 4
- Нулі на 3 і 5
- Отвір, коли x=6
- Горизонтальна асимптота при\(\ y=\frac{2}{3}\)
Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти при x = −2 та x=2
- Нулі на 1 і 5
- Отвір, коли x=3
- Горизонтальна асимптота при y = 1
Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти при x = 0 і x = 3
- Нулі на 1 і 2
- Отвір, коли x=8
- Горизонтальна асимптота при y = 2
Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти на 2 і 6
- Нуль на 5
- Отвір, коли x=4
- Горизонтальна асимптота при y = 0
Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальна асимптота при 4
- Нулі при 0 і 3
- Отвір при х=5
- Немає горизонтальних асимптотів

Визначте вертикальні та горизонтальні асимптоти наступних раціональних функцій.

\(\ f(x)=\frac{(x-5)(2 x+1)(x-3)}{(x-3)(4 x+5)(x-6)}\)
\(\ g(x)=\frac{x(x-1)(x+3)(x-5)}{3 x(x-1)(4 x+3)}\)
\(\ h(x)=\frac{(x-2)(x+3)(x-6)}{(x-4)(x+3)^{2}(x+2)}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.10.

Лексика

Термін	Визначення
Поведінка кінця	Поведінка кінця - це опис тенденції функції, оскільки вхідні значення стають дуже великими або дуже малими, представленими як «кінці» графічної функції.
Отвір	На графіку раціональної функції існує дірка при будь-якому вхідному значенні, що призводить до того, що чисельник і знаменник функції дорівнюють нулю.
Горизонтальна асимптота	Горизонтальна асимптота - це горизонтальна лінія, яка вказує, де функція згладжується, оскільки незалежна змінна стає дуже великою або дуже маленькою. Функція може торкатися або проходити через горизонтальну асимптоту.
Раціональна функція	Раціональна функція - це будь-яка функція, яку можна записати як відношення двох поліноміальних функцій.
Вертикальна асимптота	Вертикальна асимптота - це вертикальна лінія, що позначає певне значення, до якого графік функції може наблизитися, але ніколи не досягне.
Нуль	Нулі функції f (x) - це значення x, які змушують f (x) дорівнювати нулю.
нулі	Нулі функції f (x) - це значення x, які призводять до того, що f (x) дорівнює нулю.
Нулі	Нулі функції f (x) - це значення x, які змушують f (x) дорівнювати нулю.

Атрибуції зображень

[Рисунок 1]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA
[Рисунок 2]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA