Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4.2: Вертикальні асимптоти

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55046

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вертикальні асимптоти

    Базовою раціональною функцією\(\ f(x)=\frac{1}{x}\) є гіпербола з вертикальною асимптотою при x=0. Більш складні раціональні функції можуть мати множинні вертикальні асимптоти. Ці асимптоти є дуже важливими характеристиками функції так само, як дірки. Обидві дірки і вертикальні асимптоти виникають при значеннях x, які роблять знаменник функції нулем. Водійське питання: чим вертикальні асимптоти відрізняються від отворів?

    Пошук вертикальних асимптотів

    Вертикальні асимптоти виникають, коли множник знаменника раціонального виразу не скасовується з множником від чисельника. Якщо у вас є коефіцієнт, який не скасовує, замість того, щоб зробити отвір у цьому значенні x, існує вертикальна асимптота. Вертикальна асимптота представлена пунктирною вертикальною лінією. Більшість калькуляторів не ідентифікують вертикальні асимптоти, а деякі неправильно намалюють круту лінію як частину функції, де насправді існує асимптота.

    Ваша робота полягає в тому, щоб мати можливість ідентифікувати вертикальні асимптоти з функції та описати кожну асимптоту за допомогою рівняння вертикальної лінії.

    Візьміть наступну раціональну функцію:

    \(\ f(x)=\frac{(2 x-3)(x+1)(x-2)}{(x+2)(x+1)}\)

    Щоб визначити дірки та рівняння вертикальних асимптотів, спочатку вирішіть, які фактори скасовують. Фактор, який скасовує, являє собою знімний розрив. Є отвір при (-1, 15). Вертикальна асимптота виникає при x=−2, оскільки коефіцієнт x+2 не скасовується.

    Дивіться наступне відео, зосередившись на частинами про вертикальні асимптоти.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, чим асимптоти відрізняються від дірок.

    Рішення

    Дірки виникають при скасуванні множників з чисельника і знаменника. Коли коефіцієнт у знаменнику не скасовується, він створює вертикальну асимптоту. І дірки, і вертикальні асимптоти обмежують область раціональної функції.

    Приклад 2

    Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:

    • Вертикальні асимптоти при 0 і 3
    • Нулі на 2 і 5
    • Отвір на (4, 2)

    Рішення

    Кожен критерій допомагає побудувати функцію. Вертикальні асимптоти мають на увазі, що знаменник має два фактори, які не скасовуються чисельником:

    \(\ \frac{1}{x \cdot(x-3)}\)

    Нулі в 2 і 5 означають, що чисельник має два фактори, які не скасовують.

    \(\ \frac{(x-2)(x-5)}{x \cdot(x-3)}\)

    Дірка в (4, 2) означає, що існує множник x−4, який скасовує чисельник та знаменник.

    \(\ \frac{(x-2)(x-5)(x-4)}{x \cdot(x-3)(x-4)}\)

    Складна частина полягає в тому, що висота функції повинна бути 2 після скасування множника x−4 та підстановки 4. В даний час це\(\ -\frac{1}{2}\).

    \(\ \frac{(4-2)(4-5)}{4 \cdot(4-3)}=-\frac{1}{2}\)

    Для того щоб отвір існувало на висоті 2, потрібно помножити функцію на скаляр -4.

    \(\ f(x)=\frac{-4(x-2)(x-5)(x-4)}{x \cdot(x-3)(x-4)}\)

    Приклад 3

    Намалюйте вертикальні асимптоти для наступної функції.

    \(\ f(x)=\frac{1}{(x-4)(x-2)(x+3)}\)

    Рішення

    F-D_671 ЕФБ928D2B8D5D047F498657D0A6C80DA65ad396b04493190C19AA+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 1]

    Зверніть увагу, що ви можете не знати характеристик того, що функція робить всередині цих вертикальних ліній. Незабаром ви дізнаєтеся, як використовувати тести знаків, а також методи, які ви вже навчилися заповнювати чотири розділи, на які поділена ця функція.

    Приклад 4

    Визначте дірки та рівняння вертикальних асимптотів наступної раціональної функції.

    \(\ f(x)=\frac{3(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)}{5\left(x+\frac{1}{2}\right)(2+x)(3-x)(x-8)}\)

    Рішення

    Вертикальні асимптоти виникають при\(\ x=-\frac{1}{2}, x=8\). Отвори виникають, коли х дорівнює -2 і 3. Щоб отримати висоту отворів у цих точках, не забудьте скасувати те, що можна скасувати, а потім підставити значення. Дуже поширена помилка - забути скасувати\(\ \frac{x-3}{3-x}=-1\).

    \ (\\ почати {вирівняний}
    г (x) &=\ розрив {-3 (x-1) (x+4)} {5\ лівий (x+\ frac {1} {2}\ праворуч) (x-8)}\ g (-2) &=\ frac {6} {25}\
    g (3) &=\ frac {12} {25}\ кінець {6} {25}\
    g (3) &=\ frac {12} {25}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Отвори знаходяться в\(\ \left(-2, \frac{6}{25}\right),\left(3, \frac{12}{25}\right)\).

    Приклад 5

    Визначте область наступної функції, а потім визначте дірки та вертикальні асимптоти.

    \(\ f(x)=\frac{(3 x-4)(1-x)\left(x^{2}+4\right)}{(3 x-2)(x-1)}\)

    Рішення

    Домен функції, записаної в інтервальних позначеннях:\(\ \left(-\infty, \frac{2}{3}\right) \cup\left(\frac{2}{3}, 1\right) \cup(1, \infty)\). Зверніть увагу, що домен - це всі дійсні числа, крім тих, де знаменник дорівнює нулю.

    Розрізняють дві розриви: одна - дірка, а друга - вертикальна асимптота. Отвір відбувається при (1, 5). Вертикальна асимптота виникає при\(\ x=\frac{2}{3}\).

    Зверніть увагу, що дірки ідентифікуються як точки, тоді як вертикальні асимптоти ідентифікуються як лінії форми x = a, де a є деякою константою.

    Рецензія

    1. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:

    • Вертикальні асимптоти в 1 і 4
    • Нулі на 3 і 5
    • Отвір в (6, 3)

    2. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:

    • Вертикальні асимптоти при -2 і 2
    • Нулі на 1 і 5
    • Отвір при (3, -4)

    3. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:

    • Вертикальні асимптоти при 0 і 3
    • Нулі на 1 і 2
    • Отвір в (8, 21)

    4. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:

    • Вертикальні асимптоти на 2 і 6
    • Нуль на 5
    • Отвір на (4, 1)

    5. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:

    • Вертикальна асимптота при 4
    • Нулі при 0 і 3
    • Отвір в (5, 10)

    Дайте рівняння вертикальних асимптотів для наступних функцій.

    1. \(\ f(x)=\frac{(2-x)}{(x-2)(x-4)}\)
    2. \(\ g(x)=\frac{-x}{(x+1)(x-3)}\)
    3. \(\ h(x)=6-\frac{x+2}{(x+1)(x-5)}\)
    4. \(\ j(x)=\frac{10}{x-3}-\frac{x}{(x+2)(x-3)}\)
    5. \(\ k(x)=2-\frac{(4-x)}{(x+3)(x-4)}\)

    Визначте дірки та рівняння вертикальних асимптотів наступних раціональних функцій.

    1. \(\ f(x)=\frac{3(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)}{4(x+4)(2+x)(4-x)(x+1)}\)
    2. \(\ g(x)=\frac{x(x-3)(x-8)(x-3)(x+4)}{7(x+1)(1+x)(3-x)(x-8)}\)

    Створіть область наступних раціональних функцій.

    1. \(\ h(x)=\frac{x(x+1)(x-3)(x+4)}{x(3-x)(x-1)}\)
    2. \(\ j(x)=\frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}-6 x-16}\)
    3. \(\ k(x)=\frac{2 x-10}{x^{3}+4 x^{2}+3 x}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.9.

    Лексика

    Термін Визначення
    домен Домен функції - це множина x-значень, для яких визначена функція.
    Отвір На графіку раціональної функції існує дірка при будь-якому вхідному значенні, що призводить до того, що чисельник і знаменник функції дорівнюють нулю.
    Інтервальні позначення Інтервальне позначення - це позначення [a, b), де функція визначається між a та b. Використовуйте (або), щоб вказати, що кінцеве значення не включено, і [або], щоб вказати, що кінцеве значення включено. Ніколи не використовуйте [або] з нескінченністю або негативною нескінченністю.
    Раціональна функція Раціональна функція - це будь-яка функція, яку можна записати як відношення двох поліноміальних функцій.
    Знімний розрив Знімні розриви також відомі як отвори. Вони виникають, коли фактори можуть бути алгебраїчно скасовані від раціональних функцій.
    Вертикальна асимптота Вертикальна асимптота - це вертикальна лінія, що позначає певне значення, до якого графік функції може наблизитися, але ніколи не досягне.
    нулі Нулі функції f (x) - це значення x, які змушують f (x) дорівнювати нулю.
    Нулі Нулі функції f (x) - це значення x, які змушують f (x) дорівнювати нулю.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA