Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4.1: Отвори в раціональних функціях

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55051

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Дірки в раціональних функціях

    У подібній функції слід зауважити\(\ f(x)=\frac{(3 x+1)(x-1)}{(x-1)}\), що множник (x−1) явно скасовує, залишаючи лише 3x−1. Це, здається, звичайний рядок. Що відбувається з цим рядком у x = 1?

    Отвори і раціональні функції

    Дірка на графіку виглядає як порожнисте коло. Він являє собою той факт, що функція наближається до точки, але насправді не визначена на цьому точному значенні x.

    Погляньте на графік наступного рівняння:

    \(\ f(x)=(2 x+2) \cdot \frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)}\)

    F-D_09848DBDF 7199E5F79153DD81С6А2Б4БД8718Ф2217E55E678F321A+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 1]

    Причина, чому ця функція не\(\ -\frac{1}{2}\) визначена в тому, що не\(\ -\frac{1}{2}\) знаходиться в області функції. Як бачите, не\(\ f\left(-\frac{1}{2}\right)\) визначено, оскільки робить знаменник раціональної частини функції нуль, що робить всю функцію невизначеною. Також зверніть увагу, що як тільки фактори скасування/видалення, то ви залишаєтеся з нормальною функцією, яка в цьому випадку 2х+2. Діра в цій ситуації знаходиться на\(\ \left(-\frac{1}{2}, 1\right)\) тому, що після видалення факторів, які скасовують,\(\ f\left(-\frac{1}{2}\right)=1\).

    У цьому і полягає суть боротьби з дірами в раціональних функціях. Вам слід скасувати те, що ви можете, і графік функції, як нормальний, переконавшись, що значення x роблять функцію невизначеною. Після того, як функція графічна без отворів поверніться назад і вставте порожнисті кола, що вказують, які значення x видаляються з домену. Саме тому отвори називають знімними розривами.

    Перегляньте першу частину цього відео та зосередьтеся на дірах у раціональних рівняннях.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, що відбувається з рівнянням\(\ f(x)=\frac{(3 x+1)(x-1)}{(x-1)} \text { at } x=1\).

    Рішення

    Оскільки ця функція, яка не визначена при x=1, існує знімний розрив, який представлений у вигляді порожнистого кола на графіку. В іншому випадку функція поводиться точно як 3x+1.

    Приклад 2

    Графік наступної раціональної функції і виявлення будь-яких знімних розривів.

    \(\ f(x)=\frac{-x^{3}+3 x^{2}+2 x-4}{x-1}\)

    Рішення

    Ця функція вимагає деякої алгебри, щоб змінити її так, щоб знімні фактори стали очевидними. Ви повинні підозрювати, що (x−1) є множником чисельника і спробувати поліноміальне або синтетичне ділення на множник. Коли ви це зробите, функція стає:

    \(\ f(x)=\frac{\left(-x^{2}+2 x+4\right)(x-1)}{(x-1)}\)

    F-D_FEF 756D907E60 CAB825B2335D9B91B9CA4454Б0896149AED4972D5+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великий палецька_листівка_крихітка_png[Малюнок 2]
    Знімний розрив відбувається при (1, 5).
    Приклад 3

    Графік наступної раціональної функції і виявлення будь-яких знімних розривів.

    \(\ f(x)=\frac{x^{6}-6 x^{5}+5 x^{4}+27 x^{3}-48 x^{2}-9 x+54}{x^{3}-7 x-6}\)

    Рішення

    Це, мабуть, одне з найскладніших раціональних виразів з лише дірками, які люди коли-небудь намагаються графікувати вручну. Є кілька способів почати, але хороша звичка потрапити в це враховувати все, що ви, можливо, можете спочатку. Знаменник здається менш складним з можливими факторами (x±1), (x±2), (x±3), (x±6). Використовуючи поліноміальне ділення, ви виявите, що знаменник стає:

    \(\ f(x)=\frac{x^{6}-6 x^{5}+5 x^{4}+27 x^{3}-48 x^{2}-9 x+54}{(x+1)(x+2)(x-3)}\)

    Фактори знаменника є сильними натяками щодо факторів чисельника, тому використовуйте поліноміальне ділення та спробуйте кожен. Коли ви повністю перерахуєте чисельник, у вас буде:

    \(\ f(x)=\frac{\left(x^{3}-6 x^{2}+12 x-9\right)(x+1)(x+2)(x-3)}{(x+1)(x+2)(x-3)}\)

    Зверніть увагу на фактори, які скасовують (x=−1, −2,3), а потім працюють з кубічною функцією, яка залишилася.

    \(\ f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x-9\)

    На цьому етапі, ймовірно, розумно скласти таблицю та сюжетні точки, щоб отримати уявлення про те, де живе ця кубічна функція. Ви також можете помітити, що коефіцієнти є майже шаблоном 1 3 3 1, який є біноміальним розширенням. Розділивши -9 на -8 -1, ви можете перерахувати перші чотири члени.

    \(\ f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x-8-1=(x-2)^{3}-1\)

    Це кубічна функція, яка була зрушена вправо на дві одиниці і вниз на одну одиницю.

    F-D_2373D3736C0B730AE2696F269723E9F2C22A6b34afadb5d50a3027A+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 3]

    Зверніть увагу, що є два отвори, які не поміщаються у вікні графіка. Коли це станеться, вам все одно потрібно зауважити, де вони будуть відображатися за умови правильного розміру вікна. Для цього підставляємо некоректні значення x: x=−1, −2,3 на фактовану кубічну, яка залишилася після скасування.

    \(\ f(x)=(x-2)^{3}-1\)

    Отвори: (3, 0); (-1, -28); (-2, -65)

    Приклад 4

    Без побудови графіків визначте розташування отворів наступної функції.

    \(\ f(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}+x-6}{x^{2}+5 x+6}\)

    Рішення

    Першим фактором все. Потім визначте значення x, які роблять знаменник нулем, і використовуйте ці значення, щоб знайти точне місце розташування отворів.

    \(\ f(x)=\frac{(x+2)(x+3)(x-1)}{(x+3)(x+2)}\)

    Отвори: (-3, -4); (-2, -3)

    Приклад 5

    Яке можливе рівняння для наступної раціональної функції?

    F-D_8ФК6С34937BB00F549287AF3FF0386BD16AB5A52F4A1AAF11155E1E9+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 4]

    Рішення

    Функція здається лінією зі знімним розривом при (1, -1). Лінія має нахил 1 і y-перехоплення -2 і так має рівняння:

    \(\ f(x)=x-2\)

    Знімний розрив не повинен дозволяти х бути 1, що означає, що він має форму\(\ \frac{x-1}{x-1}\). Тому функція така:

    \(\ f(x)=\frac{(x-2)(x-1)}{x-1}\)

    Рецензія

    1. Як знайти дірки раціональної функції?

    2. Яка різниця між отвором і знімним розривом?

    3. Якщо ви бачите порожнисте коло на графіку, що це означає?

    Без побудови графіків визначте розташування отворів наступних функцій.

    1. \(\ f(x)=\frac{x^{2}+3 x-4}{x-1}\)
    2. \(\ g(x)=\frac{x^{2}+8 x+15}{x+3}\)
    3. \(\ h(x)=\frac{x^{3}+6 x^{2}+2 x-8}{x^{2}+x-2}\)
    4. \(\ k(x)=\frac{x^{3}+6 x^{2}+2 x-8}{x^{2}-3 x+2}\)
    5. \(\ j(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}-17 x-60}{x^{2}-9}\)
    6. \(\ f(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}-17 x-60}{x^{2}-5 x+4}\)
    7. \(\ g(x)=\frac{x^{3}-4 x^{2}-19 x-14}{x^{2}-8 x+7}\)
    8. Яке можливе рівняння для наступної раціональної функції?
    F-D_DDF FAD530AA1d5dC34a7D94A6C9DA8344285ДБ18Ф5A132BB2524B183+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 5]

    12. Яке можливе рівняння для наступної раціональної функції?

    F-D_674F9A167CF59095109071 FAFC 574DE5244F0D312C1E89b60970FDD5+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 6]

    Намалюйте наступні раціональні функції.

    1. \(\ f(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}-17 x-60}{x^{2}-x-12}\)
    2. \(\ g(x)=\frac{x^{3}+4 x^{2}-17 x-60}{x^{2}+8 x+15}\)
    3. \(\ h(x)=\frac{x^{3}-4 x^{2}-19 x-14}{x^{2}-6 x-7}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.7.

    Лексика

    Термін Визначення
    Отвір На графіку раціональної функції існує дірка при будь-якому вхідному значенні, що призводить до того, що чисельник і знаменник функції дорівнюють нулю.
    Раціональна функція Раціональна функція - це будь-яка функція, яку можна записати як відношення двох поліноміальних функцій.
    Знімні розриви Знімні розриви також відомі як отвори. Вони виникають, коли фактори можуть бути алгебраїчно скасовані від раціональних функцій.
    Знімний розрив Знімні розриви також відомі як отвори. Вони виникають, коли фактори можуть бути алгебраїчно скасовані від раціональних функцій.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    2. [Рисунок 2]
       Кредит:
       Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    3. [Рисунок 3]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    4. [Рисунок 4]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    5. [Рисунок 5]
       Кредит:
       Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    6. [Рисунок 6]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA