2.3.4: Тест знаків для графів раціональних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55025

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Тест знаків для графів раціональних функцій

Асимптоти раціональної функції забезпечують дуже жорстку структуру, в якій повинна жити функція. Після того, як асимптоти відомі, ви повинні використовувати процедуру тестування знаків, щоб побачити, чи функція стає все більш позитивною або все більш негативною поблизу асимптотів. Тоді водіння питання стає, наскільки близько близько близько потрібно бути для того, щоб тест знака працював?

Тест знаків для раціональних функцій

Розглянемо подумки підставити число 2.99999 на наступне раціональне вираз.

\(\ f(x)=\frac{(x-1)(x+3)(x-5)(x+10)}{(x+2)(x-4)(x-3)}\)

Не виконуючи жодної арифметики, просто зверніть увагу на знак кожного члена:

\(\ f(x)=\frac{(+) \cdot(+) \cdot(-) \cdot(+)}{(+) \cdot(-) \cdot(-)}\)

Єдиним терміном, де значення близьке до нуля, є (x−3), але обережне віднімання все одно вказує на негативний знак. Твір всіх цих ознак негативний. Це вагомий доказ того, що ця функція наближається до негативної нескінченності, оскільки х наближається до 3 зліва.

Далі розглянемо подумки замінити 3.00001 і пройти той же процес.

\(\ f(x)=\frac{(+) \cdot(+) \cdot(-) \cdot(+)}{(+) \cdot(-) \cdot(+)}\)

Твір усіх цих знаків є позитивним, що означає, що справа ця функція наближається до позитивної нескінченності замість цього. Ця методика називається знаковим тестом. Перевірка знаків - це процедура визначення лише того, чи знаходиться функція вище або нижче осі при певному значенні.

Тест знаків допоможе вам ескіз та графік функції. Подивіться на наступну функцію:

\(\ f(x)=\frac{1}{(x+2)^{2} \cdot(x-1)}\)

Ваш перший крок для ескізу це визначити вертикальні асимптоти. Вертикальні асимптоти виникають при x = −2 та x=1. Потім ви використовуєте асимптоти для виконання тесту на знак. Бали для використання процедури тестування знаків є -2.001, -1.9999, 0.9999, 1.00001. Кількість десяткових знаків має значення до тих пір, поки число досить близьке до асимптоти. Зверніть увагу, що будь-яке дійсне число в квадраті є позитивним.

\ (\\ почати {вирівняний}
f (-2.001) &=\ розрив {(+)} {(+)\ cdot (-)} =-\\
f (-1.9999) &=\ frac {(+)} {(+)\ cdot (-)} =-\\ f (0.9999) &=\ frac {(+)} {+)\ cdot (-)} =-\\
f (0.9999) &=\ frac {(+)} {+)\ cdot (-) (-)} =-\\
f (1.0001) &=\ frac {(+)} {(+)\ cdot (+)} =+
\ кінець {вирівняний}\)

Пізніше, коли ви накидаєте все, ви будете використовувати свої знання нулів і перехоплень. На даний момент зосередьтеся лише на ділянках графіка поблизу асимптотів. Зверніть увагу, що наведений нижче графік НЕ є повним.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, наскільки близько повинні бути цифри, щоб виконати перевірку знака.

Рішення

Для того щоб по-справжньому відповісти на питання про те, наскільки близько повинні бути числа, слід використовувати обчислення. Для цілей Precalculus тестове число має бути ближче до вертикальної асимптоти, ніж будь-яке інше число в задачі. Якщо вертикальна асимптота виникає в 3, а 3.01 знаходиться в задачі в іншому місці, не вибирайте 3.1 як тестовий номер знака.

Приклад 2

Визначте вертикальні асимптоти та скористайтеся процедурою тестування знаків, щоб приблизно намалювати характер функції поблизу вертикальних асимптотів.

\(\ f(x)=\frac{(x+1)(x-4)^{2}(x-1)(x+3)^{3}}{100(x-1)^{2}(x+2)}\)

Рішення

Зауважте, що x=−2 явно є асимптотою. Спочатку може бути незрозуміло, чи є x = 1 асимптотою або діркою. Так само, як дірки мають пріоритет над нулями, асимптоти мають пріоритет над дірами. Чотири значення для використання процедури тестування знаків -2.001, -1.9999, 0.9999, 1.00001.

\ (\\ почати {вирівняний}
f (-2.001) &=\ frac {(-)\ cdot (+)\ cdot (+)} {(+)\ cdot (-)} = -\\
f (-1.999) &=\ frac {(-)\ cdot (+)\ cdot (-)\ cdot (+)\ cdot (+)\ cdot (+)\ cdot (+)\ cdot (+) +)\ cdot (+)} =+\\
f (0.999) &=\ frac {(+)\ точка (+)\ точка (+)\ точка (+)} {(+)\ точка (+)} = -\\
f (1.0001) &=\ frac {(+)\ cdot (+)\ cdot (+)\ cdot (+)} {(+)\ dot (+)} =+
\ кінець {вирівняний}\)

Ескіз поведінки цієї функції поблизу асимптотів такий:

Приклад 3

Створіть функцію з двома вертикальними асимптотами на 3 та -2 таким чином, щоб функція наближалася до позитивної нескінченності з обох напрямків на обох вертикальних асимптотах.

Рішення

Раніше існувала функція, яка наближалася до негативної нескінченності з обох сторін асимптоти. Це сталося тому, що термін був у квадраті в знаменник. Рівний термін завжди дасть позитивний термін.

\(\ f(x)=\frac{1}{(x-3)^{2}(x+2)^{2}}\)

Приклад 4

Створіть функцію з трьома вертикальними асимптотами таким чином, щоб функція наближалася до негативної нескінченності для великих і малих значень x і мала косу асимптоту.

Рішення

Існує нескінченна кількість можливих рішень. Ключ полягає в тому, щоб створити функцію, яка може працювати, а потім використовувати процедуру тестування знаків для перевірки. Ось одна можливість.

\(\ f(x)=\frac{-x^{7}}{10(x-1)^{2}(x-2)^{2}(x-4)^{2}}\)

Приклад 5

\(\ f(x)=\frac{(x-2)^{3}(x-1)^{2}(x+1)(x+3)}{x^{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-1)(x-2)^{2}}\)

Рішення

Вертикальні асимптоти виникають при\(\ x=0,-\frac{1}{2}\). Тому значення x для підпису тесту становлять -.001, 0,001, 3.999, 4.0001.

\ (\\ почати {вирівняний}
f (-0.001) &=+\\
f (0,001) &=-\\
f (3.999) &=-\\
f (4.0001) &=+
\ кінець {вирівняний}\)

Рецензія

Розглянемо функцію нижче для питань 1-4.

\(\ f(x)=\frac{(x-2)^{4}(x+1)(x+3)}{x^{3}(x+3)(x-4)}\)

Визначте вертикальні асимптоти.
Чи буде ця функція мати косу асимптоту? Горизонтальна асимптота? Якщо так, то де?
З якими значеннями вам потрібно буде використовувати тест знаків, щоб допомогти вам скласти ескіз графіка?
Скористайтеся тестом знаків і намалюйте графік біля вертикальних асимптотів.

Розглянемо функцію нижче для питань 5-8.

\(\ g(x)=\frac{3(x-2)^{2}(x-1)^{2}(x+1)(x+3)}{15 x^{2}(x+5)(x+1)(x-3)^{2}}\)

5. Визначте вертикальні асимптоти.

6. Чи буде ця функція мати косу асимптоту? Горизонтальна асимптота? Якщо так, то де?

7. З якими значеннями вам потрібно буде використовувати тест знаків, щоб допомогти вам скласти ескіз графіка?

8. Скористайтеся тестом знаків і намалюйте графік біля вертикальної асимптоти (ів).

Розглянемо функцію нижче для питань 9-12.

\(\ h(x)=\frac{9 x^{4}-102 x^{3}+349 x^{2}-340 x+100}{x^{3}-9 x^{2}+24 x-16}\)

9. Визначте вертикальні асимптоти.

10. Чи буде ця функція мати косу асимптоту? Горизонтальна асимптота? Якщо так, то де?

11. З якими значеннями вам потрібно буде використовувати тест знаків, щоб допомогти вам скласти ескіз графіка?

12. Скористайтеся тестом знаків і намалюйте графік біля вертикальних асимптотів.

Розглянемо функцію нижче для питань 13-16.

\(\ k(x)=\frac{2 x^{3}-5 x^{2}-11 x-4}{3 x^{3}+11 x^{2}+5 x-3}\)

13. Визначте вертикальні асимптоти.

14. Чи буде ця функція мати косу асимптоту? Горизонтальна асимптота? Якщо так, то де?

15. З якими значеннями вам потрібно буде використовувати тест знаків, щоб допомогти вам скласти ескіз графіка?

16. Скористайтеся тестом знаків і намалюйте графік біля вертикальних асимптотів.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.12.

Лексика

Термін	Визначення
Поведінка кінця	Поведінка кінця - це опис тенденції функції, оскільки вхідні значення стають дуже великими або дуже малими, представленими як «кінці» графічної функції.
Горизонтальна асимптота	Горизонтальна асимптота - це горизонтальна лінія, яка вказує, де функція згладжується, оскільки незалежна змінна стає дуже великою або дуже маленькою. Функція може торкатися або проходити через горизонтальну асимптоту.
коса асимптота	Коса асимптота - це діагональна лінія, що позначає певний діапазон значень, до якого графік функції може наблизитися, але, як правило, ніколи не досягати. Коса асимптота існує, коли чисельник функції рівно на один ступінь більше знаменника. Коса асимптота може бути виявлена за допомогою довгого поділу.
Косий асимптот	Коса асимптота - це діагональна лінія, що позначає певний діапазон значень, до якого графік функції може наблизитися, але, як правило, ніколи не досягати. Коса асимптота існує, коли чисельник функції рівно на один ступінь більше знаменника. Коса асимптота може бути виявлена за допомогою довгого поділу.
знак тест	Тест знаків - це процедура визначення лише того, чи є функція вище або нижче осі x при певному значенні x. Питома висота не розраховується.
Вертикальна асимптота	Вертикальна асимптота - це вертикальна лінія, що позначає певне значення, до якого графік функції може наблизитися, але ніколи не досягне.

Атрибуції зображень

[Рисунок 1]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA
[Рисунок 2]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
[Рисунок 3]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA
[Рисунок 4]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA