Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3.3: Графіки раціональних функцій, коли градуси не рівні

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55026

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Графік, коли ступені чисельника та знаменника різні

    Ксеркс каже, що функція\(\ y=\frac{x-2}{4 x^{2}+7}\), має горизонтальну асимптоту\(\ y=\frac{1}{4}\), Йоланда каже, що функція не має горизонтальної асимптоти, Зеб каже, що вона має горизонтальну асимптоту, але вона знаходиться в y = 0. Який з них правильний?

    Графічні раціональні функції

    У цій концепції ми торкнемося різних можливостей для інших типів раціональних функцій. Вам потрібно буде використовувати ваш графічний калькулятор протягом цієї концепції, щоб переконатися, що ваші ескізи правильні.

    Давайте графуємо\(\ y=\frac{x+3}{2 x^{2}+11 x-6}\) і знайдемо всі асимптоти, перехоплення, а також домен і діапазон.

    У цій задачі ступінь чисельника менше ступеня знаменника. Щоразу, коли це відбувається, горизонтальна асимптота буде y=0 або вісь x. Тепер, незважаючи на те, що вісь x є горизонтальною асимптотою, все одно буде нуль при x = −3 (розв'язування чисельника для x і встановлення його рівним нулю). Вертикальні асимптоти будуть розв'язками 2x 2 +11x−6=0. Факторинг цієї квадратики, ми маємо (2x−1) (x+6) =0 і розв'язки\(\ x=\frac{1}{2}\) і −6. Y-перехоплення є\(\ \left(0,-\frac{1}{2}\right)\). На цьому етапі ми можемо підключити нашу функцію до графічного калькулятора, щоб отримати загальну форму.

    F-д_536ЕД Ф452Ф720366АС 87Ф8Б 6Б 420 КД50Е2А8Д2482713Ф3Б26Е62+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Оскільки середня частина перетинає горизонтальну асимптоту, діапазон буде усіма дійсними числами. Домен є\(\ x \in \mathbb{R} ; x=-6 ; x \neq \frac{1}{2}\).

    Будьте обережні при графіку будь-якої раціональної функції. Ця функція не виглядає як графік ліворуч у TI-83/84. Це пов'язано з тим, що калькулятор не має можливості малювати асимптоти окремо і хоче зробити функцію безперервною. Переконайтеся, що ви перевіряєте таблицю (2-е → GRAPH), щоб знайти, де функція не визначена.

    Тепер давайте граф\(\ f(x)=\frac{x^{2}+7 x-30}{x+5}\) і знайдемо всі асимптоти, перехоплення, а також домен і діапазон.

    У цій задачі ступінь чисельника більше, ніж ступінь знаменника. Коли це відбувається, горизонтальної асимптоти немає. Замість цього виникає похила асимптота. Нагадаємо, що ця функція являє собою поділ. Якби ми розділили x 2 +7x−30 на x+5, відповідь була б\(\ x+2-\frac{20}{x+5}\). Нахил асимптота буде відповіддю, мінус залишок. Тому для цієї задачі похила асимптота дорівнює y=x+2. Все інше - те ж саме. Перехоплення y\(\ \frac{-30}{5} \rightarrow(0,-6)\) і x-перехоплення є розв'язками чисельника, x 2 +7x−30=0→ (x+10) (x−3) →x=−10,3. Існує вертикальна асимптота при x=−5. На цьому етапі ви можете перевірити кілька пунктів, щоб побачити, де знаходяться гілки, або скористатися графічним калькулятором.

    F-D_7267868743 Фе 75 де 7А292 КБКА95Е 2С654Ф54344С0Ф225Е94ФБ 86497+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 1]

    Доменом буде всі дійсні числа; x−5. Через похилу асимптоту обмежень по дальності немає. Це все дійсні числа.

    Нарешті, давайте графуємо\(\ y=\frac{x-6}{3 x^{2}-16 x-12}\) і знайдемо асимптоти та перехоплення.

    Оскільки ступінь чисельника менше ступеня знаменника, уздовж осі х буде горизонтальна асимптота. Далі знайдемо вертикальні асимптоти шляхом факторингу знаменника; (x−6) (3x+2). Зверніть увагу, що знаменник має множник (x−6), який є цілим числівником. Це означає, що буде отвір на x = 6.

    F-D_DC 754448310E9A3E3F3B0A6E1F9754D74E3A2C212EB491C44365CF2C2C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Отже, графік\(\ y=\frac{x-6}{3 x^{2}-16 x-12}\) буде таким же, як\(\ y=\frac{1}{3 x+2}\) за винятком з діркою на x=6. Немає перехоплення x, вертикальна асимптота знаходиться на x=-\ frac {2} {3} і y-перехоплення є\(\ \left(0, \frac{1}{2}\right)\).

    Резюме

    Для раціональної функції;\(\ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a_{m} x^{m}+\ldots+a_{0}}{b_{n} x^{n}+\ldots+b_{0}}\)

    1. Якщо m<n, то існує горизонтальна асимптота при y=0.
    2. Якщо m=n, то існує горизонтальна асимптота at\(\ y=\frac{a_{m}}{b_{n}}\) (співвідношення провідних коефіцієнтів).
    3. Якщо m>n, то існує похила асимптота при\(\ y=\left(a_{m} x^{m}+\ldots+a_{0}\right) \div\left(b_{n} x^{n}+\ldots+b_{0}\right)\) без залишку. У цьому понятті ми матимемо лише функції, де m на одиницю більше, ніж n.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили визначити, який учень правильний.

    Рішення

    Ступінь чисельника x−2 менше ступеня знаменника 4х 2 +7. Ми знаємо, що всякий раз, коли це відбувається горизонтальна асимптота буде y = 0, або вісь x.

    Тому Зеб є правильним.

    Графік наведені нижче функції. Знайти будь-які перехоплення і асимптоти.

    Приклад 2

    \(\ y=\frac{3 x+5}{2 x^{2}+9 x+20}\)

    Рішення

    x-перехоплення:\(\ \left(-\frac{5}{3}, 0\right)\), y-перехоплення:\(\ \left(0, \frac{1}{4}\right)\)

    горизонтальна асимптота: y = 0

    вертикальні асимптоти: немає

    F-D_C142c9C51ce40 ДДБ263Е877033ЕС56061СА493А76508188C4C09010+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 2]
    Приклад 3

    \(\ f(x)=\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}-3 x-4}\)

    Рішення

    x-перехоплення: (−2,0), y-перехоплення: (0, −1)

    горизонтальна асимптота: y = 1

    вертикальні асимптоти: x=4 та x=−1

    F-D_B016693E7C2394E771 Ф9А715д89 ЕС9746041БД75802Б13394Д87 АФ 1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png[Малюнок 3]
    Приклад 4

    \(\ g(x)=\frac{x^{2}-16}{x+3}\)

    Рішення

    x-перехоплює: (−4,0) та (4,0)

    y-перехоплення:\(\ \left(0,-\frac{16}{3}\right)\)

    похила асимптота: y=x−3

    вертикальні асимптоти: x = −3

    F-д_4390278С3Б44070Б613Е81066Ф31АФ26490Д5А3А7Ф13А334C0298F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Приклад 5

    \(\ y=\frac{2 x+3}{6 x^{2}-x-15}\)

    Рішення

    х-перехоплює: немає, діра на\(\ x=-\frac{3}{2}\)

    y-перехоплення:\(\ \left(0,-\frac{1}{5}\right)\)

    горизонтальна асимптота: y = 0

    вертикальна асимптота:\(\ x=\frac{5}{3}\)

    F-д_Б Каф 7Е3Д 7КСА 8Д903Е9Д 9733С8АА8АА81759А9Е3Д 538337153 А5БА5Ф3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Рецензія

    Знайти всі асимптоти наступних функцій.

    1. \(\ y=\frac{x-2}{x^{2}+6 x+8}\)
    2. \(\ y=\frac{x^{2}-4}{x+5}\)
    3. \(\ y=\frac{x^{2}}{x-3}\)
    4. Знайдіть x -перехоплення функції в #2.
    5. Знайдіть x -перехоплення функції в #3.

    Графік наведені нижче функції. Знайдіть будь-які перехоплення, асимптоту і дірки.

    1. \(\ y=\frac{x+1}{x^{2}-x-12}\)
    2. \(\ f(x)=\frac{x^{2}+3 x-10}{x-3}\)
    3. \(\ y=\frac{x-7}{2 x^{2}-11 x-21}\)
    4. \(\ g(x)=\frac{2 x^{2}-2}{3 x+5}\)
    5. \(\ y=\frac{x^{2}+x-30}{x+6}\)
    6. \(\ f(x)=\frac{x^{2}+x-30}{2 x^{3}-5 x^{2}-4 x+3}\)
    7. \(\ y=\frac{x^{3}-2 x^{2}-3 x}{x^{2}-5 x+6}\)
    8. \(\ f(x)=\frac{2 x+5}{x^{2}+5 x-6}\)
    9. \(\ g(x)=\frac{-x^{2}+3 x+4}{2 x-6}\)
    10. Визначити похилу асимптоту\(\ y=\frac{3 x^{2}-x-10}{3 x+5}\). Тепер, графік цієї функції. Чи дійсно існує похила асимптота? Чи можете ви пояснити свої результати?

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.6.

    Лексика

    Термін Визначення
    похила асимптота Похила асимптота - це діагональна лінія, що позначає певний діапазон значень, до якого графік функції може наблизитися, але ніколи не досягне. Схильна асимптота існує, коли чисельник функції рівно на один градус більше знаменника. Похила асимптота може бути виявлена через довгий поділ.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
       Кредит: Десмос
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/88158121@N00/5264675378/in/photolist-92dQz9-Eu1H8y-dNnzd-Lgg8Pu-4joH9Q-5EvPtm-4RvqPH-6WffXz-77cJAq-6Cskyq-KGKy88-f4g1D8-bHRJ2k-qABFH -72 кваббс-9 Адит-5К СЛФП-6І74В3-7ФБББВ-7 Деакс-ФВ6ВК-ЕБ2Рух-6НННГЕР-5Б8 Каз-4 РВККВ-5 Тувак-4РЗБББА ДПКХХХХ9-7ВМБ-2ВМБ-5ТХММ-5А АУГ-7ВН-5ВМХБ3-6БК ЗС-5ВХХ-5ВК-5ББК ЗС-5ВХХ-5ВК-5ББК ЗС-5ВХХ-5А АСИ-9Р9ДТК-5НГЗВН-9 ВНВВ-4РМХФ-5Тувк4 ПНБФХ-6QГВВВ-НКГВ6М-ЦГВЧ-КВЧ-КВЧ-С Вуй-А1ЗШ 65-ЕЛ4КВ-5кДВФ2-Т6ДжХ6Г-ДЗ9АМ
    2. [Малюнок 2]
       Кредит: Десмос
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/88158121@N00/5264675378/in/photolist-92dQz9-Eu1H8y-dNnzd-Lgg8Pu-4joH9Q-5EvPtm-4RvqPH-6WffXz-77cJAq-6Cskyq-KGKy88-f4g1D8-bHRJ2k-qABFH -72 кваббс-9 Адит-5К СЛФП-6І74В3-7ФБББВ-7 Деакс-ФВ6ВК-ЕБ2Рух-6НННГЕР-5Б8 Каз-4 РВККВ-5 Тувак-4РЗБББА ДПКХХХХ9-7ВМБ-2ВМБ-5ТХММ-5А АУГ-7ВН-5ВМХБ3-6БК ЗС-5ВХХ-5ВК-5ББК ЗС-5ВХХ-5ВК-5ББК ЗС-5ВХХ-5А АСИ-9Р9ДТК-5НГЗВН-9 ВНВВ-4РМХФ-5Тувк4 ПНБФХ-6QГВВВ-НКГВ6М-ЦГВЧ-КВЧ-КВЧ-С Вуй-А1ЗШ 65-ЕЛ4КВ-5кДВФ2-Т6ДжХ6Г-ДЗ9АМ
    3. [Малюнок 3]
       Кредит: Десмос
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/88158121@N00/5264675378/in/photolist-92dQz9-Eu1H8y-dNnzd-Lgg8Pu-4joH9Q-5EvPtm-4RvqPH-6WffXz-77cJAq-6Cskyq-KGKy88-f4g1D8-bHRJ2k-qABFH -72 кваббс-9 Адит-5К СЛФП-6І74В3-7ФБББВ-7 Деакс-ФВ6ВК-ЕБ2Рух-6НННГЕР-5Б8 Каз-4 РВККВ-5 Тувак-4РЗБББА ДПКХХХХ9-7ВМБ-2ВМБ-5ТХММ-5А АУГ-7ВН-5ВМХБ3-6БК ЗС-5ВХХ-5ВК-5ББК ЗС-5ВХХ-5ВК-5ББК ЗС-5ВХХ-5А АСИ-9Р9ДТК-5НГЗВН-9 ВНВВ-4РМХФ-5Тувк4 ПНБФХ-6QГВВВ-НКГВ6М-ЦГВЧ-КВЧ-КВЧ-С Вуй-А1ЗШ 65-ЕЛ4КВ-5кДВФ2-Т6ДжХ6Г-ДЗ9АМ