2.3.2: Графіки раціональних функцій при рівних ступенях

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55033

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Графік, коли градуси чисельника та знаменника однакові

Дарнелл каже, що функція\(\ y=\frac{2 x^{4}+5}{x^{4}-16}\) має дві вертикальні асимптоти, Барб каже, що вона має лише один, а Аруна каже, що вона має чотири. Який з них правильний?

Графічні раціональні функції

Ми вже склали графіки функцій у вигляді\(\ y=\frac{1}{x-h}+k\), де x=h і y=k є асимптотами. У цій концепції ми будемо розширювати графічні раціональні функції, коли знаменник і чисельник лінійні або обидва квадратичні. Отже, в цьому понятті не буде жодного терміна «k». Давайте розглянемо деякі проблеми практики, щоб визначити будь-які закономірності в графіку цього типу раціональної функції.

Давайте графуємо\(\ f(x)=\frac{2 x-1}{x+4}\) і знайдемо асимптоти, x і y перехоплення, домен і діапазон.

Щоб знайти вертикальну асимптоту, вона така ж, як і раніше, значення, яке робить знаменник нулем. У цьому випадку x=−4. Також те ж саме, як знайти перехоплення x і y.

y-перехоплення (коли x = 0):\(\ y=\frac{2 \cdot 0-1}{0+4}=-\frac{1}{4}\)

x-перехоплення (коли y=0):

\ (\\ begin {масив} {l}
0=\ frac {2 x-1} {x+4}\\
0=2 x-1\
1 = 2 x\\
\ frac {1} {2} =x
\ end {масив}\)

При вирішенні для x-перехоплення, щоб отримати знаменник назовні, ми множимо обидві сторони на х+4. Але, коли ми що-небудь множимо на 0, залишається 0. Тому, щоб знайти x-перехоплення, нам потрібно лише встановити чисельник рівний нулю і вирішити для x.

Останнє, що потрібно знайти - це горизонтальна асимптота. Ми знаємо, що функція позитивна, тому гілки будуть в першому і третьому квадрантах. Давайте зробимо стіл.

х	у
−13	3
−7	5
−5	11
−3	−7
−1	−1
0	−0,25
2	0.5
5	1
14	1.5

Схоже, що горизонтальна асимптота є y = 2, оскільки обидві гілки, здається, наближаються до 2, оскільки x стає більшим, як позитивним, так і негативним. Якщо ми підключимо x = 86, y=1.9 і коли x = −94, y=2.1. Як бачите, навіть коли x дуже великий, функція все одно наближається до 2.

F-D_A3A64 де 3Д69Д107 BEA525849 даф 9Ф8571934Д7518Б918E48E42C8F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Озираючись назад на вихідне рівняння\(\ f(x)=\frac{2 x-1}{x+4}\), витягніть провідні коефіцієнти і залиште їх чисельником над знаменником,\(\ \frac{2}{1}\). Це горизонтальна асимптота. Ми можемо узагальнити цю закономірність для всіх раціональних функцій. Коли ступінь чисельника дорівнює ступеня знаменника, горизонтальна асимптота - це відношення провідних коефіцієнтів.

Нарешті, домен — це всі дійсні числа; x−4, а діапазон — усі дійсні числа; y2.

Тепер давайте графуємо\(\ y=\frac{3 x^{2}+10}{x^{2}-1}\) і знайдемо асимптоти, перехоплення, домен та діапазон.

З попередньої задачі вище можна зробити висновок, що горизонтальна асимптота знаходиться на y=3. Оскільки знаменник знаходиться у квадраті, буде дві вертикальні асимптоти, оскільки x ² −1 множники (x−1) (x+1). Отже, вертикальні асимптоти мають значення x=1 та x=−1. Що стосується перехоплень, то немає x-перехоплень, оскільки немає реального рішення для 3x ² +10=0.

Рішення для y-перехоплення ми маємо\(\ y=\frac{10}{-1}=-10\).

На цьому етапі поставте рівняння у свій калькулятор, щоб побачити загальну форму. Щоб графікувати цю функцію за допомогою TI-83 або 84, введіть функцію в Y= ось так:\(\ \frac{\left(3 x^{\wedge} 2+10\right)}{\left(x^{\wedge} 2-1\right)}\) і натисніть GRAPH. Вам потрібно буде розгорнути вікно, щоб включити нижню частину графіка. Остаточний графік наведено нижче.

F-д_Д971 Б1875А193Д 41Е84190d20d87D865802E2896E6B186DA10EEDC5F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Домен все ще є всі дійсні числа, крім вертикальних асимптотів. Для цієї функції це були б усі дійсні числа; x−1, x1.

Діапазон трохи складніше знайти. Зверніть увагу на проміжок в діапазоні від горизонтальної асимптоти і y-перехоплення. Отже, діапазон дорівнює (−∞, −10] (3, ∞).

Позначення вище є одним із способів написання діапазону чисел, званих інтервальними позначеннями і вже введено . Символ означає «союз». Зверніть увагу, що −∞ та ∞ не включені до діапазону.

Взагалі, раціональні функції з квадратикою в знаменнику розбиті на шість областей і мають гілки в трьох з них, як і проблема вище. Однак бувають випадки, коли немає нулів або вертикальних асимптотів, і вони виглядають дуже по-різному. Ви завжди повинні графік функції в графічному калькуляторі після того, як ви знайдете критичні значення і зробити так само точний ескіз, як ви можете.

Нарешті, давайте графуємо\(\ f(x)=\frac{x^{2}-8 x+12}{x^{2}-x-6}\) і знайдемо перехоплення, асимптоти, домен і діапазон.

Давайте множимо чисельник і знаменник, щоб знайти перехоплення і вертикальні асимптоти.

\(\ f(x)=\frac{x^{2}-8 x+12}{x^{2}+x-6}=\frac{(x-6)(x-2)}{(x+3)(x-2)}\)

Зверніть увагу, що чисельник і знаменник мають множник (x−2). Коли це відбувається, створюється дірка, оскільки x=2 є нулем і асимптотою. Отже, x=2 - це дірка і ні нуль, ні асимптота.

F-D_D2131266AA3D6F540D0B531695E7Б92168 АФ 3Б862ББ 893D2B7815DC зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Існує вертикальна асимптота при x = −3 і нуль при x=6. Горизонтальна асимптота знаходиться на рівні y = 1. Графік\(\ f(x)=\frac{x^{2}-8 x+12}{x^{2}-x-6}\) буде виглядати як графік\(\ f(x)=\frac{x-6}{x+3}\), але з діркою на x=2. Діра не є частиною домену. І, вихідне значення, яке відповідає отвору, не є частиною діапазону. У цій проблемі не\(\ f(2)=\frac{2-6}{2+3}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}\) входить до складу асортименту. Якби ви графували цю функцію на графічному калькуляторі, калькулятор не покаже, що є отвір.

Домен дорівнює x; x2, −3, а діапазон Y; y1,\(\ -\frac{2}{3}\).

Приклади

Приклад 1

Раніше вас попросили визначити, який учень правильний.

Рішення

Вертикальна асимптота (и) виникають, коли знаменник функції дорівнює нулю. Для функції\(\ y=\frac{2 x^{4}+5}{x^{4}-16}\) знаменник дорівнює нулю, коли x ⁴ −16=0.

\ (\\ begin {масив} {r}
x^ {4} -16=0\\
x^ {4} =16
\ end {масив}\)

\(\ x=2 \text{ or } x=−2\)

Тому існує дві вертикальні асимптоти і Дарнелл правильний.

Графік наведені нижче функції. Знайти всі перехоплення, асимптоти, домен і діапазон. Перевірте відповіді ще раз за допомогою графічного калькулятора.

Приклад 2

\(\ y=\frac{4 x-5}{2 x+7}\)

Рішення

y-перехоплення:\(\ y=\frac{-5}{7}=-\frac{5}{7}\), x-перехоплення:\(\ 0=4 x-5 \rightarrow x=\frac{5}{4}\), горизонтальна асимптота:\(\ y=\frac{4}{2}=2\), вертикальна асимптота:\(\ 2 x+7=0 \rightarrow x=-\frac{7}{2}\)\(\ \mathbb{R} ; x \neq-\frac{7}{2}\), область:, діапазон:\ mathbb {R}: y\ neq 2

Ф-д_709305460 ЕФ 2Ф7024217751 ЕБ82Д71Е653А3А0281158022Ф14Б зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Приклад 3

\(\ f(x)=\frac{x^{2}-9}{x^{2}+1}\)

Рішення

y-перехоплення:\(\ y=\frac{-9}{1}=-9\), x-перехоплення: 0 = x2−9 → x = ± 3, горизонтальна асимптота: y = 1, вертикальна асимптота: немає, область:, діапазон:; y1

Особлива примітка: Коли немає вертикальних асимптотів, а чисельник і знаменник є квадратиками, це загальна форма. Це також може відображатися на горизонтальній асимптоті.

Ф-д_7А 39Е212С7Ф9А249С62С26Е76Ф7БЦ2718Д17ДДБББК 5БФ5БФ402Б158Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Приклад 4

\(\ y=\frac{2 x^{2}+7 x+3}{x^{2}+3 x+2}\)

Рішення

y-перехоплення:\(\ \left(0, \frac{3}{2}\right)\), x-перехоплення:\(\ (−3,0)\) і\(\ \left(-\frac{1}{2}, 0\right)\), горизонтальна асимптота: y=2, вертикальні асимптоти: x = −2, x = −1.

домен:; x−1, −2

діапазон: y( −∞, 2.1] [12, ∞)

Ф-д_3А3А3А503А826Ф6267КС5Д23БСБ 374Ф4Е1А6Е69АБ0Ф84Д3АФ41Е+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Приклад 5

\(\ y=\frac{x^{2}-4}{2 x^{2}-5 x+2}\)

Рішення

горизонтальна асимптота:\(\ y=\frac{1}{2}\), y-перехоплення: (0, −2)

вертикальні асимптоти:\(\ x=\frac{1}{2}\), x-перехоплення: (−2,0)

отвір:\(\ x=2, f(2)=\frac{4}{3}\)

домен:\(\ \mathbb{R} ; x \neq \frac{1}{2}, 2\)

Діапазон:\(\ \mathbb{R} ; y \neq \frac{1}{2}, \frac{4}{3}\)

F-D_777B9 ЕЕ852 БК2А2 ДБФ FA8943CFFA0206 ССД 94C7E0A86FC24823BC1E7E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Рецензія

Для чого потрібні вертикальні та горизонтальні асимптоти\(\ y=\frac{x-2}{x+7}\)?
Яка область цієї функції?
Який діапазон цієї функції?
Чи є якісь x -перехоплення? Якщо так, то які вони?
Чи існує y -перехоплення? Якщо так, то що це таке?

Графік наведено наступні раціональні функції. Запишіть рівняння асимптотів, області та діапазону, x та y перехоплює та ідентифікуйте будь-які дірки.

\(\ y=\frac{x+3}{x-5}\)
\(\ y=\frac{5 x+2}{x-4}\)
\(\ y=\frac{3-x}{2 x+10}\)
\(\ y=\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}-8 x+12}\)
\(\ y=\frac{x^{2}+4}{2 x^{2}+x-3}\)
\(\ y=\frac{2 x^{2}-x-10}{3 x^{2}+10 x+8}\)
\(\ y=\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3 x-10}\)
\(\ y=\frac{6 x^{2}-7 x-3}{4 x^{2}-1}\)
\(\ y=\frac{x^{3}-8}{x^{3}+x^{2}-4 x-4}\)
Графік\(\ y=\frac{1}{x-2}+3\) і\(\ y=\frac{3 x-5}{x-2}\) на тому ж наборі осей. Порівняйте ці два. Що ви помічаєте? Поясніть свої результати.

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.5.

Лексика

Термін	Визначення
Ступінь	Ступінь многочлена є найбільшим показником многочлена.
Отвір	На графіку раціональної функції існує дірка при будь-якому вхідному значенні, що призводить до того, що чисельник і знаменник функції дорівнюють нулю.
Інтервальні позначення	Інтервальне позначення - це позначення [a, b), де функція визначається між a та b. Використовуйте (або), щоб вказати, що кінцеве значення не включено, і [або], щоб вказати, що кінцеве значення включено. Ніколи не використовуйте [або] з нескінченністю або негативною нескінченністю.

Графік, коли градуси чисельника та знаменника однакові

Графічні раціональні функції

Приклади

Приклад 1

Приклад 2

Приклад 3

Приклад 4

Приклад 5

Рецензія

Відповіді на проблеми з оглядом

Лексика

Атрибуції зображень