2.3.1: Графіки основних раціональних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55031

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Графічне відображення раціональних функцій у стандартній формі

Стандартна форма раціональної функції задається рівнянням\(\ f(x)=\frac{a}{x-h}+k\). Які асимптоти цього рівняння?

Раціональна функція

Раціональна функція знаходиться у вигляді\(\ p(x)\),\(\ \frac{p(x)}{q(x)}\) де є многочлени\(\ q(x)\) і 0. Батьківський графік для раціональних функцій є\(\ y= \frac{1}{x}\), а форма називається гіперболою.

\(\ x\)	\(\ y\)
−4	\(\ -\frac{1}{4}\)
−2	\(\ -\frac{1}{2}\)
−1	−1
\(\ -\frac{1}{2}\)	−2
\(\ \frac{1}{2}\)	2
1	1
2	\(\ \frac{1}{2}\)
4	\(\ \frac{1}{4}\)

F-D_5D237952794B84 CFB484614D394468А7А4 ББК 1559Ф26880Б899Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Зверніть увагу на такі властивості цієї гіперболи: вісь x - горизонтальна асимптота, вісь y - вертикальна асимптота, а область та діапазон - всі дійсні числа, крім випадків, коли асимптоти. Нагадаємо, що вертикальна асимптота - це значення, яке робить знаменник нулем, оскільки ми не можемо розділити на нуль. Для горизонтальної асимптоти це значення, де діапазон не визначено.

Дві частини графіка називаються гілками. У випадку з гіперболою гілки завжди симетричні щодо точки, де перетинаються асимптоти. У цьому прикладі вони симетричні щодо походження.

У цьому уроці всі раціональні функції матимуть вигляд\(\ f(x)=\frac{a}{x-h}+k\)

Давайте графуємо\(\ f(x)=\frac{-2}{x}\) і знайдемо будь-які асимптоти, область, діапазон і будь-які нулі.

Давайте зробимо таблицю значень.

\(\ x\)	\(\ y\)
1	−2
2	−1
4	\(\ -\frac{1}{2}\)

Зверніть увагу, що ці гілки знаходяться у другому і четвертому квадрантах. Це відбувається через негативного знака перед 2, або\(\ a\). Горизонтальні та вертикальні асимптоти все ще є\(\ x\) і\(\ y\) -осями. Немає нулів, або\(\ x\) -перехоплень, тому що\(\ x\) -вісь є асимптотою. Домен і діапазон є ненульовими дійсними числами (всі дійсні числа, крім нуля).

F-д_А57д6138668 С80Е6А5БС353Б7С895А0244Ф3 АБ78Д53А8С8Ф8Ф8Ф8Ф806DA1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Тепер давайте граф\(\ y=\frac{1}{x-5}+2\) і знайти всі асимптоти, нулі, область і діапазон.

Для\(\ y=\frac{1}{x-5}+2\), вертикальна асимптота x = 5, тому що це зробить знаменник нуль, і ми не можемо розділити на нуль. Коли x = 5, значення функції буде\(\ y=\frac{1}{0}+2\), роблячи діапазон невизначений в\(\ y=2\). Форма і розташування гілок такі ж, як і батьківський графік, просто зміщений вправо на 5 одиниць і вгору на 2 одиниці.

F-D_81510BA66 ДЭ6434188АЕ 574ЕД 9ЕД 699Ф8Б1А2Ф05352940С7БФ54Д3Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Тому для загальної форми раціональної функції\(\ y=\frac{a}{x-h}+k, x=h\) є вертикальна асимптота і\(\ y=k\) є горизонтальною асимптотою.

Домен - це всі дійсні\(\ x\) числа; 5 і діапазон - це всі дійсні числа\(\ y\); 2. Щоб знайти нуль, встановіть функцію рівну нулю і вирішіть для\(\ x\).

\ (\\ почати {вирівняний}
0 &=\ розрив {1} {x-5} +2\\
-2 &=\ розрив {1} {x-5}\
-2 x+10 &=1\\
-2 х &=-9\\
x &=\ розрив {9} {2} =4.5
\ кінець {вирівняний}\)

Щоб знайти y-перехоплення, встановіть x=0 і вирішіть для y\(\ y=\frac{1}{0-5}+2=-\frac{1}{5}+2=1 \frac{4}{5}\).

Нарешті, давайте знайдемо рівняння гіперболи нижче.

Ми знаємо, що чисельник буде негативним, оскільки гілки цієї гіперболи знаходяться у другому та четвертому квадрантах. Асимптотами є x=−3 та y=−4. Поки що ми знаємо\(\ y=\frac{a}{x+3}-4\). Для того щоб визначити\(\ a\), ми можемо використовувати даний x-перехоплення.

F-D_99A873833 змінного струму FD3CDF78CE6C10A81А065D1ФДФД909А01ДДДК4Ф0C5499+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

\ (\\ почати {вирівняний}
0&=\ розрив {a} {-3.75+3}
-4 &=\ гідророзриву {a} {-0.75}\ квад\ квад\ квад\ квад\ текст {Рівняння} y=\ frac {-3} {x+3} -4\\
-3 &= a
\ кінець {вирівняний}\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас попросили знайти асимптоти рівняння\(\ f(x)=\frac{a}{x-h}+k\).

Рішення

З попередніх задач ми бачили, що вертикальна асимптота виникає, коли знаменник рівняння дорівнює нулю, а горизонтальна асимптота виникає, коли діапазон не визначено.

Коли\(\ x=h\), знаменник\(\ f(x)=\frac{a}{x-h}+k\) дорівнює нулю, так\(\ x=h\) і вертикальна асимптота.

Значення функції at\(\ x=h\) буде\(\ y=\frac{a}{0}+k\), роблячи діапазон невизначений в\(\ y=k\).

Тому\(\ y=k\) відбувається горизонтальна асимптота.

Приклад 2

Які асимптоти для\(\ f(x)=\frac{-1}{x+6}+9\) Is (−5, −8) на графіку?

Рішення

Асимптотами є\(\ x=−6\) і\(\ y=9\). Щоб побачити, чи є точка (−5, −8) на графіку, підставимо її на\(\ x\) і\(\ y\).

\ (\\ begin {вирівняний}
&-8=\ frac {-1} {-5+6} +9\ quad-8\ neq 8,\ text {отже, точка} (-5, -8)\ text {немає на графіку.}\\
&-8=-1+9
\ end {вирівняний}\)

Для прикладів 3 і 4 наведіть графік раціональних функцій. Знайти нуль, y-перехоплення, асимптоти, область і діапазон.

Приклад 3

\(\ y=\frac{4}{x}-2\)

Рішення

Немає перехоплення y, оскільки вісь y є асимптотою. Інша асимптота — y=−2. Домен - це всі дійсні числа; x0. Діапазон — це всі дійсні числа; y−2. Нуль дорівнює:

F-D_8A6A9B6 ЕАД FE05F1AC44C66 Фе А54222098БАА 1921615D91BD7D92E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

\ (\\ почати {вирівняний}
0 &=\ гідророзриву {4} {x} -2\\
2 &=\ розрив {4} {x}\\
2 x &= 4\\
x &= 2
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 4

\(\ y=\frac{2}{x-1}+3\)

Рішення

Асимптоти мають значення x = 1 і y = 3. Таким чином, домен - це всі дійсні числа, крім 1, а діапазон - це всі дійсні числа, крім 3. Y-перехоплення є,\(\ y=\frac{2}{0-1}+3=-2+3=1\) а нуль дорівнює:

F-д_46Б96АД Б1579Е2182А2А2ФБ6Д 193145570Е257Ф5А5Ф8А1Е986083+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

\ (\\ почати {вирівняний}
0 &=\ гідророзриву {2} {x-1} +3\
-3 &=\ розрив {2} {x-1}\\
-3 x+3 &=2\\
-3 х &=-1\ стрілка вправо x =\ frac {1} {3}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 5

Визначте рівняння гіперболи.

F-д_633212d1d908017 АС 4959ф80Б0Б0Б0Б0Б0БД5А6Д65Е3Д285392191AC848C41D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Рішення

Асимптоти мають значення x = −1, y=3, утворюючи рівняння\(\ y=\frac{a}{x+1}+3\). Взявши y-перехоплення, ми можемо вирішити за.

\ (\\ почати {вирівняний}
&4=\ розрив {a} {0+1} +3\ квад\ текст {Рівняння} y=\ гідророзриву {1} {x+1} +3\\
&1=a
\ end {вирівняний}\)

Рецензія

Для чого потрібні асимптоти\(\ y=\frac{2}{x+8}-3\)?
Чи є (−6, −2) точкою на графіку з #1?
Для чого потрібні асимптоти\(\ y=6-\frac{1}{x-4}\)?
Чи є (5,4) точка на графіку з #3?

Для задач 5-13 графують кожну раціональну функцію, виставляють рівняння асимптотів, області та діапазону та перехоплення.

\(\ y=\frac{3}{x}\)
\(\ y=\frac{1}{x}+6\)
\(\ y=-\frac{1}{x}\)
\(\ y=-\frac{1}{x+3}\)
\(\ y=\frac{1}{x+5}\)
\(\ y=\frac{1}{x-3}-4\)
\(\ y=\frac{2}{x+4}-3\)
\(\ y=\frac{5}{x}+2\)
\(\ y=3-\frac{1}{x+2}\)

Напишіть рівняння гіпербол. Ви можете припустити, що a = 1.

[Малюнок 5]
[Малюнок 6]

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.4.

Лексика

Термін	Визначення
Відділення	Дві криві гіперболи іноді називають гілками.
гіпербола	Гіпербола - це конічний переріз, утворений, коли січна площина перетинає обидві сторони конуса, в результаті чого утворюються дві нескінченні «U» -образні криві.
Раціональна функція	Раціональна функція - це будь-яка функція, яку можна записати як відношення двох поліноміальних функцій.

Графічне відображення раціональних функцій у стандартній формі

Раціональна функція

Приклади

Приклад 1

Приклад 2

Приклад 3

Приклад 4

Приклад 5

Рецензія

Відповіді на проблеми з оглядом

Лексика

Атрибуції зображень