2.2.3: Графічний калькулятор для аналізу поліноміальних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55032

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Графічні поліноміальні функції за допомогою графічного калькулятора

Щоб зробити чесну гонку між драгстером і смішним автомобілем, вчений розробив наступне поліноміальне рівняння:

f (x) = 71,682x−60,427x ² +84,710х ³ −27,769х ⁴ +4,296х ⁵ −0,262х ⁶. Яка максимальна точка графіка цієї функції?

Джерело: Університет Райс

Графічні поліноміальні функції за допомогою калькулятора

Ви вже використовували графічний калькулятор для графування парабол. Тепер ми розширимо ці знання та графуємо поліноми вищого ступеня. Потім ми скористаємося графічним калькулятором, щоб знайти нулі, максимуми та мінімуми.

Давайте проведемо графік f (x) =x ³ +x ² −8x−8 за допомогою графічного калькулятора.

Ці інструкції призначені для TI-83 або 84. Спочатку натисніть Y =. Якщо в цьому вікні є якісь функції, очистіть їх, виділивши знак = і натиснувши клавішу ENTER. Тепер в Y1 введіть многочлен. Вона має виглядати так: ^x 3+x ^2−8x−8. Натисніть ГРАФ.

Ф-Д_Ф33Д931 CF6A0648E71382546Ф20Б114ФАББА 3254D856FFE6C5660FE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Щоб налаштувати вікно, натисніть ZOOM. Щоб отримати типовий екран -10 до 10 (для обох осей), натисніть 6:ZStandard. Щоб зменшити масштаб, натисніть ZOOM, 3:ZoomOut, ENTER, ENTER. Для цієї конкретної функції вікно має перейти від -15 до 15 як для x, так і для y. щоб вручну ввести вікно, натисніть WINDOW і змініть Xmin, Xmax, Ymin і Ymax, щоб ви могли бачити нулі, мінімум і максимум. Ваш графік повинен виглядати так, як показано вище.

Тепер, давайте знайдемо нулі, максимум і мінімум функції з попередньої задачі вище.

Щоб знайти нулі, натисніть 2 ^nd TRACE, щоб отримати меню CALC. Виберіть 2: Нуль, і вас запитають «Ліва межа?» за допомогою калькулятора. Перемістіть курсор (натиснувши ↑ або ↓) так, щоб він знаходився лівіше одного нуля. Натисніть клавішу ENTER. Тоді він запитає «Правий прив'язаний?» Перемістіть курсор праворуч від цього нуля. Натисніть клавішу ENTER. Потім калькулятор запитає «Вгадай?» На цьому етапі ви можете ввести те, що, на вашу думку, нуль і знову натиснути ENTER. Тоді калькулятор видасть вам точний нуль. Для графіка з попередньої задачі вище вам потрібно буде повторити це три рази. Нулі складають -2,83, -1 і 2,83.

Щоб знайти мінімум і максимум, процес практично ідентичний знаходженню нулів. Замість того, щоб вибрати 2: Нуль, виберіть 3: хв або 4: макс. Мінімальний - (1,33, -14,52), а максимальний - (-2, 4).

Нарешті, давайте знайдемо y−intercept графа з тієї ж задачі вище.

Якщо ви вирішили не користуватися калькулятором, підключіть нуль для x і вирішіть для y.

f (0) =0 ³ +0 ² −8⋅0−8

Використовуючи графічний калькулятор, натисніть ^2-е TRACE, щоб отримати меню CALC. Виберіть 1: значення. X = відображається в нижній частині екрана. Якщо там є значення, натисніть CLEAR, щоб видалити його. Потім натисніть 0 і ENTER. Потім калькулятор повинен сказати «Y=−8».

Приклади

Приклад 1

Раніше вам було запропоновано знайти максимальну точку графіка функції.

Рішення

Якщо підключити рівняння f (x) =71,682x−60,427x ² +84,710x ³ −27,769x ⁴ +4,296x ⁵ −0,262x ⁶, ви виявите, що максимальне значення виникає, коли x=6,15105. При цьому значення x, f (x) дорівнює 1754,43. Тому максимальною точкою графіка функції є (6.15105, 1754.43).

Графік і знайдіть критичні значення наступних функцій.

Приклад 2

f (х) =-\(\ 1\over 3 \) х ⁴ −х ³ +10х ^2+25х−4

Рішення

нулі: -5.874, -2.56, 0.151, 5.283

y−перехоплення: (0, -4)

мінімум: (-1.15, -18.59)

локальний максимум: (-4.62, 40.69)

абсолютний максимум: (3.52, 113,12)

F-D_57830818437cc39ce66BE0720A23CBB2EF9DCC2E3C90020ДБ08103C5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Приклад 3

г (х) = 2х ⁵ −х ⁴ +6х ³ +18х ² −3х−8

Рішення

нулі: -1.413, -0.682, 0.672

y−перехоплення: (0, -8)

мінімальний: (-1.11, 4.41)

максимум: (0.08, -8.12)

F-д_5Б3ДДА 69ДБ972Е791 СА34БФ2Е4Д078Ф545Б67А5А99ДФ7412Ф5546D2D2D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Приклад 4

Знайдіть домен та діапазон прикладів 2 та 3.

Рішення

Доменом Прикладу 2 є дійсними числами, а діапазон усіх дійсних чисел менше максимального; (−∞ 113,113]. Домен і діапазон Прикладу 3 є дійсними числами.

Рецензія

Графік питання 1-6 на графічному калькуляторі. Намалюйте графік у відповідному вікні. Потім знайдіть усі критичні значення, область, діапазон та опишіть поведінку кінця.

f (x) = 2х ³ +5х ² −4х−12
h (x) =−\(\ 1\over 4 \) х ⁴ −2x ³ −\(\ 13\over 4 \) х ² −8х−9
y=x ³ −8
г (х) =−х ³ −11х ² −14х+10
f (x) = 2х ⁴ +3х ³ −26х ² −3х+54
y=x ⁴ +2х ³ −5х ² −12х−6
Які типи рішень в #2?
Знайдіть два уявних рішення в #3.
Знайдіть точні значення ірраціональних коренів у #5.

Визначте, чи є наступні твердження ІНОДІ, ЗАВЖДИ, або НІКОЛИ не вірні. Поясніть свої міркування.

Діапазон парної функції дорівнює (−∞, max], де max — максимум функції.
Домен і діапазон всіх непарних функцій є дійсними числами.
Функція може мати рівно три уявних рішення.
^{А в ступені многочлен не має реальних розв'язків.}
Батьківський граф будь-якої поліноміальної функції має один нуль.
Виклик. Точним значенням одного з нулів у #2 є −4+\(\ \sqrt{7}\). Яке точне значення іншого кореня? Потім використовуйте цю інформацію, щоб знайти уявні корені.

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.14.

Лексика

Термін	Визначення
Коріння	Коріння функції - це значення x, які роблять y рівним нулю.