2.2.2: Графіки многочленів з використанням нулів

Графіки многочленів з використанням нулів

Як пошук і використання нулів полінома вищого ступеня пов'язані з тим самим процесом, який ви використовували в минулому на квадратичних функціях?

---

Графічні многочлени з використанням нулів

Наступну процедуру можна дотримуватися при побудові графіків поліноміальної функції.

• Використовуйте тест на провідний термін, щоб визначити кінцеву поведінку графіка.
• Знайдіть x − перехоплення (и) f (x), встановивши f (x) =0, а потім розв'язуючи для x.
• Знайти y−перехоплення f (x), встановивши y=f (0) та знайшовши y.
• Використовуйте x−intercept (s), щоб розділити вісь x на інтервали, а потім оберіть контрольні точки для визначення знака f (x) на кожному інтервалі.
• Побудуйте контрольні точки.
• При необхідності знайдіть додаткові точки для визначення загальної форми графіка.

Провідний термін випробування

Якщо a _n ^{x n} - провідний член многочлена. Тоді поведінку графіка як x→∞ або x→−∞ можна дізнатися за однією з чотирьох наступних способів поведінки:

2. Якщо a _n <0 і n парні:

3. Якщо a _n >0 і n непарних:

4. Якщо a _n <0 і n непарні:

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вас попросили визначити деякі подібності в графіці, використовуючи нулі між квадратичними функціями та поліномами вищого ступеня.

Рішення

Незважаючи на більш складний характер графіків поліномів вищого ступеня, загальний процес побудови графіків з використанням нулів насправді дуже схожий. В обох випадках ваша мета полягає в тому, щоб знайти точки, де графік перетинає вісь x або y. В обох випадках це робиться шляхом встановлення значення y, рівного нулю, і рішення для x, щоб знайти перехоплення осі x, і встановлення значення x, рівне нулю, і рішення для y знайти перехоплення осі y.

Приклад 2

Знайдіть коріння (нулі) многочлена:

h (x) = х ³ +2х ² −5x−6

Рішення

Почніть з факторингу:

h (x) = х ³ +2х ² −5x−6 =( х+1) (х−2) (х+3)

Щоб знайти нулі, встановіть h (x) =0 і вирішіть для x.

(х+1) (х−2) (х+3) =0

Це дає

х+1=0

x−2=0

х+3=0

або

х = -1

х=2

х=-3

Отже, ми говоримо, що набір розв'язків є {−3, −1,2}. Вони є нулями функції h (x). Нулі h (x) є x−перехопленнями графіка y=h (x) нижче.

Приклад 3

Знайти нулі g (x) =− (x−2) (x−2) (x+1) (x+5) (x+5) (x+5) (x+5).

Рішення

Многочлен може бути записаний як

g (x) =− (x−2) ² (x+1) (x+5) ³

Для вирішення рівняння ми просто ставимо його рівним нулю.

− (х−2) ² (х+1) (х+5) ³ =0

це дає

x−2=0

х+1=0

х+5=0

або

х=2

х = -1

х=-5

Зверніть увагу на появу нулів у функції. Коефіцієнт (x−2) відбувся двічі (оскільки він був у квадраті), коефіцієнт (x+1) стався один раз, а коефіцієнт (x+5) - тричі. Ми говоримо, що нуль, який ми отримуємо від множника (x−2), має кратність k=2, а коефіцієнт (x+5) має кратність k=3.

Приклад 4

Графік функції полінома f (x) =−3x ⁴ +2x ³.

Рішення

Оскільки провідним терміном тут є −3x ⁴, то _n =−3<0, а n=4 навіть. Таким чином, кінцева поведінка графа у вигляді x→∞ та x→−∞ є поведінкою поля #2, елемента 2.

Ми можемо знайти нулі функції, просто встановивши f (x) =0, а потім вирішивши для x.

−3х ⁴ +2х ³ = 0

−х ³ (3х−2) =0

Це дає

x=0 або x=\(\ 2\over 3\)

Таким чином, у нас є два x−перехоплення, при x = 0 та x =\(\ 2\over 3\), з кратністю k = 3 для x = 0 та кратністю k = 1 для x =\(\ 2\over 3\)

Щоб знайти перехоплення y−intercept, ми знаходимо f (0), який дає

f (0) =0

Таким чином, графік проходить вісь y за значенням y=0.

Оскільки x−перехоплення мають значення 0 і\(\ 2\over 3\), вони ділять вісь x на три інтервали: (−∞, 0), (0,\(\ 2\over 3\)) та (\(\ 2\over 3\), ∞). Тепер нас цікавить визначення, через які інтервали функція f (x) негативна і з якими інтервалами вона позитивна. Для цього ми будуємо таблицю і вибираємо тестове значення для x з кожного інтервалу і знаходимо відповідне f (x) при цьому значенні.

Інтервал	Тестове значення x	f (х)	Знак f (х)	Розташування точок на графіку
(−∞, 0)	-1	-5	-	нижче осі x
(0,\(\ 2\over 3\))	\(\ 1\over 2\)	\(\ 1\over 16\)	+	над віссю x
(\(\ 2\over 3\), ∞)	1	-1	-	нижче осі x

Ці контрольні точки дають нам три додаткові точки для побудови: (−1, −5)\(\ 1\over 2\), (,\(\ 1\over 16\)) та (1, -1). Тепер ми готові до побудови нашого графіка. У нас є загалом три точки перехоплення, крім трьох тестових точок. Ми також знаємо, як графік поводиться як x→−∞ та x→+∞. Цієї інформації зазвичай вистачає, щоб зробити приблизний ескіз графіка. Якщо нам потрібні додаткові точки, ми можемо просто вибрати більше точок для завершення графіка.

Приклад 5

Знайдіть нулі та намалюйте графік многочлена

f (x) = х ⁴ −х ² −56

Рішення

Це факторне рівняння,

f (x) = х ⁴ −х ² −56

= (х ² −8) (х ² +7)

Налаштування f (x) = 0,

(х ² −8) (х ² +7) =0

перший термін дає

х ² −8=0

х ² = 0

х = ±\(\ \sqrt{8}\)

= ±\(\ 2\sqrt{2}\)

і другий термін дає

х ² +7=0

x ² =−7

x = ±\(\ \sqrt{-7}\)

= ±\(\ i\sqrt{7}\)

Таким чином, розчини ±\(\ 2\sqrt{2}\) і ±\(\ i\sqrt{7}\), загалом чотири нулі f (x). Майте на увазі, що лише дійсні нулі функції відповідають x−перехопленню її графа.

приклад 6

Графік g (x) =− (x−2) ² (x+1) (x+5) ³.

Рішення

Використовуйте нулі, щоб створити таблицю інтервалів і подивитися, чи знаходиться функція вище або нижче осі x у кожному інтервалі:

Інтервал	Тестове значення x	г (х)	Знак g (x)	Розташування графа відносно осі x
(−∞, −5)	-6	320	+	Вище
x=−5	-5	0	НА
(-5, -1)	-2	144	+	Вище
x=−1	-1	0	НА
(-1, 2)	0	-100	-	Внизу
х=2	2	0	НА
(2, ∞)	3	-256	-	Внизу

Нарешті, використовуйте цю інформацію та контрольні точки, щоб намалювати графік g (x).

---

Рецензія

1. Якщо c дорівнює нулю f, то c - a/an _________________________ графа f.
2. Якщо c дорівнює нулю f, то (x - c) - коефіцієнт ___________________?
3. Знайти нулі многочлена: P (x) =x ³ −5x ² +6x

Розглянемо функцію: f (x) =−3 (x−3) ⁴ (5x−2) (2x−1) ³ (4−x) ².

4. Скільки нулів (x-перехоплень) там?
5. Що таке провідний термін?

Знайдіть нулі і зробіть графік полінома. Обов'язково позначте x -intercepts, y -intercept (якщо можливо) і мають правильну поведінку кінця. Ви можете використовувати технологію для питань 9-12.

6. Р (х) =−2 (х+1) ² (х−3)
7. Р (х) = х ³ +3х ² −4х−12
8. f (x) =−2х ³ +6х ² +9х+6
9. f (x) =−4х ² −7х+3
10. ф (х) = 2х ^{5+4х 3} +8х ^2+6х
11. f (x) = х ⁴ −3х ²
12. г (х) =х ² −|х|
13. Дано: Р (х) = (3х+2) (х−7) ² (9х+2) ³

Держава:

1. Провідний термін:
2. Ступінь многочлена:
3. Провідний коефіцієнт:

Визначаємо рівняння многочлена на основі графіка:

14. 

15. 

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.4.

---

Лексика

Термін	Визначення
Кубічна функція	Кубічна функція - це функція, яка містить ^член x 3 як найвищу потужність x.
Перехоплення	Перехоплення кривої - це місця, де крива перетинає осі x та y. Перехоплення x - це точка, в якій крива перетинає вісь x. Перехоплення y - це точка, в якій крива перетинає вісь y.
інтервал	Інтервал - це специфічна і обмежена частина функції.
Провідний термін випробування	Провідний тест - це тест для визначення кінцевої поведінки поліноміальної функції.
многочлен	Многочлен - це вираз з принаймні одним алгебраїчним терміном, але який не вказує на поділ на змінну або містить змінні з дробовими показниками.
Поліноміальний граф	Поліноміальний граф - це графік функції полінома. Термін найчастіше використовується для поліноміальних функцій зі ступенем не менше трьох.
Квартична функція	Квартична функція - це функція f (x), що містить ^член x 4 як найвищу силу «x».
Коріння	Коріння функції - це значення x, які роблять y рівним нулю.
нулі	Нулі функції f (x) - це значення x, які призводять до того, що f (x) дорівнює нулю.