Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2.1: Графіки многочленів з використанням перетворень

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55027

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Пенні було доручено намалювати велику фреску на стороні гуманного суспільства. У суспільстві є талісман, африканський лев, якого суспільство підтримує, жертвуючи гроші місцевому зоопарку на його турботу. Пенні, як очікується, накидає лева, представити ескіз на правління гуманного суспільства для затвердження, а потім масштабувати малюнок до 22 квадратних футів, щоб він охопив сторону будівлі.

    Незабаром після того, як Пенні фактично починає роботу з розпису фрески, її відвідує голова правління гуманного суспільства. Він розповідає Пенні, що начальник пожежі щойно повідомив суспільство, що додаткова діяльність фреска, як очікується, залучить означає, що будівля потребуватиме ще одного входу/виходу для пожежної безпеки. На жаль, це означає, що фреску потрібно буде переміщати вгору і вправо приблизно на 5 футів.

    Які перетворення складних ліній (як ті, що в цьому уроці) буде використовувати Пенні до того часу, коли вона завершить роботу?

    Графічні поліноми з використанням перетворень

    Функції поліномів

    Ви вже вивчили багато різних видів функцій, наприклад лінійні функції, постійні функції та квадратичні функції. Всі три ці функції належать до більшої групи функцій, званих поліноміальними функціями.

    Найпростіший многочлен називається степеневої функцією. Ступенева функція - це многочлен у вигляді f (x) = ax n, де a - дійсне число, а n - ціле число з n≥1.

    Якщо n парна, то функція потужності також називається «парною», а якщо n непарна, то функція потужності - «непарна». Графіки перших п'яти силових функцій наведені нижче.

    F-D_08C49756 ЕДФ 7848Ф767ББ 144СА8Ф300 ФЧ 772889237c77c561AB737+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Зауважте, що кожна функція степенів має лише одне x− та y−interchept, початок (0, 0).

    Кінцева поведінка функції описує значення y, оскільки x стає дуже великим (x→∞ у символах) або як x стає дуже малим (x→−∞).

    • Для парних степенів n степенева функція f (x) = ax n має U-подібну форму (як парабола) і має x→∞, f (x) →∞. Аналогічно x→−∞, f (x) →∞.
    • Для непарних степенів n функція потужності переходить від третього квадранта до першого квадранта (як лінія y = x). Як x→∞, f (x) →∞ та як x→−∞, f (x) →−∞.

    Як і у випадку з квадратиками і поліномами, провідний коефіцієнт a змінює вертикальне «розтягування» силових функцій.

    Функції поліномів графа з використанням перетворень

    Так само, як і квадратики, поліноміальні функції можуть бути побудовані графіком за допомогою перетворень відомого графа. Основними перетвореннями є вертикальні та горизонтальні зсуви та відображення навколо осі x − та y.

    Задано многочлен p (x) та постійні дійсні числа c та a

    • p (x) +c - вертикальний зсув графіка p (x) на c одиниць вгору (тому функція зсувається вниз, якщо c<0).
    • p (x−c) — горизонтальний зсув графа p (x) на c одиниць вправо. (Таким чином, функція зсувається вліво, якщо c<0).
    • −p (x) — це відображення графіка p (x) навколо осі x.
    • p (−x) є відображенням графа p (x) навколо осі y.
    • ap (x) - вертикальне розтягнення, кратне a.
    • p (ax) - горизонтальне стиснення кратним a.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вам задавали питання про види перетворень складних ліній, які Пенні буде використовувати в своєму ескізі до моменту її завершення.

    Рішення

    Коли Пенні вперше намалює лева, вона буде (ймовірно, несвідомо) застосовувати вертикальне і горизонтальне стиснення до ескізу, якщо тільки вона не використовує дуже великий аркуш паперу!

    Після того, як ескіз буде затверджений, Пенні потім потрібно буде сильно розтягнути зображення вертикально і горизонтально, щоб зробити зображення досить великим, щоб покрити сторону будівлі.

    Після візиту Пожежного начальника Пенні потрібно було застосувати горизонтальний і вертикальний зсув, щоб перемістити зображення з шляху нових дверей.

    Приклад 2

    Графік f (x) показаний нижче. Використовуйте графік f (x) для графіка f (x+4).

    Ф-Д_С626 ББ 201037 FFF 75FFD7995E5E 5382368 С8 FAC4C80687A2C71453C34F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Рішення

    Це горизонтальний зсув f (x) вліво на 4 одиниці.
    Ф-Д_8АС 0CD ДДД 7907С4БД99ЕЕ9С840С5 ДДД6878БА3250Е146БФЦ171СЦА4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Приклад 3

    Графік f (x) показаний нижче. Використовуйте графік f (x) для графа f (−x) +3.

    Ф-Д_С626 ББ 201037 FFF 75FFD7995E5E 5382368 С8 FAC4C80687A2C71453C34F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Рішення

    Це відображення f (x) навколо осі y та вертикального зсуву вгору на 3 одиниці.

    Ф-Д_24Е657 ФК 996С085536722Е 94ДЕ16Б72 А728Ф78К90Д46А7ЕФ0ФДБ21Е+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Приклад 4

    Опишіть перетворення на графік функції y=x 2, необхідний для обґрунтованого наближення f (x) =−x 4.

    Рішення

    Оскільки f (x) =−x 4 є парною функцією, функція f (x) =−x 2 є розумним наближенням, що вимагає лише відображення y=x 2 по осі x.

    Приклад 5

    Опишіть перетворення, необхідні для того, щоб графік еталонної функції f (x) =x 3 виглядав як графік y=−2x 3 +2.

    Рішення

    Перетворення, необхідні для реплікації функції y=−2x 3 +2, відображаються f (x) =x3 по осі x, розтягують f (x) =−x 3 на 2 та зрушують f (x) =−2x 3 вгору на 2.

    Приклад 6

    Опишіть поведінку кінця f (x) =−7x 3 +6x 2 −3x за допомогою тесту на провідний коефіцієнт.

    Рішення

    Відповідно до тесту провідного коефіцієнта, задано f (x) = ax n, де a - провідний коефіцієнт, а n - ступінь, якщо n непарна, а a від'ємна, графік піднімається вгору ліворуч і вниз правий.

    f (x) = −7x 3 +6x 2 −3x зростає без зв'язку до ∞ у II квадранті та зростає негативно без зв'язків у IV квадранті.

    Рецензія

    1. Задано: Р (х) = 7х 4 −5х 3 +х 2 −7х+6

      Держава:

      1. Провідний термін:
      2. Ступінь многочлена:
      3. Провідний коефіцієнт:

    Опишіть трансформацію, наведену в кожному питанні нижче:

    1. Оригінальна функція: g (x) = 3x 3 Трансформована функція: f (x) = 3x 3 +3
    2. Оригінальна функція: g (x) = 2x 3 +3 Трансформована функція: f (x) = 2x 3 +7
    3. Оригінальна функція: g (x) = x 4 +2 Трансформована функція: f (x) = 3 (x 4 +2)
    4. Оригінальна функція: g (x) = 5x 3 Трансформована функція: f (x) =\(\ 1\over 2\) (x 3)

    Графік наведено нижче за допомогою перетворень батьківських функцій:

    1. f (x) = 2х 5 −4
    2. f (х) = (х−4) 3 +6
    3. Графік f (x) =−2x 4 +x 2 наведено нижче.
    F-D_734F3037171 ABB4D316AC ФЦ5А 6ЕС06Д1А4 АФ 6C8D0C14F0F6979F2B+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Опишіть кожне перетворення на основі зображень нижче:

    1. Від:Ф-Д_6Ф214ДФ 4СЕ 24356D452C07CF4C35B5ДЕФС28А9Ф5628Ф3B513D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG ДоF-D_7E76B1 змінного струму постійного струму 834C94191Б3Ф72С43Ф39 ББ8Ф6Ф73CF10AB20C2D93D30+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    2. Від:F-д_ЕК 4С654 ЕФ2492847D97296F2D993A847 ДДД зд Б0КД 7ЕДДД0Ф347БА7СА+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG ДоF-д_0д38А 50Е106А7ББ61698С611Б5С867Д46Б53Ф5СА2АА9FFD93136ФЕ17+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    3. Від:Ф-Д_8Б1ЕЕ43 АС7КБКФ0258С8КБ+ЦСе 791655218 А166Б9А9290C6C9D7B+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG ДоФ-Д_ДД7Ф8461Б8ЕБ90А36083КС0701Д2Д68Д935Ф7337577ЕСК0327Ф0Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    4. Від:F-д_Б81305014052 ФЕ48Б8ФБ7126511С7257Д0ФК 7А195А195А7А7А7С19903+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG ДоF-д_Е5544395ДА7ФБФ 51С222Ф080D1BE91E47026 АЦДФ 9Б447А6482Ф97+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.3.

    Лексика

    Термін Визначення
    стиснення Розтягування або стиснення - це перетворення функції, яке робить графік вужчим або ширшим, без перекладу його горизонтально або вертикально.
    Функція непарної потужності Непарна степенева функція - це многочлен у вигляді f (x) = ax n, де a - дійсне число, а n - непарне число.
    батьківська функція Батьківська функція - найпростіша форма певного типу функції. Всі інші функції цього типу зазвичай порівнюються з батьківською функцією.
    многочлен Многочлен - це вираз з принаймні одним алгебраїчним терміном, але який не вказує на поділ на змінну або містить змінні з дробовими показниками.
    Поліноміальний граф Поліноміальний граф - це граф поліноміальної функції. Термін найчастіше використовується для поліноміальних функцій зі ступенем не менше трьох.
    Функція живлення Ступенева функція - це многочлен у вигляді f (x) = ax n, де a - дійсне число, а n - ціле число з n≥1.
    Відображення Відображення - це перетворення, які призводять до «дзеркального відображення» батьківської функції. Вони викликані різними ознаками між батьківськими і дочірніми функціями.
    зрушення Зсув, також відомий як переклад або слайд, - це перетворення, застосоване до графіка функції, яка не змінює форму або орієнтацію графіка, а лише розташування графіка.
    зрушень Зсув, також відомий як переклад або слайд, - це перетворення, застосоване до графіка функції, яка не змінює форму або орієнтацію графіка, а лише розташування графіка.
    розтягнути Розтяжка або стиснення - це перетворення функції, яке робить графік вужчим або ширшим.
    розтягування Розтягування графіка означає зробити графік вужчим або ширшим.
    Трансформації Перетворення використовуються для зміни графіка батьківської функції в граф більш складної функції.