2.1.2: Графіки квадратичних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55064

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Графіки квадратичних функцій

На попередніх уроках ми розглядали стандартну форму квадратичної функції: f (x) =ax ² +bx+c, можливо, ви бачили інші форми, такі як форма вершини або факторна форма. Чому існує так багато поширених способів написання одних і тих же рівнянь? Чому ми повинні вивчати всі ці різні форми, якщо стандартна форма все одно є найпоширенішою?

Графічні квадратичні функції

Квадратичні функції

Функція f, визначена f (x) = ax ² +bx+c, де a, b і c - дійсні числа, а a0, називається квадратичною функцією.

Визначальною характеристикою квадратичної функції є те, що вона є поліном, найвищий показник якого дорівнює 2.

Існує кілька способів запису квадратичних функцій:

стандартна форма, форма квадратичної функції вище: f (x) =ax ² +bx+c
форма вершини, яка зазвичай використовується для швидкого ескізу: f (x) =a (x−h) ^2+k
факторна форма, відмінно підходить для пошуку x -перехоплень: f (x) =a (x−r ₁) (x−r ₂)

Перехоплення y− квадратичної функції у стандартній формі дорівнює (0, c) і його знаходять шляхом підстановки x у f (x) = ax ² +bx+c.

Короткий опис форми вершин

Дано квадратичну функцію у вигляді вершини: f (x) =a (x−h) ^2+k:

Вершина знаходиться в (h, k)
Парабола відкривається, якщо a> 0
Парабола відкривається, якщо a<0
Парабола вужча за y = x ², якщо |a|>1
Парабола відкривається ширше, ніж y=x ², якщо |a|<1

Вершина параболи

У стандартній формі квадратичної функції x−координата вершини параболи задається рівнянням:

\(\ x=-\frac{b}{2 a}\)

Y−координату вершини знайдено за допомогою:

\(\ y=f\left(-\frac{b}{2 a}\right)\)

Вісь симетрії параболи

Парабола має відбивну симетрію навколо вертикальної лінії через вершину.

Вертикальна лінія також\(\ x=-\frac{b}{2 a}\) є віссю симетрії параболи.

Приклади

Приклад 1

Графік g (x) =x ² +6x+7 з використанням перетворень.

Рішення

Спочатку заповніть квадрат, щоб записати цю функцію у формі вершини. Додайте і відніміть\(\ \left(\frac{b}{2}\right)^{2}\) до правої частини рівняння:

г (х) = х ² +6х+7

= х ² +6х+9+7−9

Тепер, фактор правої сторони:

г (х) = (х+3) ² −2

Таким чином, a=1 і вершина цієї параболи дорівнює (-3, -2). Ми знаємо, що парабола відкривається з тією ж шириною, що і y = x ², і вона має мінімальне значення у вершині. Графік параболи наведено нижче.

Ф-Д_Б5355Б73С804С84Д 9989АС 299С220ЕД ФД8ФС277КД1592А7С289Д9Д9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Приклад 2

Знайдіть вершину та графуйте квадратичну функцію g (x) =x ² −8x+12.

Рішення

x−координата вершини є\(\ x=-\frac{-8}{2}=4\).

Y−координата вершини дорівнює g (4) = (4) ² −8 (4) +12=16−32+12=−4

Таким чином, вершина знаходиться в (4, -4).

Для побудови графіка параболи складемо таблицю точок з координатою x−4:

х	у = г (х)
4	-4
5	-3
6	0
7	5

Ф-Д_45539Ф6668 КС2Д 67ЕД 5А73972249Д196Е68558Б02Б7591297505153D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Тепер ми можемо використовувати симетрію g (x), щоб заповнити цю таблицю для g (3). Зауважте, що g (3) =g (5) =−3. Аналогічно, g (2) = g (6) =0. Остаточний графік наведено нижче.

F-D_6409B060700C3CA3F4390058BCBB Bea9Е2АД 60240Ф567Ф2БФ3Е866Б32+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Приклад 3

Намалюйте графік функції y=f (x) =x ² +2x−3.

Рішення

Давайте спочатку знайдемо перехоплення. Для перехоплення y−interchept, якщо x=0, то f (0) =−3, або y=−3, тож точка перехоплення y−буде (0, -3).

Тепер для x−перехоплень, якщо y=f (x) =0, то x ² +2x−3=0, або x ² +2x−3 =( x+3) (x−1) =0

так що x=−3 та x=1 є x−перехопленнями, тобто (-3, 0) та (1, 0).

Вершина (крайня точка) знаходиться в

\(\ x=\frac{-b}{2 a}=\frac{-2}{2(1)}=-1\)

Так як

\ (\\ почати {вирівняний}
f (-1) & =( -1) ^ {2} +2 (-1) -3\\
&=-4
\ кінець {вирівняний}\)

Вершина дорівнює (-1, -4).

Оскільки коефіцієнт х ² позитивний, a> 0, крайня точка мінімальна і парабола відкривається. З цієї інформації ми можемо зробити приблизний ескіз параболи, що містить точки, визначені вище. Зверніть увагу, що діапазон функції дорівнює y≥−4.

Ф-Д_883851Ф2958Ф4319065 де 5Б55к3ФД00494069798Ф628274 Дед 2901Бе+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Приклад 4

Намалюйте графік квадратичної функції f (x) =−x ² +4x.

Рішення

Щоб знайти перехоплення y, встановіть x=0, а f (0) =− (0) ² +4 (0) =0

Таким чином, парабола перехоплює вісь y у початку.

x−interchept отримується шляхом встановлення y=0. Таким чином, −x ² +4x=0.

Факторинг,

−x ² +4x=−х (х−4) =0

так що x=0 і x=4 є x−перехопленнями.

У нас є a=−1 і b=4, так що крайня точка виникає, коли

\(\ x=\frac{-b}{2 a}=\frac{-4}{2(-1)}=2\)

Оскільки f (2) =− (2) ² +4 (2) =−4+8=4, то (2, 4) є крайньою точкою. Це максимальна точка, оскільки a=−1<0 і парабола відкривається вниз. Нарешті, графік можна отримати, накидавши параболу через точки, визначені вище. З графіка діапазон функції дорівнює y≤4.

Ф-Д_5175Б6 Дие 29А 23369848Е34АК 48458С519 де 4Б7Д08714 2019 D3A3E96+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Приклад 5

Намалюйте графік y=−3 (x−2) ² +1.

Рішення

Рівняння y=−3 (x−2) ² +1 вже має вершинну форму, тому побудова графіків є відносно простим:

Нагадаємо, коли рівняння записується у вигляді вершини так, вершина - це точка (h, k):

форма вершини: y=a (x−h) ^2+k

Наше рівняння: y=−3 (x−2) ² +1

Вивчаючи наше рівняння, ми можемо побачити вершину параболи в (2, 1).

Щоб знайти іншу точку на параболі, вирішіть значення x.

Так як вершина знаходиться в x = 2, давайте спробуємо одну одиницю праворуч: x = 3.

−3 (3−2) ² +1=−2

＞На параболі є точка на (3, -2)

Оскільки парабола має вісь симетрії, яка проходить через її вершину, ми можемо відобразити точку (3, -2) поперек осі симетрії, щоб отримати іншу точку, (1, -2) також на параболі.

Графік y=−3 (x−2) 2+1 наведено нижче, використовуючи вершини (2, 1) та точки (3, -2) та (1, -2).

Рецензія

Як називається U-подібний графік квадратичної функції?
Який напрямок відкриває парабола, якщо провідний коефіцієнт (а) позитивний?
Для y ² = x Якщо коефіцієнт y позитивний, яким чином відкривається парабола?
Як називається найнижча точка параболи, що відкривається, і найвища точка параболи, яка відкривається вниз.
Як називається лінія, що проходить через вершину, яка ділить параболу на дві симетричні частини?
Намалюйте графік y=x ² +3
Намалюйте графік y=−x ² +4x−4
Намалюйте графік y=2x ² +8x
Розглянемо таку квадратичну функцію: y=−x ² −2x+1 a) У якому напрямку вона відкриває? б) Що таке вершина? в) Чи розтягується вона якимось чином?
Розглянемо квадратичні функції: y=2x ² y=4x ² y=6x ² Яку квадратичну функцію ви очікуєте мати найвужчу параболу? Поясніть свою відповідь.

Намалюйте графік кожної функції:

y=−x ²
y=3x ² +6х+1
y=12x ² +2х+4
y= (х−3) ² +4
y=−x ² −8х−17

Квадратичну функцію y=−0.05x ² +1.5x можна використовувати для представлення шляху футбольного поля на 30 метрів. Змінна x представляє відстань, у ярдах, м'яч пройшов вниз по полю. Висота, у ярдах, футболу в повітрі представлена змінною (y).

Використовуйте квадратичну функцію, щоб обчислити висоту кулі, коли він рухається вниз по полю. Округляйте свої відповіді до найближчої сотої частки двору.

Відстань вниз по полю (yds)	Висота в повітрі (yds)
0.0
5.0
10.0
15,0
20.0
25.0
30.0

Яка максимальна висота футболу під час удару?
Як далеко вниз по полю пройшов футбол, коли він досягає максимальної висоти?
Використовуйте інформацію в таблиці для графіка шляху футбольного удару.
Якби вам показали лише графік цієї квадратичної функції, як ви могли визначити максимальну висоту футболу під час удару і наскільки далеко вниз по полю пройшов футбол, коли він досягає своєї максимальної висоти?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.2.

Лексика

Термін	Визначення
вісь симетрії	Вісь симетрії параболи - це вертикальна лінія, яка проходить через вершину параболи. Парабола симетрична щодо цієї лінії.
факторна форма	Факторною формою квадратичної функції f (x) є f (x) =a (x−r ₁) (x−r ₂), де r ₁ та r ₂ є корінням функції.
Перехоплення	Перехоплення кривої - це місця, де крива перетинає осі x та y. Перехоплення x - це точка, в якій крива перетинає вісь x. Перехоплення y - це точка, в якій крива перетинає вісь y.
Максимум	Максимум - це найвища точка графіка. Максимум дасть найбільше значення діапазону.
Максимум/Мінімум	Максимум - це найвища точка функції, а мінімальна - найнижча точка функції.
Мінімум	Мінімум - найнижча точка графіка. Мінімум дасть найменшу величину діапазону.
Парабола	Парабола - це характерна форма квадратичного графіка функції, що нагадує «U».
квадратична функція	Квадратична функція - це функція, яку можна записати у вигляді f (x) =ax ² +bx+c, де a, b і c - дійсні константи і a0.
стандартна форма	Стандартна форма квадратичної функції - f (x) = ax ² +bx+c.
Трансформації	Перетворення використовуються для зміни графіка батьківської функції в граф більш складної функції.
Вершина	Вершина параболи - найвища або найнижча точка на графіку параболи. Вершина - це максимальна точка параболи, яка відкривається вниз, і мінімальна точка параболи, яка відкривається вгору.
Вершинна форма	Вершинною формою квадратичної функції є y=a (x−h) ^2+k, де (h, k) — вершина параболи.