2.1.1: Методи розв'язання квадратичних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55065

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Факторингові многочлени в квадратичній формі

Об'єм прямокутної призми становить 10x ³ −25x ² −15x. Які довжини сторін призми?

Факторингові многочлени в квадратичній формі

Останнім типом факторного многочлена є ті, які знаходяться в квадратичній формі. Квадратична форма - це коли многочлен виглядає як триноміальний або біноміальний і може бути врахований як квадратичний. Одним із прикладів є те, що многочлен має вигляд ax ⁴ +bx ² +c. Інша можливість - щось подібне до різниці квадратів, a ⁴ −b ⁴. Це може бути враховано на (a ² −b ²) (a ² +b ²) або (a−b) (a+b) (a ² +b ²). Завжди майте на увазі, що найбільші загальні фактори повинні бути враховані в першу чергу.

Давайте перерахуємо наступні многочлени.

2x ⁴ −х ² −15
Цей конкретний многочлен є факторним. По-перше, ac=−30. Коефіцієнти -30, які складають до -1, складають -6 і 5. Розгорніть середній термін, а потім використовуйте факторинг шляхом групування.

2x ⁴ −х ² −15

2х ⁴ −6х ² +5х ² −15

2х ² (х ² −3) +5 (х ² −3)

(х ² −3) (2х ² +5)

Обидва фактори не є факторними, тому ми закінчили.
81х ⁴ −16
Ставтеся до цього поліноміального рівняння як до різниці квадратів.

81х ⁴ −16

(9х ² −4) (9х ² +4)

Тепер ми можемо множник 9x ² −4, використовуючи різницю квадратів вдруге.

(3х−2) (3х+2) (9х ² +4)

9x ² +4 не може бути врахований, оскільки це сума квадратів. Це матиме уявні рішення.

Тепер знайдемо всі реальні розв'язки 6x ⁵ −51x ³ −27x=0.

По-перше, витягніть GCF серед трьох термінів.

6х ⁵ −51х ³ −27х=0

3х (2х ⁴ −17х ² −9) = 0

Фактор, що знаходиться всередині дужок, як квадратне рівняння. ac=−18 та множники -18, які додають до -17, - це -18 і 1. Розгорніть середній термін, а потім використовуйте факторинг шляхом групування.

6х ⁵ −51х ³ −27х=0

3х (2х ⁴ −17х ² −9) = 0

3х (2х ⁴ −18х ² +х ² −9) = 0

3x [2x ² (х ² −9) +1 (х ² −9)] =0

3х (х ² −9) (2х ² +1) = 0

Фактор x ² −9 далі і розв'яжіть для x, де це можливо. 2x ² +1 не є факторним.

3х (х ² −9) (2х ² +1) = 0

3х (х−3) (х+3) (2х ² +1) =0

x=−3,0,3

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили знайти довжини сторін призми.

Рішення

Щоб знайти довжини сторін призми, нам потрібно коефіцієнт 10x ³ −25x ² −15x.

По-перше, витягніть GCF серед трьох термінів.

10х ³ −25х ² −15х

5x (2x ² −5x−3)

Фактор, що знаходиться всередині дужок, як квадратне рівняння. ac=−6 та множники -6, що додають до -5, - це -6 та 1.

5x (2x ² −5x−3) = 5x (2x+1) (x−3)

Отже, довжини сторін прямокутної призми складають 5x, 2x+1 та x−3.

Приклад 2

Коефіцієнт: 3х ⁴ +14х ² +8.

Рішення

ac=24 і коефіцієнти 24, які додають до 14, - це 12 і 2.

3х ⁴ +14х ² +8

3х ⁴ +12х ² +2х ² +8

3х ² (х ² +4) +2 (х ^{4 +4})

(х ² +4) (3х ² +2)

Приклад 3

Коефіцієнт: 36х ⁴ −25.

Рішення

Фактор цього многочлена подібно різниці квадратів.

36х ⁴ −25

(6х ² −5) (6х ² +5)

6 і 5 не є квадратними числами, тому це не може бути враховано далі.

Приклад 4

Знайти всі розв'язки дійсних чисел 8x ^5+26x ³ −24x=0.

Рішення

Витягніть 2x з кожного терміну.

8х ⁵ +26х ³ −24х=0

2х (4х ⁴ +13х−12) = 0

2х (4х ⁴ +16 х ² −3х ² −12) = 0

2х [4х ² (х ² +4) −3 (х ² +4)] =0

2х (х ² +4) (4х ² −3) = 0

Встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю.

4х ² −3=0

2х=0

х ² +4=0

і х ² =\(\ 3 \over 4\)

х=0

x ² =−4

x = ±\(\ \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Зверніть увагу, другий фактор дасть уявні рішення.

Рецензія

Фактор наступної квадратики повністю.

х ⁴ −6х ² +8
х ⁴ −4х ² −45
х ⁴ −18х ² +45
4х ⁴ −11х ² −3
6х ⁴ +19х ² +8
х ⁴ −81
16х ⁴ −1
6х ⁵ +26х ³ −20х
4х ⁶ −36х ²
625−81х ⁴

Знайдіть усі розв'язки з дійсними числами для поліномів нижче.

2х ⁴ −5х ² −12 = 0
х ⁴ −16=0
16х ⁴ −49=0
12х ⁶ +69х ⁴ +45х ² = 0
3х ⁴ +17х ² −6=0

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.8.

Лексика

Термін	Визначення
Фактор, який потрібно вирішити	«Коефіцієнт розв'язання» - це поширений метод розв'язання квадратичних рівнянь, що досягається шляхом факторингу триноміала на два біноміали та ідентифікації значень x, які роблять кожен біноміал рівним нулю.
факторна форма	Факторною формою квадратичної функції f (x) є f (x) =a (x−r ₁) (x−r ₂), де r ₁ та r ₂ є корінням функції.
Факторинг	Факторинг - це процес поділу числа або виразу на добуток менших чисел або виразів.
Квадратична форма	Многочлен у квадратичній формі виглядає як триноміальний або біноміальний і може бути врахований як квадратичний вираз.
квадратична функція	Квадратична функція - це функція, яку можна записати у вигляді f (x) =ax ² +bx+c, де a, b і c - дійсні константи і a0.
Коріння	Коріння функції - це значення x, які роблять y рівним нулю.
стандартна форма	Стандартна форма квадратичної функції - f (x) = ax ² +bx+c.
Вершинна форма	Вершинною формою квадратичної функції є y=a (x−h) ^2+k, де (h, k) — вершина параболи.
Нулі многочлена	Нулі многочлена f (x) - це значення x, які змушують f (x) дорівнювати нулю.