Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.4.3: Графічні функції кореня куба

  • Page ID
    55286
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Графічні функції кубового кореня

    Місіс Гарсія призначає своєму учневі функцію кореня куба\(\ y=-\sqrt[3]{(x+1)}\) для графіка для домашнього завдання. Наступного дня вона запитує своїх учнів, в якому квадранті (ах) знаходиться їхній графік.

    Алендро каже, що через негативного знака всі значення y негативні. Тому його графік знаходиться тільки в третьому і четвертому квадрантах квадранта.

    Дако каже, що його графік також знаходиться в третьому та четвертому квадрантах, але він також знаходиться у другому квадранті.

    Маріша каже, що вони обидва помиляються, і що її графік функції знаходиться у всіх чотирьох квадрантах.

    Який з них правильний?


    Графічні функції кубового кореня

    Функція кубового кореня відрізняється від функції квадратного кореня. Їх загальні форми виглядають дуже схожими,\(\ y=a \sqrt[3]{x-h}+k\) а батьківський граф є\(\ y=\sqrt[3]{x}\). Однак ми можемо взяти кубічний корінь від'ємного числа, отже, він буде визначено для всіх значень x. графікуючи батьківський граф, ми маємо:

    F-д_Б81Д4372Ф686 ЕДЕА 0FF8 Деф 0А10АААААА8Ф4ФБ91597Е8Ф98А2078177ЕФ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 1]
    х у
    -27 -3
    -8 -2
    -1 -1
    0 0
    1 1
    8 2
    27 3

    Для\(\ y=\sqrt[3]{x}\), вихід такий же, як і вхід\(\ y=x^{3}\). Домен і діапазон\(\ y=\sqrt[3]{x}\) є дійсними числами. Зверніть увагу, що немає «початкової точки», як функції квадратного кореня, то (h, k) тепер відноситься до точки, де функція згинається, називається точкою перегину.

    Опишемо, як отримати графік\(\ y=\sqrt[3]{x}+5\) від\(\ y=\sqrt[3]{x}\).

    F-д_БФ 6Е740ЕБ284ЕБ0Д8КА767Е6Б3Б478 АЦ5А1Е36ЕД 94455FC936B+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 2]

    Ми знаємо, що +5 вказує на вертикальний зсув на 5 одиниць вгору. Тому цей графік буде виглядати точно так само, як і батьківський графік, зміщений вгору на п'ять одиниць.

    Тепер давайте графуємо\(\ f(x)=-\sqrt[3]{x+2}-3\) і знайдемо домен і діапазон.

    F-д_9725 дБ9С41С24С31С894СА27Ф 1А015945Д215С41А82Д7ФЭ644Е8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 3]

    З попередньої проблеми ми знаємо, що з батьківського графіка ця функція збирається зрушити вліво дві одиниці і вниз три одиниці. Негативний знак призведе до роздумів.

    Альтернативний метод: Якщо ви хочете використовувати таблицю, це також буде працювати. Ось таблиця, потім намалюйте точки. (h, k) завжди повинна бути середньою точкою у вашій таблиці.

    х у
    6 -5
    -1 -4
    -2 -3
    -3 -2
    -10 -1

    Нарешті, давайте графуємо\(\ f(x)=\frac{1}{2} \sqrt[3]{x-4}\).

    -4 говорить нам, що з батьківського графіка функція буде зміщуватися вправо чотири одиниці. \(\ 1 \over 2\)Наслідки того, як швидко функція буде «рости». Оскільки він менше одиниці, він буде рости повільніше, ніж батьківський графік.

    F-д_2Е6С5Б1СД2Е551ДДЕ 55Д9Ф9227Д6ЕФ ЕФС2ЕД 07E58A039A83D643D4125+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Використання графічного калькулятора: Якщо ви хочете графікувати цю функцію за допомогою TI-83 або 84, натисніть Y = і зніміть будь-які функції. Потім натисніть (1÷2), MATH і прокрутіть вниз до 4:\ sqrt [3] {} і натисніть ENTER. Потім введіть решту функції, так що\(\ Y=\left(\frac{1}{2}\right) \sqrt[3]{(X-4)}\). Натисніть GRAPH і налаштуйте вікно.

    Важливе зауваження: домен і діапазон усіх кубічних кореневих функцій є дійсними числами.


    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вас попросили визначити, який студент був правильним.

    Якщо ви графуєте функцію\(\ y=-\sqrt[3]{(x+1)}\), ви побачите, що домен - це всі дійсні числа, що робить можливими всі квадранти. Однак для всіх позитивних значень x y є негативним через негативний знак перед кубовим коренем. Це виключає перший квадрант. Тому Дако правильна.

    Приклад 2

    Оцініть\(\ y=\sqrt[3]{x+4}-11\), коли\(\ x=−12\).

    Рішення

    Підключіть\(\ x=−12\) і вирішіть для\(\ y\).

    \(\ y=\sqrt[3]{-12+4}-11=\sqrt[3]{-8}+4=-2+4=2\)

    Приклад 3

    Опишіть, як отримати графік\(\ y=\sqrt[3]{x+4}-11\) від\(\ y=\sqrt[3]{x}\).

    Рішення

    Починаючи з того\(\ y=\sqrt[3]{x}\), що ви отримаєте,\(\ y=\sqrt[3]{x+4}-11\) змістивши функцію вліво чотири одиниці і вниз 11 одиниць.

    Графік наступні кубові функції кореня. Перевірте свої графіки на графічному калькуляторі.

    Приклад 4

    \(\ y=\sqrt[3]{x-2}-4\)

    Рішення

    Ця функція являє собою горизонтальний зсув вправо на дві одиниці і вниз на чотири одиниці.

    Ф-д_75А965Ф9Д2ЕФ235Е5Ф70ФА0Ф05116Е2С2ЕФ99389С3А21ФА5Б7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 4]
    Приклад 5

    \(\ f(x)=-3 \sqrt{x}-1\)

    Рішення

    Ця функція є відображенням\(\ y=\sqrt[3]{x}\) і розтягується, щоб бути в три рази більше. В останню чергу вона зрушується вниз на одну одиницю.

    F-д_Ф451d888A667212910 ДД03ЕДДДСЕ7С4ДДДД 3ФА1 Дед 900Е64А198D80FC7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 5]

    Рецензія

    Оцініть\(\ f(x)=\sqrt[3]{2 x-1}\) для наступних значень\(\ x\).

    1. ф (14)
    2. f (−62)
    3. ф (20)

    Графік наступні кубові функції кореня. Використовуйте калькулятор, щоб перевірити свої відповіді.

    1. \(\ y=\sqrt[3]{x}+4\)
    2. \(\ y=\sqrt[3]{x-3}\)
    3. \(\ f(x)=\sqrt[3]{x+2}-1\)
    4. \(\ g(x)=-\sqrt[3]{x}-6\)
    5. \(\ f(x)=2 \sqrt[3]{x+1}\)
    6. \(\ h(x)=-3 \sqrt[3]{x}+5\)
    7. \(\ y=\frac{1}{2} \sqrt[3]{1-x}\)
    8. \(\ y=2 \sqrt[3]{x+4}-3\)
    9. \(\ y=-\frac{1}{3} \sqrt[3]{x-5}+2\)
    10. \(\ g(x)=\sqrt[3]{6-x}+7\)
    11. \(\ f(x)=-5 \sqrt[3]{x-1}+3\)
    12. \(\ y=4 \sqrt[3]{7-x}-8\)

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.5.


    Лексика

    Термін Визначення
    Загальне рівняння для функції кубічного кореня Загальне рівняння для функції кореня в кубі дорівнює\(\ f(x)=a \sqrt[3]{x-h}+k\), де h - горизонтальний зсув, а k - вертикальний зсув.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
      Кредит: Шон MacEntee
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/smemon/17323618152/in/photolist-soQ58A-5rouLK-67pQ1V-a54ocN-51ysYT-pP1VGr-6gshc-d8RVdu-nBXVi8-Nv9px-qtm3yn-dUUJmL-6ojCxV-DejJUS-51yqZg-51yqk4-5NrFcF-51CE4o-51CD2w-51CEao-51yqf8-fdo2Jf-51ypZi-51CDos-F9SKny-51CEmJ-jnS68-51ysyc-4t1z5J-51yqat-51CCQU-d9VTUC-51ypzB-2hVbrU-29Gjnh-4Q2TH4-ayV TXQ-6 ОО ПКК-51СА9-АГФ Дн7-51 Іфі-51СГД-51 СГД-51 CFMG-51 Ісук-АНЖЗ-1-51YРТА-51ЮА 8-51 КФПЙ-51СРЗ-51 СРЗ-51 КФГ 1
    2. [Малюнок 2]
      Кредит: Шон MacEntee
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/smemon/17323618152/in/photolist-soQ58A-5rouLK-67pQ1V-a54ocN-51ysYT-pP1VGr-6gshc-d8RVdu-nBXVi8-Nv9px-qtm3yn-dUUJmL-6ojCxV-DejJUS-51yqZg-51yqk4-5NrFcF-51CE4o-51CD2w-51CEao-51yqf8-fdo2Jf-51ypZi-51CDos-F9SKny-51CEmJ-jnS68-51ysyc-4t1z5J-51yqat-51CCQU-d9VTUC-51ypzB-2hVbrU-29Gjnh-4Q2TH4-ayV TXQ-6 ОО ПКК-51СА9-АГФ Дн7-51 Іфі-51СГД-51 СГД-51 CFMG-51 Ісук-АНЖЗ-1-51YРТА-51ЮА 8-51 КФПЙ-51СРЗ-51 СРЗ-51 КФГ 1
    3. [Малюнок 3]
      Кредит: Шон MacEntee
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/smemon/17323618152/in/photolist-soQ58A-5rouLK-67pQ1V-a54ocN-51ysYT-pP1VGr-6gshc-d8RVdu-nBXVi8-Nv9px-qtm3yn-dUUJmL-6ojCxV-DejJUS-51yqZg-51yqk4-5NrFcF-51CE4o-51CD2w-51CEao-51yqf8-fdo2Jf-51ypZi-51CDos-F9SKny-51CEmJ-jnS68-51ysyc-4t1z5J-51yqat-51CCQU-d9VTUC-51ypzB-2hVbrU-29Gjnh-4Q2TH4-ayV TXQ-6 ОО ПКК-51СА9-АГФ Дн7-51 Іфі-51СГД-51 СГД-51 CFMG-51 Ісук-АНЖЗ-1-51YРТА-51ЮА 8-51 КФПЙ-51СРЗ-51 СРЗ-51 КФГ 1
    4. [Рисунок 4]
      Кредит: Шон MacEntee
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/smemon/17323618152/in/photolist-soQ58A-5rouLK-67pQ1V-a54ocN-51ysYT-pP1VGr-6gshc-d8RVdu-nBXVi8-Nv9px-qtm3yn-dUUJmL-6ojCxV-DejJUS-51yqZg-51yqk4-5NrFcF-51CE4o-51CD2w-51CEao-51yqf8-fdo2Jf-51ypZi-51CDos-F9SKny-51CEmJ-jnS68-51ysyc-4t1z5J-51yqat-51CCQU-d9VTUC-51ypzB-2hVbrU-29Gjnh-4Q2TH4-ayV TXQ-6 ОО ПКК-51СА9-АГФ Дн7-51 Іфі-51СГД-51 СГД-51 CFMG-51 Ісук-АНЖЗ-1-51YРТА-51ЮА 8-51 КФПЙ-51СРЗ-51 СРЗ-51 КФГ 1
    5. [Малюнок 5]
      Кредит: Шон MacEntee
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/smemon/17323618152/in/photolist-soQ58A-5rouLK-67pQ1V-a54ocN-51ysYT-pP1VGr-6gshc-d8RVdu-nBXVi8-Nv9px-qtm3yn-dUUJmL-6ojCxV-DejJUS-51yqZg-51yqk4-5NrFcF-51CE4o-51CD2w-51CEao-51yqf8-fdo2Jf-51ypZi-51CDos-F9SKny-51CEmJ-jnS68-51ysyc-4t1z5J-51yqat-51CCQU-d9VTUC-51ypzB-2hVbrU-29Gjnh-4Q2TH4-ayV TXQ-6 ОО ПКК-51СА9-АГФ Дн7-51 Іфі-51СГД-51 СГД-51 CFMG-51 Ісук-АНЖЗ-1-51YРТА-51ЮА 8-51 КФПЙ-51СРЗ-51 СРЗ-51 КФГ 1