1.4.2: Сімейства функцій квадрата та куба
- Page ID
- 55269
Сімейства функцій квадрата та куба
Часто найскладнішою частиною завершення математичної задачі є тільки початок роботи. Після того, як ви відчуєте, як повинна бути вирішена конкретна проблема, хрускіт цифр, як правило, не дуже важко.
Розуміння сімейств функцій може бути великою допомогою в цьому, оскільки воно дає вам уявлення про те, як має виглядати більш складна функція, як тільки вона була позначена, просто шляхом визначення батьківської або найбільш спрощеної версії функції.
Чи знаєте ви батьківські функції для сімей Square, Cube, квадратний корінь та взаємні функції?
Сімейства функцій квадрата та куба
Сімейство функцій: Квадратні функції
Квадратна функція - це рівняння 2-го ступеня, тобто вона має x 2.
Графік кожної квадратної функції є параболою. Парабола має вершину і вісь симетрії. На графіку нижче показані ці аспекти графіка y = x 2 - 3.

Сімейство функцій: Кубічні функції
Функція куба - це рівняння третього ступеня: x 3 і яке не містить негативних або дробових показників. В цілому графіки функцій куба мають певну форму, проілюстровану графіком, показаним тут:

Кубічні функції мають схожу форму. Однак лише деякі кубічні функції матимуть відносний максимум і мінімум. Наприклад, графік y = (x - 2) 3 - 5 x, показаний вище, має відносний максимум навколо х = 0,7, а відносний мінімум навколо х = 3,3. Форма кубічного графіка означає, що ми можемо передбачити поведінку кінця: один кінець наближається до ∞, а інший наблизиться до −∞.
Тут важливо зазначити, що кубічна функція зростає швидше, ніж пов'язана квадратична функція. Наприклад, y = x 3 зростає швидше, ніж у = х 2.
Сімейство функцій: Функції квадратного кореня
Розглянемо батька сім'ї,\(\ y=\sqrt{x}\). Домен функції обмежений дійсними числами ≥ 0, оскільки квадратний корінь від'ємного числа не є дійсним числом. Аналогічно діапазон функції обмежений дійсними числами ≥ 0. Це може здатися заплутаним, якщо ви думаєте про квадрати, що мають два корені. Наприклад, 9 має два кореня: 3, і -3. Однак для\(\ y=\sqrt{x}\), ми повинні визначити значення функції як основний корінь, що означає позитивний корінь.
Функція\(\ y=\sqrt{x}\) показана нижче:

Такі ж обмеження домену та діапазону будуть існувати для будь-якої функції квадратного кореня.
Сімейство функцій: взаємні функції
Функція\(\ y=\frac{1}{x}\) має досить дивовижний графік. По-перше, домен не може включати 0, оскільки дріб\(\ \frac{1}{0}\) не визначено. Діапазон також не включає 0, оскільки дріб може бути нулем тільки в тому випадку, якщо чисельник дорівнює нулю, а чисельник завжди\(\ y=\frac{1}{x}\) дорівнює 1.
Для того щоб зрозуміти, що означають ці обмеження для графіка, розглянемо значення функцій поблизу x = 0 і y = 0. Спочатку розглянемо дуже малі значення x. Наприклад, розглянемо х = 0,001. Це дає врожайність\(\ y=\frac{1}{x}=\frac{1}{0.001}=1000\).
Коли ми наближаємося до x = 0, значення функції наближаються до ∞. З іншого боку осі x значення функції наближаються до −∞. Ми бачимо таку поведінку на графіку як вертикальну асимптоту: графік асимптотичний до осі y.
Ми також бачимо на графіку, що коли x наближається до +∞ або −∞, значення функції наближаються до 0. Виключення y = 0 з діапазону означає, що функція асимптотична до осі x.

Приклади
Рішення
Раніше вам давали питання про виявлення батьківських функцій різних сімейств функцій.
Чи можете ви визначити батьківські функції квадрата, куба, квадратного кореня та взаємних функцій зараз?
Квадрат:\(\ y=x^{2}\)
Куб:\(\ y=x^{3}\)
Квадратний корінь:\(\ y=\sqrt{x}\)
Взаємний:\(\ y=1 / x\)
Вивчення сімейств функцій є одним з найшвидших способів графувати складні рівняння. Використовуючи батьківські функції та перетворення (які детально описані в іншому наборі уроків), ви можете досить легко графікувати дуже складні рівняння.
Опишіть кінцеву поведінку кожної функції та визначте батьківську функцію для кожної з них.
- \(\ y=x^{2}-1\)
- \(\ y=-x^{2}+1\)
Рішення
- Батьком цієї функції є\(\ y=x^{2}\).
Графік цієї функції - парабола, яка відкривається. Тому\(\ \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(x^{2}-1\right)=\infty\).
- Батьківською функцією є\(\ y=x^{2}\)
Графік цієї функції - парабола, яка відкривається вниз. Тому\(\ \lim _{-x \rightarrow \pm \infty}\left(x^{2}-1\right)=-\infty\).
Всі квадратні функції мають або глобальний максимум, або мінімум. Розташування максимуму або мінімуму завжди є вершиною параболи. Квадратні функції також поділяють поведінку з точки зору їх середньої швидкості зміни. Розглянемо для прикладу функції\(\ f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}-3\) і\(\ g(x)=2x^{2}-3\). У таблиці нижче показана середня швидкість зміни (ARC) кожної функції на декількох інтервалах.
Примітка: ARC функції на інтервалі (a, b) дорівнює\(\ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).
Інтервал ДУГА f (x) ДУГА g (x) ДУГА h (x) (-1, 0) (0, 1) 1 1 2 (1, 2) 3 3 6 (2, 3) 5 5 10 Зверніть увагу, що середня швидкість зміни f (x) і g (x) однакова на кожному інтервалі, а середня швидкість зміни h (x) вдвічі перевищує дві інші функції. Ви також можете помітити, що середня швидкість зміни слідує лінійній схемі: на кожному інтервалі швидкість збільшується з постійною швидкістю 2. Хоча лінійні функції мають постійну швидкість зміни, квадратичні функції мають середню швидкість зміни, яка слідує за лінійною схемою.
Графік функції\(\ y=\sqrt{3-x}+1\), ідентифікуйте батьківську функцію та вкажіть область та діапазон функції.
Рішення
Батьківською функцією є\(\ y=\sqrt{x}\)

З графіка видно, що функція не приймає жодних значень x вище 3. (Чому б і ні?) Тому домен обмежений дійсними числами ≤ 3. Найнижчим значенням функції є 1, тому діапазон обмежений усіма дійсними числами ≥ 1.
Важливо зауважити, що хоча графік функції квадратного кореня може виглядати так, ніби він має горизонтальну асимптоту, це не так. Значення функції будуть рости без обмежень (хоча відносно повільно!).
Графік функції\(\ f(x)=\frac{2}{x-3}\), визначити батьківську функцію та визначити горизонтальні та вертикальні асимптоти.
Рішення
Батьківською функцією є\(\ y=1 / x\)

Визначте батьківську функцію в межах наступного набору функцій. Графік набору функцій за допомогою графічного калькулятора. Визначте схожість і відмінності набору.
f (x) = х 2 −10 | f (x) = х 2 −1 | ф (х) = х 2 |
---|---|---|
f (x) = х 2 +3 | ф (х) = х 2 +9 |
Рішення

- Батьківська функція: Батьківська функція цієї групи квадратичних функцій є найосновнішою функцією у множині:\(\ f(x)=x^{2}\)
- Подібність: ширина, форма, поведінка кінця та ступінь
- Відмінності: x і y перехоплює
Визначте батьківську функцію в межах наступного набору функцій. Графік набору функцій за допомогою графічного калькулятора. Визначте схожість і відмінності набору.
ф (х) = (х+9) 3 | f (х) = (х+2) 3 | ф (х) = х 3 |
---|---|---|
f (х) = (х−4) 3 | f (х) = (х−8) 3 |
Рішення

- Батьківська функція: Батьківська функція цієї групи квартичних функцій є найосновнішою функцією у множині:\(\ y=x^{3}\)
- Подібність: поведінка кінця, область і діапазон, напрямок і ширина
- Відмінності: x і y перехоплює, збільшуючи і зменшуючи інтервали
Рецензія
- Поясніть, що таке квадратна функція:
- Що таке функція куба?
- Охарактеризуйте швидкість зростання кубічної функції, пов'язаної із зростанням квадратної функції
- Для функцій квадратного кореня ми повинні визначити значення функції як позитивний корінь, також відомий як що?
- Чому реципрокні функції асимптотичні до осі х?
Визначте батьківську функцію в межах кожного набору функцій у квадраті. Графік кожного набору функцій за допомогою графічного калькулятора. Визначте подібності та відмінності кожного набору.
Набір 1:
f (x) = х 2 −10 | f (x) = х 2 −1 | ф (х) = х 2 |
---|---|---|
f (x) = х 2 +3 | ф (х) = х 2 +9 |
- Набір 1:
- Батьківська функція:
- Подібність:
- Відмінності:
Набір 2:
ф (х) = (х+10) 2 ф (х) = (х+4) 2 ф (х) = х 2 f (х) = (х−2) 2 f (х) = (х−5) 2
- Набір 2:
- Батьківська функція:
- Подібність:
- Відмінності:
Набір 3:
f (x) =−х 2 ф (х) = х 2
- Набір 3:
- Батьківська функція:
- Подібність:
- Відмінності:
Використовуйте наведену вище інформацію та форму вершини квадратного рівняння:\(\ f(x)=a(x-h)^{2}+k\) щоб допомогти вам відповісти на наступні питання:
- Як значення впливає на графік?
- Як значення h впливає на графік?
- Як значення k впливає на графік?
- Чим схожі/відрізняються значення домену?
- Як схожі/різні значення діапазону?
- Чи впливає значення a, h та/або k на домен?
- Чи впливає значення a, h та/або k на діапазон?
Кубічні функції:
Обведіть батьківську функцію всередині кожного набору кубічних функцій. Графік кожного набору функцій за допомогою графічного калькулятора. Визначте подібності та відмінності кожного набору.
Набір 4:
f (x) = х 3 −5 | f (x) = х 3 −3 | ф (х) = х 3 |
---|---|---|
ф (х) = х 3 +1 | ф (х) = х 3 +6 |
- Набір 4:
- Батьківська функція:
- Подібність:
- Відмінності:
Набір 5:
f (x) =−х 3 ф (х) = х 3 - Набір 5:
- Батьківська функція:
- Подібність:
- Відмінності:
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.11.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
∞ | Символ «∞» означає «нескінченність», і є абстрактним поняттям, що описує значення, більше будь-якого зліченного числа. |
вісь симетрії | Вісь симетрії параболи - це вертикальна лінія, яка проходить через вершину параболи. Парабола симетрична щодо цієї лінії. |
Куб | Куб числа - це число, помножене на себе три рази. Наприклад, «двокубічний» = 2 3 = 2×2×2=8. |
Кубічна функція | Кубічна функція - це функція, яка містить член x 3 як найвищу потужність x. |
Функціональні сімейства | Сімейства функцій - це групи функцій з подібністю, які полегшують їх графік, коли ви знайомі з батьківською функцією, найпростішим прикладом форми. |
Функція сімейства | Сімейства функцій - це групи функцій з подібністю, які полегшують їх графік, коли ви знайомі з батьківською функцією, найпростішим прикладом форми. |
Парабола | Парабола - це характерна форма квадратичного графіка функції, що нагадує «U». |
батьківська функція | Батьківська функція - найпростіша форма певного типу функції. Всі інші функції цього типу зазвичай порівнюються з батьківською функцією. |
основний корінь | Основний корінь - це позитивний корінь числа. |
Взаємна функція | Зворотна функція - це функція з батьківською функцією\(\ y=\frac{1}{x}\). |
квадрат | Квадрат числа - це число, помножене на себе. |
квадратна функція | Квадратна функція - це квадратична функція. Його батьківською функцією є y = x 2, а його графік - парабола. |
функція квадратного кореня | Функція квадратного кореня - це функція з батьківською функцією\(\ y=\sqrt{x}\). |
Трансформації | Перетворення використовуються для зміни графіка батьківської функції в граф більш складної функції. |
Вершина | Вершина параболи - найвища або найнижча точка на графіку параболи. Вершина - це максимальна точка параболи, яка відкривається вниз, і мінімальна точка параболи, яка відкривається вгору. |
Атрибуції зображень
- [Малюнок 1]
Кредит: CK-12 Фонд
Джерело: Desmos графічний калькулятор - [Малюнок 2]
Кредит: CK-12 Фонд
Джерело: Desmos графічний калькулятор - [Малюнок 3]
Кредит: CK-12 Фонд
Джерело: Desmos графічний калькулятор