1.4.1: Сімейства функцій лінійних та абсолютних значень
- Page ID
- 55270
Сімейства функцій лінійних та абсолютних значень
У вівторок математичний клас містера Варнера подав у кімнату і поглянув на повідомлення на дошці: «Перший студент, який склав разом всі цифри між 1 і 100, виграє чотири безкоштовні квитки в театр наступної п'ятниці!» Всі схопили олівець і почали додавати: 1 + 2 + 3 + 4 + 5... Ніхто не був далі, ніж близько 20, коли Брайан увійшов, пізно, як завжди, подивився на білу дошку близько 15 секунд і написав: «5050" на дні. Здивований пан Варнер вручив Брайану квитки і сказав йому зайняти своє місце.
Як він так швидко придумав відповідь?
Сімейства функцій лінійних та абсолютних значень
У цій Концепції ми розглянемо кілька сімейств функцій. Сімейство функцій - це сукупність функцій, рівняння яких мають схожу форму. Батько сім'ї - рівняння в сім'ї з найпростішою формою. Наприклад, y = x 2 є батьком інших функцій, таких як y = 2x 2 - 5x + 3.
Сімейство лінійних функцій
Рівняння є членом сімейства лінійних функцій, якщо воно не містить степенів\(\ x\) більших
1. Наприклад,\(\ y=2x\) і\(\ y=2\) є лінійними рівняннями, тоді як\(\ y=x^{2}\) і\(\ y=\frac{1}{x}\) є нелінійними.
Лінійні рівняння називаються лінійними, оскільки їх графіки утворюють прямі лінії. Як ви пам'ятаєте з ваших попередніх досліджень алгебри, ми можемо описати будь-яку лінію за середньою швидкістю зміни, або нахилом, і її y -перехопленням. (Насправді, це постійний нахил лінії, який робить її лінією!) Ці аспекти прямої найлегше визначити, якщо рівняння прямої записано у формі перехоплення нахилу, або y = mx+ b. Нахил прямої дорівнює коефіцієнту m, а y -перехоплення прямої - точці (0, б).
Зверніть увагу, що лінія може бути членом сімейства, наприклад сімейства «лінійних функцій», а також членом підсімейства лінійних функцій з однаковим нахилом. Графіки цього підсімейства будуть являти собою набір паралельних ліній. Однією особливою підсімейством лінійних функцій є постійна функція підродини. Рядок x = 5 є постійною функцією, оскільки значення функції є постійними, або незмінними. Постійна функція «підсімейство» лінійних функцій складається з функцій, графіки яких є горизонтальними лініями.
Сімейство функцій абсолютного значення
Розглянемо спочатку батька сім'ї: у = | х |. Оскільки абсолютне значення числа - це відстань цього числа від нуля, всі значення функції функції абсолютного значення будуть невід'ємними. Якщо х = 0, то у = |0| = 0. Якщо x позитивний, то значення функції дорівнює x Наприклад, графік містить точки (1, 1), (2, 2), (3, 3) тощо Однак, коли x від'ємний, значення функції буде протилежним числу. Наприклад, графік містить точки (-1, 1), (-2, 2), (-3, 3) тощо Як видно на графіку нижче, функція абсолютного значення утворює форму «V».

Є дві важливі речі, щоб відзначити про графік такого роду функції. По-перше, графік абсолютних значень має вершину (найвищу або найнижчу точку) та лінію симетрії (лінію, яка розділяє функцію на рівні та протилежні «половини»). Наприклад, граф y = | x | має свою вершину в (0, 0) і вона симетрична по осі y. По-друге, зверніть увагу, що графік не вигнутий, а складається з двох прямих частин. Кожен графік абсолютних значень прийматиме таку форму, доки вираз всередині абсолютного значення є лінійним.
Кусково визначені функції
Розглянемо знову функцію y = | x |. Для позитивних значень x графік нагадує функцію ідентичності y = x. Для від'ємних значень x графік нагадує функцію y = - x. Ми можемо виразити цей зв'язок, визначивши функцію абсолютного значення у двох частинок:
\ (\ f (x) =\ лівий\ {\ begin {масив} {л}
-х, x<0\\
x, x\ geq 0
\ end {масив}\ вправо.\)
Ми можемо прочитати це позначення як: значення функції рівні - x, якщо x негативний. Значення функції дорівнюють x, якщо x дорівнює 0 або додатному.
Кусково визначена функція не повинна представляти функцію, яку вже можна записати як єдине рівняння, наприклад функцію абсолютного значення. Наприклад, одна «частина» може бути з однієї сімейства функцій, тоді як інша частина - з іншого сімейства функцій.
Приклади
Рішення
Раніше вам дали задачу про роздачу містера Варнера.
Він написав наступне повідомлення на дошці: «Перший студент, який склав разом всі цифри між 1 і 100 виграє чотири безкоштовні квитки в театр наступної п'ятниці!» Всі схопили олівець і почали додавати: 1 + 2 + 3 + 4 + 5... Ніхто не був далі, ніж близько 20, коли Брайан увійшов, подивився на білу дошку близько 15 секунд і написав: «5050" на дні. Містер Варнер передав Брайану квитки і сказав йому зайняти своє місце. Як він так швидко придумав відповідь?
Брайан визнав, що йому не потрібно складати кожне з чисел окремо, тільки пари: 100 + 0 = 100, так і 99 + 1, і 98 + 2 і так далі. Так як існує 50 пар по 100, що додає до 5000. Єдине число без пари - 50, тому воно додається до загальної суми: 5050.
Сімейства функцій представляють такий самий вид економії часу. Розпізнаючи загальні біти інформації та поєднуючи їх по-різному, ми можемо «автоматизувати» деякі дуже складні, здається, процеси.
Визначте нахил і y -перехоплення кожної лінії.
- \(\ y=\frac{2}{3} x-1\)
- \(\ y=5\)
- \(\ x=−2\)
- \(\ y=\frac{2}{3} x+3\)
Рішення
- Ця лінія має нахил (2/3), а y -перехоплення є точкою (0, -1).
- Це горизонтальна лінія. Ухил дорівнює 0, а y -перехоплення дорівнює (0,5).
- Це вертикальна лінія. Нахил не визначено, а лінія не перетинає вісь y. (Зверніть увагу, що цей рядок не є функцією!)
- Нахил цієї лінії дорівнює 2/3, а y -перехоплення - точка (0, 3).
Графік наступний:\(\ y=|2 x-1| \text { and } y=\left|2 x^{2}-1\right|\).
Рішення
Графік\(\ y=|2 x-1|\) робить форму «V», дуже схожу\(\ y=|x|\).
Функція всередині абсолютного значення\(\ 2x+1\), є лінійною, тому графік складається з прямих ліній.
Графік\(\ y=\left|2 x^{2}-1\right|\) вигнутий, і він має не одну вершину, а дві «стулки».
Функція всередині абсолютного значення НЕ лінійна, тому графік містить криві.

Намалюйте графік функції
\ (\ f (x) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
x^ {2}, x<2\
x+3, x\ geq 2
\ end {масив}\ справа.\)
Рішення

Знайдіть x-перехоплення функції\(\ f(x)=8|x-7|-64\).
Рішення
Щоб знайти x -перехоплення, встановіть f (x) рівний 0, і вирішіть для x:
0=8|х−7|−64
64=8|х−7|
8=|х−7|
8= (x−7) або 8=− (x−7)
15=x або −1=x
∴ x -перехоплення становлять 15 і -1
Що таке графік y=|x|? Як цей графік пов'язаний з графом y=a|x−h|+k? Що відбувається з графом y=|x|, коли рівняння змінюється на y=|x|−5?
Рішення
Графік y=|x| наведено нижче. Ви можете скористатися графічним інструментом або намалювати точки, зазначивши, що кожен позитивний x має відповідність y, а кожен негативний x збігається з його позитивним еквівалентом як y. y=|x| є найпростішим прикладом граф у сімействі функцій абсолютних значень, батьківським компонентом якого є y=a|x−h|+k. Зміни a, h та k змінюють графік y=|x| різними способами.

Графік y=|x|−5 наведено нижче. Зрозуміло, що -5 після абсолютного значення змушує графік зсуватися вниз на 5 місць.

Рецензія
З питань 1-5 визначте сім'ю, до якої належить кожна функція.
- y=|х−7|
- y=3x−4
- f (x) =|х 2 |
- |x|−2=y
- \(\ f(x)=x+\frac{3 x}{2}\)
- Графік наступної кускової функції вручну:\ (\ f (x) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
x, x\ geq 0\\
-x, x<0
\ end {масив}\ справа.\) - На графічному калькуляторі наведіть графік функції f (x) =|x|−2 і дайте відповідь на наступні питання: а Яка форма графіка? b. порівняйте графік з графіком у наведеній вище задачі. У чому різниця між двома графіками? c Який нахил двох ліній, що створюють графік?
Для кожного наступного рівняння визначте координати вершини графа, фактично не графуючи.
- ф (х) =|6х|
- f (x) =|х−6|+8
- f (x) =|х+7|−8
- ф (х) =|х+5|
- Графік p (x) =|x| наведено нижче. Якщо t (x) =−|x|−3, чим буде відрізнятися графік t (x) від графа p (x)?
- Графік рівняння абсолютного значення, створіть власну таблицю для обґрунтування значень: f (x) =|x−3|
- Графік рівняння абсолютного значення, створіть власну таблицю для обґрунтування значень: g (x) =|x+3|
Визначте батьківську функцію для кожного набору лінійних функцій. Графік кожного набору функцій за допомогою графічного калькулятора. Визначте подібності та відмінності кожного набору.
- а. f (x) = х−7, б. f (x) =х−2, с. f (x) =х+1, д. f (x) =х+5, тобто f (x) =х+10
Батьківська функція:
Подібність:
Відмінності:
- \(\ \text{a. } f(x)=\frac{2}{11} x, \text { b. } f(x)=\frac{1}{2} x, \text { c. } f(x)=\frac{2}{3} x\)
Батьківська функція:
Подібність:
Відмінності:
- а. f (x) = х−7, б. f (x) =2х, с. f (x) = 4х, д. f (x) =2x+5, тобто f (x) =6х−10
Батьківська функція:
Подібність:
Відмінності:
Використовуйте стандартну форму лінійного рівняння: f (x) = ax+b та ваші дослідження вище, щоб допомогти вам відповісти на наступні запитання.
- Як значення впливає на графік?
- Як значення b впливає на графік?
- Чим схожі/відрізняються значення домену?
- Як схожі/відрізняються значення діапазону?
- Чи впливає значення a та/або b на домен?
- Чи впливає значення a та/або b на діапазон?
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.10.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
Абсолютна величина | Абсолютне значення числа - це відстань, на якій знаходиться число від нуля. Абсолютні значення ніколи не бувають негативними. |
Функція абсолютного значення | Функція абсолютного значення відображає V-подібну форму і знаходиться у вигляді y=|x|. |
Функціональні сім'ї | Сімейства функцій - це групи функцій з подібністю, які полегшують їх графік, коли ви знайомі з батьківською функцією, найпростішим прикладом форми. |
Функція сімейства | Сімейства функцій - це групи функцій з подібністю, які полегшують їх графік, коли ви знайомі з батьківською функцією, найпростішим прикладом форми. |
лінійне рівняння | Лінійне рівняння - це рівняння між двома змінними, яке створює пряму лінію при графіку. |
Лінійна функція | Лінійна функція - це відношення між двома змінними, що створює пряму лінію при графіку. |
батьківська функція | Батьківська функція - найпростіша форма певного типу функції. Всі інші функції цього типу зазвичай порівнюються з батьківською функцією. |
Кусково визначена функція | Кусково визначена функція - це функція, яка об'єднує дві або більше частин інших функцій для створення нової функції. |