Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.4.1: Сімейства функцій лінійних та абсолютних значень

  • Page ID
    55270
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Сімейства функцій лінійних та абсолютних значень

    У вівторок математичний клас містера Варнера подав у кімнату і поглянув на повідомлення на дошці: «Перший студент, який склав разом всі цифри між 1 і 100, виграє чотири безкоштовні квитки в театр наступної п'ятниці!» Всі схопили олівець і почали додавати: 1 + 2 + 3 + 4 + 5... Ніхто не був далі, ніж близько 20, коли Брайан увійшов, пізно, як завжди, подивився на білу дошку близько 15 секунд і написав: «5050" на дні. Здивований пан Варнер вручив Брайану квитки і сказав йому зайняти своє місце.

    Як він так швидко придумав відповідь?


    Сімейства функцій лінійних та абсолютних значень

    У цій Концепції ми розглянемо кілька сімейств функцій. Сімейство функцій - це сукупність функцій, рівняння яких мають схожу форму. Батько сім'ї - рівняння в сім'ї з найпростішою формою. Наприклад, y = x 2 є батьком інших функцій, таких як y = 2x 2 - 5x + 3.

    Сімейство лінійних функцій

    Рівняння є членом сімейства лінійних функцій, якщо воно не містить степенів\(\ x\) більших

    1. Наприклад,\(\ y=2x\) і\(\ y=2\) є лінійними рівняннями, тоді як\(\ y=x^{2}\) і\(\ y=\frac{1}{x}\) є нелінійними.

    Лінійні рівняння називаються лінійними, оскільки їх графіки утворюють прямі лінії. Як ви пам'ятаєте з ваших попередніх досліджень алгебри, ми можемо описати будь-яку лінію за середньою швидкістю зміни, або нахилом, і її y -перехопленням. (Насправді, це постійний нахил лінії, який робить її лінією!) Ці аспекти прямої найлегше визначити, якщо рівняння прямої записано у формі перехоплення нахилу, або y = mx+ b. Нахил прямої дорівнює коефіцієнту m, а y -перехоплення прямої - точці (0, б).

    Зверніть увагу, що лінія може бути членом сімейства, наприклад сімейства «лінійних функцій», а також членом підсімейства лінійних функцій з однаковим нахилом. Графіки цього підсімейства будуть являти собою набір паралельних ліній. Однією особливою підсімейством лінійних функцій є постійна функція підродини. Рядок x = 5 є постійною функцією, оскільки значення функції є постійними, або незмінними. Постійна функція «підсімейство» лінійних функцій складається з функцій, графіки яких є горизонтальними лініями.

    Сімейство функцій абсолютного значення

    Розглянемо спочатку батька сім'ї: у = | х |. Оскільки абсолютне значення числа - це відстань цього числа від нуля, всі значення функції функції абсолютного значення будуть невід'ємними. Якщо х = 0, то у = |0| = 0. Якщо x позитивний, то значення функції дорівнює x Наприклад, графік містить точки (1, 1), (2, 2), (3, 3) тощо Однак, коли x від'ємний, значення функції буде протилежним числу. Наприклад, графік містить точки (-1, 1), (-2, 2), (-3, 3) тощо Як видно на графіку нижче, функція абсолютного значення утворює форму «V».

    Ф-Д_96А 4С366511Е0Б5 ББББ 4Ф9 де 7Д2Ф879495Е8618363БКБК 1AE41203F95+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Є дві важливі речі, щоб відзначити про графік такого роду функції. По-перше, графік абсолютних значень має вершину (найвищу або найнижчу точку) та лінію симетрії (лінію, яка розділяє функцію на рівні та протилежні «половини»). Наприклад, граф y = | x | має свою вершину в (0, 0) і вона симетрична по осі y. По-друге, зверніть увагу, що графік не вигнутий, а складається з двох прямих частин. Кожен графік абсолютних значень прийматиме таку форму, доки вираз всередині абсолютного значення є лінійним.

    Кусково визначені функції

    Розглянемо знову функцію y = | x |. Для позитивних значень x графік нагадує функцію ідентичності y = x. Для від'ємних значень x графік нагадує функцію y = - x. Ми можемо виразити цей зв'язок, визначивши функцію абсолютного значення у двох частинок:

    \ (\ f (x) =\ лівий\ {\ begin {масив} {л}
    -х, x<0\\
    x, x\ geq 0
    \ end {масив}\ вправо.\)

    Ми можемо прочитати це позначення як: значення функції рівні - x, якщо x негативний. Значення функції дорівнюють x, якщо x дорівнює 0 або додатному.

    Кусково визначена функція не повинна представляти функцію, яку вже можна записати як єдине рівняння, наприклад функцію абсолютного значення. Наприклад, одна «частина» може бути з однієї сімейства функцій, тоді як інша частина - з іншого сімейства функцій.


    Приклади

    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вам дали задачу про роздачу містера Варнера.

    Він написав наступне повідомлення на дошці: «Перший студент, який склав разом всі цифри між 1 і 100 виграє чотири безкоштовні квитки в театр наступної п'ятниці!» Всі схопили олівець і почали додавати: 1 + 2 + 3 + 4 + 5... Ніхто не був далі, ніж близько 20, коли Брайан увійшов, подивився на білу дошку близько 15 секунд і написав: «5050" на дні. Містер Варнер передав Брайану квитки і сказав йому зайняти своє місце. Як він так швидко придумав відповідь?

    Брайан визнав, що йому не потрібно складати кожне з чисел окремо, тільки пари: 100 + 0 = 100, так і 99 + 1, і 98 + 2 і так далі. Так як існує 50 пар по 100, що додає до 5000. Єдине число без пари - 50, тому воно додається до загальної суми: 5050.

    Сімейства функцій представляють такий самий вид економії часу. Розпізнаючи загальні біти інформації та поєднуючи їх по-різному, ми можемо «автоматизувати» деякі дуже складні, здається, процеси.

    Приклад 2

    Визначте нахил і y -перехоплення кожної лінії.

    1. \(\ y=\frac{2}{3} x-1\)
    2. \(\ y=5\)
    3. \(\ x=−2\)
    4. \(\ y=\frac{2}{3} x+3\)

    Рішення

    1. Ця лінія має нахил (2/3), а y -перехоплення є точкою (0, -1).
    2. Це горизонтальна лінія. Ухил дорівнює 0, а y -перехоплення дорівнює (0,5).
    3. Це вертикальна лінія. Нахил не визначено, а лінія не перетинає вісь y. (Зверніть увагу, що цей рядок не є функцією!)
    4. Нахил цієї лінії дорівнює 2/3, а y -перехоплення - точка (0, 3).
    Приклад 3

    Графік наступний:\(\ y=|2 x-1| \text { and } y=\left|2 x^{2}-1\right|\).

    Рішення

    Графік\(\ y=|2 x-1|\) робить форму «V», дуже схожу\(\ y=|x|\).

    Функція всередині абсолютного значення\(\ 2x+1\), є лінійною, тому графік складається з прямих ліній.

    Графік\(\ y=\left|2 x^{2}-1\right|\) вигнутий, і він має не одну вершину, а дві «стулки».

    Функція всередині абсолютного значення НЕ лінійна, тому графік містить криві.

    Ф-Д_С809891 ДБ6БФБ54СА992С80Б570ДФ 5Ф85ФДА82 ЕД 758Е8Б560187Д8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Приклад 4

    Намалюйте графік функції

    \ (\ f (x) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
    x^ {2}, x<2\
    x+3, x\ geq 2
    \ end {масив}\ справа.\)

    Рішення

    Ф-Д_0А4Е522А0С41703 ЕЦ2С2Д 91ФБ72А1Е2Е3А1514ДД9660C8C0Ф25Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Важливо зазначити, що шматки кусково визначеної функції можуть зустрічатися, а можуть і не зустрічатися. Наприклад, на графіку f (x) вище значення функції дорівнює 4 при x = -2, але шматок графіка, який визначається x + 3, направляється до значення y 1. Тому дві штуки не зустрічаються.
    Приклад 5

    Знайдіть x-перехоплення функції\(\ f(x)=8|x-7|-64\).

    Рішення

    Щоб знайти x -перехоплення, встановіть f (x) рівний 0, і вирішіть для x:

    0=8|х−7|−64

    64=8|х−7|

    8=|х−7|

    8= (x−7) або 8=− (x−7)

    15=x або −1=x

    x -перехоплення становлять 15 і -1

    Приклад 6

    Що таке графік y=|x|? Як цей графік пов'язаний з графом y=a|x−h|+k? Що відбувається з графом y=|x|, коли рівняння змінюється на y=|x|−5?

    Рішення

    Графік y=|x| наведено нижче. Ви можете скористатися графічним інструментом або намалювати точки, зазначивши, що кожен позитивний x має відповідність y, а кожен негативний x збігається з його позитивним еквівалентом як y. y=|x| є найпростішим прикладом граф у сімействі функцій абсолютних значень, батьківським компонентом якого є y=a|x−h|+k. Зміни a, h та k змінюють графік y=|x| різними способами.

    Ф-Д_БДБЕ040Д65Ф4Ф0Б510610Д7КД9Д215КФБ106132ДА4582Д0А05282+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png

    Графік y=|x|−5 наведено нижче. Зрозуміло, що -5 після абсолютного значення змушує графік зсуватися вниз на 5 місць.

    F-D_2068B72A1E8E844A8B89 Додано 585198 Б395Б28205274С674 ФД50АФ9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    «рамка =» 0" висота = «450px» ім'я = «97623" src =» https://www.ck12.org/flx/show/video/...ions-Example-2 "стиль = «розмір шрифту: 1.1rem;» URL-адрес мініатюр = "» title = «Video Object? хеш = 970caf6dfce48151c1c1f900b8c2c3ea11" дата завантаження = «2016-06-30 22:20:35" ширина =» 95% «>

    Рецензія

    З питань 1-5 визначте сім'ю, до якої належить кожна функція.

    1. y=|х−7|
    2. y=3x−4
    3. f (x) =|х 2 |
    4. |x|−2=y
    5. \(\ f(x)=x+\frac{3 x}{2}\)
    6. Графік наступної кускової функції вручну:\ (\ f (x) =\ left\ {\ begin {масив} {l}
      x, x\ geq 0\\
      -x, x<0
      \ end {масив}\ справа.\)
    7. На графічному калькуляторі наведіть графік функції f (x) =|x|−2 і дайте відповідь на наступні питання: а Яка форма графіка? b. порівняйте графік з графіком у наведеній вище задачі. У чому різниця між двома графіками? c Який нахил двох ліній, що створюють графік?

    Для кожного наступного рівняння визначте координати вершини графа, фактично не графуючи.

    1. ф (х) =|6х|
    2. f (x) =|х−6|+8
    3. f (x) =|х+7|−8
    4. ф (х) =|х+5|
    5. Графік p (x) =|x| наведено нижче. Якщо t (x) =−|x|−3, чим буде відрізнятися графік t (x) від графа p (x)?
    6. Графік рівняння абсолютного значення, створіть власну таблицю для обґрунтування значень: f (x) =|x−3|
    7. Графік рівняння абсолютного значення, створіть власну таблицю для обґрунтування значень: g (x) =|x+3|

    Визначте батьківську функцію для кожного набору лінійних функцій. Графік кожного набору функцій за допомогою графічного калькулятора. Визначте подібності та відмінності кожного набору.

    1. а. f (x) = х−7, б. f (x) =х−2, с. f (x) =х+1, д. f (x) =х+5, тобто f (x) =х+10

      Батьківська функція:

      Подібність:

      Відмінності:

    1. \(\ \text{a. } f(x)=\frac{2}{11} x, \text { b. } f(x)=\frac{1}{2} x, \text { c. } f(x)=\frac{2}{3} x\)

      Батьківська функція:

      Подібність:

      Відмінності:

    1. а. f (x) = х−7, б. f (x) =2х, с. f (x) = 4х, д. f (x) =2x+5, тобто f (x) =6х−10

      Батьківська функція:

      Подібність:

      Відмінності:

      Використовуйте стандартну форму лінійного рівняння: f (x) = ax+b та ваші дослідження вище, щоб допомогти вам відповісти на наступні запитання.

    2. Як значення впливає на графік?
    3. Як значення b впливає на графік?
    4. Чим схожі/відрізняються значення домену?
    5. Як схожі/відрізняються значення діапазону?
    6. Чи впливає значення a та/або b на домен?
    7. Чи впливає значення a та/або b на діапазон?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.10.


    Лексика

    Термін Визначення
    Абсолютна величина Абсолютне значення числа - це відстань, на якій знаходиться число від нуля. Абсолютні значення ніколи не бувають негативними.
    Функція абсолютного значення Функція абсолютного значення відображає V-подібну форму і знаходиться у вигляді y=|x|.
    Функціональні сім'ї Сімейства функцій - це групи функцій з подібністю, які полегшують їх графік, коли ви знайомі з батьківською функцією, найпростішим прикладом форми.
    Функція сімейства Сімейства функцій - це групи функцій з подібністю, які полегшують їх графік, коли ви знайомі з батьківською функцією, найпростішим прикладом форми.
    лінійне рівняння Лінійне рівняння - це рівняння між двома змінними, яке створює пряму лінію при графіку.
    Лінійна функція Лінійна функція - це відношення між двома змінними, що створює пряму лінію при графіку.
    батьківська функція Батьківська функція - найпростіша форма певного типу функції. Всі інші функції цього типу зазвичай порівнюються з батьківською функцією.
    Кусково визначена функція Кусково визначена функція - це функція, яка об'єднує дві або більше частин інших функцій для створення нової функції.