Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.2.3: Збільшення та зменшення функцій

  • Page ID
    55318
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Збільшення і зменшення

    Важливо вміти розрізняти, коли функції збільшуються і коли вони зменшуються. У бізнесі це може означати різницю між зароблянням грошей і втратою грошей. У фізиці це може означати різницю між прискоренням і уповільненням.

    Як ви вирішуєте, коли функція збільшується або зменшується?


    Збільшення та зменшення функцій

    Збільшення означає місце на графіку, де нахил позитивний.

    F-D_091AAA3B514384D6081F9bcb9f805d7063703267f6ad66ed33C50BA+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великого пальця_листівка_крихітка_[Малюнок 1]

    Формальне визначення зростаючого інтервалу: відкритий інтервал на осі x (a, d), де кожен b, c( a, d) з b<c має f (b) ≤f (c).

    F-D_78b5026e36463c8d057d89cd0d8fd94fdcdf80888b6ceb6954FF0A051+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 2]

    Інтервал, як кажуть, строго збільшується, якщо f (b) <f (c) підставляється у визначення.

    Зменшення означає місця на графіку, де нахил від'ємний. Формальне визначення спадного і строго спадного ідентичні визначенню збільшення зі зворотним знаком нерівності.

    F-D_440ФБ4935Д79Б53С4С8Е54С0 Е54С0 ЕЦДК 06EA4E08C9A4BD78E70AC0A+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 3]

    Функція називається монотонною, якщо функція йде тільки в одному напрямку і ніколи не перемикається між збільшенням і зменшенням.

    З основних функцій монотонно зростаючими функціями є:

    \(\ f(x)=x, f(x)=x^{3}, f(x)=\sqrt{x}, f(x)=e^{x}, f(x)=\ln x, f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

    Єдині основні функції, які не монотонно збільшуються, це:

    \(\ f(x)=x^{2}, f(x)=|x|, f(x)=\frac{1}{x}, f(x)=\sin x\)

    Виявлення аналітично, де функції збільшуються та зменшуються, часто вимагає обчислення. Для Precalculus буде достатньо, щоб мати можливість ідентифікувати інтервали графічно і через ваші знання про те, як виглядають батьківські функції.


    Приклади

    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вас запитали, як визначити, чи збільшується чи зменшується функція. Збільшення - це те, де функція має позитивний нахил, а зменшення - де функція має негативний нахил. Поширена помилка полягає в тому, щоб подивитися на функцію квадратури і побачити дві криві, які симетрично збільшуються від нуля. Натомість завжди слід читати функції зліва направо і малювати лінії нахилу і вирішувати, чи є вони позитивними чи негативними.

    Приклад 2

    Оцініть, де наступна функція збільшується і зменшується.

    F-D_2D4E52A6A688D041F83D6B2D08B0A2D42B2DFAE994F0C374DEC42+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 4]

    Рішення

    Збільшення: x∞ (−∞, −1,5) (1,5, ∞).

    Зниження: xμ (−1,5,1,5)

    Приклад 2

    Оцініть, де наступна функція збільшується і зменшується.

    F-D_A5Ф14А9 ББДД0Д87Ф4А0БК 34169E0984B2C947ABC8716695afd50+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 5]

    Рішення

    Збільшення x∞ (−∞, −4) (−4, −2,7) (−1,2) (2, ∞).

    Зменшення xμ (−2,7, −1)

    Приклад 3

    Оцініть інтервали, де функція збільшується і зменшується.

    F-D_C57fd528E3 CFB62363035F5A157225A26 Адаб 5де72Ф38Д7Б7Б7Б5CF+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палецька_листівка_крихітка_png[Малюнок 6]

    Рішення

    Збільшення: x∞ (−∞, −4) (−2,1,5)

    Зниження: xμ (−4, −2) (1,5, ∞)

    Зверніть увагу, що відкриті інтервали використовуються, оскільки при x=−4, −2,1,5 нахил функції дорівнює нулю. Тут нахил переходить від позитивного до негативного. Причина, чому використовуються відкриті дужки, полягає в тому, що функція насправді не збільшується або зменшується в цих конкретних точках.

    Приклад 4

    Неперервна функція має глобальний максимум в точці (3, 2), глобальний мінімум в (5, -12) і не має відносних екстремумів або інших місць з ухилом нуля. Які збільшуються і зменшуються інтервали для цієї функції?

    Рішення

    Збільшення x( −∞, 3) (5, ∞).

    Зниження xμ (3,5)

    Примітка: Координати y не використовуються в інтервалах. Поширеною помилкою є бажання використовувати координати y.


    Рецензія

    Використовуйте графік нижче для 1-2.

    F-D_FA0C00bd051F39FC66E5733B14567937b11BC093682C02FDC1AB6C1+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 7]

    1. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція збільшується.

    2. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція зменшується.

    Використовуйте графік нижче для 3-4.

    F-D_D59DBE1F8011a3D17CBC6A4A4A43B389A4367E0AC772E48CCB5009D08+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 8]

    3. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція збільшується.

    4. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція зменшується.

    Використовуйте графік нижче для 5-6.

    F-D_2D8E9E6D1FAE4AC9EB7FE5F10BD CFCFEF9D0E27349B3B Додано 1+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 9]

    5. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція збільшується.

    6. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція зменшується.

    Використовуйте графік нижче для 7-8.

    F-D_7CBFF8AD56CFFA6C4CF49A1EE960F03BC9EE9042CCD042FAB5C36E2+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 10]

    7. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція збільшується.

    8. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція зменшується.

    Використовуйте графік нижче для 9-10.

    F-D_5F8B2CFBF18E352A3CE82688C58B0E9E96813E7B6A04F04C2427937+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихіткий.PNG[Малюнок 11]

    9. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція збільшується.

    10. Визначте інтервали (якщо такі є), де функція зменшується.

    11. Наведіть приклад монотонно зростаючої функції.

    12. Наведіть приклад монотонно спадаючої функції.

    13. Неперервна функція має глобальний максимум в точці (1, 4), глобальний мінімум в (3, -6) і не має відносних екстремумів або інших місць з ухилом нуля. Які збільшуються і зменшуються інтервали для цієї функції?

    14. Неперервна функція має глобальний максимум в точці (1, 1) і не має інших екстремумів або місць з ухилом нуля. Які збільшуються і зменшуються інтервали для цієї функції?

    15. Неперервна функція має глобальний мінімум в точці (5, -15) і не має інших крайнощів або місць з ухилом нуля. Які збільшуються і зменшуються інтервали для цієї функції?


    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.7.


    Лексика

    Термін Визначення
    Безперервний Безперервність для точки існує, коли ліві та праві межі збігаються з функцією, оціненою в цій точці. Щоб функція була неперервною, функція повинна бути неперервною в кожній точці нерозривної області.
    Функція Функція - це відношення, де для кожного входу є лише один вихід. Іншими словами, для кожного значення x існує лише одне значення для y.
    Глобальний максимум Глобальний максимум функції є найбільшим значенням всієї функції. Символічно це найвища точка на всьому графіку.
    Глобальний мінімум Глобальний мінімум функції - це найменше значення всієї функції. Символічно це найнижча точка на всьому графіку.
    збільшуючи Функція збільшується протягом інтервалу, якщо її значення y стають більшими за інтервал. Графік буде підніматися зліва направо за інтервал.
    Інтервальні позначення Інтервальне позначення - це позначення [a, b), де функція визначається між a та b. Використовуйте (або), щоб вказати, що кінцеве значення не включено, і [або], щоб вказати, що кінцеве значення включено. Ніколи не використовуйте [або] з нескінченністю або негативною нескінченністю.
    монотонний Функція є монотонною, якщо вона не перемикається між збільшенням і зменшенням в будь-якій точці.
    відносна крайність Відносним екстремумом функції є точки функції зі значеннями y, які є найвищими або найнижчими з локальної околиці функції.
    суворо Строго - це прикметник, який змінює збільшення та зменшення, щоб виключити будь-яку площинність або періоди, коли значення y залишаються постійними.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    2. [Рисунок 2]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    3. [Рисунок 3]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    4. [Рисунок 4]
      Кредит: CK-12
      Джерело Фонду: https://www.flickr.com/photos/davidstanleytravel/8227858392/in/photolist-dx4VDs-nKC9j9-My5FPU-9rfFDj-rXVj6c-G9QvSn-FTuBdG-NVoCS3-8qRnga-4ykGxj-jeRZix-Nm65u9-MuS8RM-MtrYpq-nRand5-LSSMHM-GjMCi9-aaGbZM-opao7s-2Cact-FbjHE8-5nGfWn-pniMjM-6C6LQc-xzgo7p-4jAyjp-dQwCx8-Nh11cH-qrnGo4-qq1pzb-j5K9gk-9Pu1uQ-8BxKVf-5J85eG-j5LB AG-CFH4YL-5НЛВФЖ-струменевий VEB-ПСНДЖ1-К2ФТУМ-СНГП1К-ДБМАУ 6-ГМПБВТЧ-ПК7МБ-6Р8ППІ-АБ6АУ-КЗХ-648-4Оймек-9НХДЖГЗ-NY57L3
      Ліцензія: CC BY-SA
    5. [Малюнок 5]
      Кредит: CK-12
      Джерело Фонду: https://www.flickr.com/photos/davidstanleytravel/8227858392/in/photolist-dx4VDs-nKC9j9-My5FPU-9rfFDj-rXVj6c-G9QvSn-FTuBdG-NVoCS3-8qRnga-4ykGxj-jeRZix-Nm65u9-MuS8RM-MtrYpq-nRand5-LSSMHM-GjMCi9-aaGbZM-opao7s-2Cact-FbjHE8-5nGfWn-pniMjM-6C6LQc-xzgo7p-4jAyjp-dQwCx8-Nh11cH-qrnGo4-qq1pzb-j5K9gk-9Pu1uQ-8BxKVf-5J85eG-j5LB AG-CFH4YL-5НЛВФЖ-струменевий VEB-ПСНДЖ1-К2ФТУМ-СНГП1К-ДБМАУ 6-ГМПБВТЧ-ПК7МБ-6Р8ППІ-АБ6АУ-КЗХ-648-4Оймек-9НХДЖГЗ-NY57L3
      Ліцензія: CC BY-SA
    6. [Рисунок 6]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    7. [Рисунок 7]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    8. [Малюнок 8]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    9. [Малюнок 9]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    10. [Малюнок 10]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    11. [Малюнок 11]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA