1.2.2: Дискретні та безперервні функції
- Page ID
- 55302
Безперервність і розрив
Безперервність - це властивість функцій, які можна намалювати, не піднімаючи олівець. Деякі функції, як і зворотні функції, мають дві окремі частини, які не пов'язані між собою. Функції, які не пов'язані, є переривчастими. Які три способи функції можуть бути переривчастими і як вони виникають?
Неперервність і розрив функцій
Функції, які можна намалювати, не піднімаючи олівець, називаються безперервними функціями. Ви визначите безперервний більш математично суворим способом після вивчення обмежень.
Існує три типи розривів: знімний, стрибок і нескінченний.
Знімні розриви
Знімні розриви виникають, коли раціональна функція має множник з x, який існує як у чисельнику, так і в знаменнику. Знімні розриви показані на графіку порожнистим колом, який також відомий як отвір. Нижче наведено графік для\(\ f(x)=\frac{(x+2)(x+1)}{x+1}\). Зауважте, що він виглядає так само, як y=x+2, за винятком отвору у x=−1. Під час графічної функції слід скасувати знімний коефіцієнт, графік, як зазвичай, а потім вставити отвір у відповідне місце в кінці. Існує отвір у x=−1, тому що коли\(\ x=-1, f(x)=\frac{0}{0}\)

Знімні розриви можна «заповнити», якщо зробити функцію кусковою функцією і визначити частину функції в точці, де знаходиться отвір. У наведеному вище прикладі, щоб зробити f (x) безперервним, ви можете перевизначити його як:
\ (\ f (x) =\ ліворуч\ {\ begin {масив} {ll}
\ frac {(x+2) (x+1)} {x+1}, & x\ neq-1\\
1, & x=-1
\ end {масив}\ праворуч.\)
Стрибок розривів
Розриви стрибків відбуваються, коли функція має два кінці, які не зустрічаються, навіть якщо отвір заповнений. Для того, щоб задовольнити тест вертикальної лінії та переконатися, що графік справді є функцією, можна заповнити лише одну з кінцевих точок. Нижче наведено приклад функції з розривом стрибка.

Нескінченні розриви
I нескінченні розриви виникають, коли функція має вертикальну асимптоту з однієї або обох сторін. Це показано на графіку функції нижче при x=1.

Приклади
Рішення
Раніше вас запитали, як функції можуть бути переривчастими. Існує три способи, за якими функції можуть бути розривними. Коли раціональна функція має вертикальну асимптоту в результаті того, що знаменник дорівнює нулю в певній точці, вона матиме нескінченний розрив у цій точці. Коли чисельник і знаменник раціональної функції мають один або кілька однакових факторів, будуть знімні розриви, відповідні кожному з цих факторів. Нарешті, коли різні частини кускової функції не «збігаються», відбудеться стрибок розриву.
Визначте розрив кускової функції графічно.
\ (\ f (x) =\ ліворуч\ {\ почати {масив} {ll}
x^ {2} -4 & x<1\
-1 & x = 1\\
-\ -\ розрив {1} {2} x+1 & x>1
\ end {масив}\ вправо.\)

Рішення
Відбувається стрибок розриву при x = 1. Кусково функція описує функцію з трьох частин; парабола зліва, одна точка посередині та лінія праворуч.
Опишіть безперервність або розрив функції\(\ f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)\)

Рішення
Функція, здається, коливається нескінченно, коли х наближається до нуля. Одна річ, яку графік не може показати, це те, що 0 явно не в області. Графік не стріляє до нескінченності, а також не має простого отвору або розриву стрибка. Обчислення та реальний аналіз потрібні для більш точного визначення того, що відбувається.
Опишіть розриви функції нижче.

Рішення
Існує розрив стрибка при x = −1 і нескінченний розрив при x=2.
Опишіть розриви функції нижче.

Рішення
Існують розриви стрибків при x = −2 та x = 4. Відбувається знімний розрив при x = 2. Існує нескінченний розрив при x = 0.
Рецензія
Опишіть будь-які розриви в функціях нижче:
1. у = х

2. р = х 2

3. р = х 3

4. \(\ y=\sqrt{x}\)

5. \(\ y=\frac{1}{x}\)

6. р=е х

7. у = лн (х)

8. \(\ y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

9.

10.

11.

12. f (x) має стрибок розриву при x = 3, знімний розрив при x = 5 та інший стрибок розриву при x = 6. Намалюйте малюнок графіка, який може бути f (x).
13. g (x) має розрив стрибка при x = −2, нескінченний розрив при x=1 та інший стрибок при x=3. Намалюйте малюнок графіка, який може бути g (x).
14. h (x) має знімний розрив при x = −4, розрив стрибка при x=1 та інший розрив стрибка при x=7. Намалюйте малюнок графіка, який може бути h (x).
15. j (x) має нескінченний розрив при x = 0, знімний розрив при x = 1 і стрибок розриву при x = 4. Намалюйте малюнок графіка, який може бути j (x).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.10.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
Безперервний | Безперервність для точки існує, коли ліві та праві межі збігаються з функцією, оціненою в цій точці. Щоб функція була неперервною, функція повинна бути неперервною в кожній точці нерозривної області. |
розривів | Точками розриву функції є вхідні значення функції, де функція є переривчастою. |
Дискретні | Відношення вважається дискретним, якщо на його графіку є кінцева кількість точок даних. Графіки дискретних відносин виступають у вигляді точок. |
Функція | Функція - це відношення, де для кожного входу є лише один вихід. Іншими словами, для кожного значення x існує лише одне значення для y. |
Нескінченні розриви | Нескінченні розриви виникають, коли функція має вертикальну асимптоту з однієї або обох сторін. Це станеться, коли коефіцієнт в знаменнику функції дорівнює нулю. |
Нескінченний розрив | Нескінченні розриви виникають, коли функція має вертикальну асимптоту з однієї або обох сторін. Це станеться, коли коефіцієнт в знаменнику функції дорівнює нулю. |
інтервал | Інтервал - це специфічна і обмежена частина функції. |
стрибок розривів | Зворотні функції - це функції, які «скасовують» один одного. Формально f (x) і g (x) є оберненими функціями, якщо f (g (x)) = g (f (x)) = x. |
Знімні розриви | Знімні розриви також відомі як отвори. Вони виникають, коли фактори можуть бути алгебраїчно скасовані від раціональних функцій. |
Знімний розрив | Знімні розриви також відомі як отвори. Вони виникають, коли фактори можуть бути алгебраїчно скасовані від раціональних функцій. |
Атрибуції зображень
- [Рисунок 1]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA - [Рисунок 2]
Кредит: CK-12 Фонд
Джерело: https://www.flickr.com/photos/jhaymesisvip/6497720753/
Ліцензія: CC BY-SA - [Рисунок 3]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA - [Рисунок 4]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA - [Рисунок 5]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA - [Рисунок 6]
Кредит: CK-12 Фонд
Джерело: https://www.flickr.com/photos/jhaymesisvip/6497720753/
Ліцензія: CC BY-SA - [Рисунок 7]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA - [Малюнок 8]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA - [Малюнок 9]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA - [Малюнок 10]
Кредит: CK-12 Фонд
Джерело: http://classconnection.s3.amazonaws.com/753/flashcards/449753/png/screen_shot_2011-09-21_at_8.07.32_pm1316650094429.png
Ліцензія: CC BY-SA - [Малюнок 11]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA - [Малюнок 12]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA - [Малюнок 13]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA - [Рисунок 14]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA - [Малюнок 15]
Кредит: Фонд CK-12; Паула Еванс; Роб Янг
Джерело: https://www.flickr.com/photos/rob-young/1149735229/; https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Will_%26_Grace_ Квартир_будинок_ (1149735229) .jpg
Ліцензія: CC BY-SA; CC BY-NC-SA - [Малюнок 16]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA - [Рисунок 17]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA - [Рисунок 18]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA