Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.2.2: Дискретні та безперервні функції

  • Page ID
    55302
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Безперервність і розрив

    Безперервність - це властивість функцій, які можна намалювати, не піднімаючи олівець. Деякі функції, як і зворотні функції, мають дві окремі частини, які не пов'язані між собою. Функції, які не пов'язані, є переривчастими. Які три способи функції можуть бути переривчастими і як вони виникають?


    Неперервність і розрив функцій

    Функції, які можна намалювати, не піднімаючи олівець, називаються безперервними функціями. Ви визначите безперервний більш математично суворим способом після вивчення обмежень.

    Існує три типи розривів: знімний, стрибок і нескінченний.

    Знімні розриви

    Знімні розриви виникають, коли раціональна функція має множник з x, який існує як у чисельнику, так і в знаменнику. Знімні розриви показані на графіку порожнистим колом, який також відомий як отвір. Нижче наведено графік для\(\ f(x)=\frac{(x+2)(x+1)}{x+1}\). Зауважте, що він виглядає так само, як y=x+2, за винятком отвору у x=−1. Під час графічної функції слід скасувати знімний коефіцієнт, графік, як зазвичай, а потім вставити отвір у відповідне місце в кінці. Існує отвір у x=−1, тому що коли\(\ x=-1, f(x)=\frac{0}{0}\)

    F-D_EC11f60ad2456d2809a36b770b6d1ce3CA0439ced4a98fb198287+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 1]

    Знімні розриви можна «заповнити», якщо зробити функцію кусковою функцією і визначити частину функції в точці, де знаходиться отвір. У наведеному вище прикладі, щоб зробити f (x) безперервним, ви можете перевизначити його як:

    \ (\ f (x) =\ ліворуч\ {\ begin {масив} {ll}
    \ frac {(x+2) (x+1)} {x+1}, & x\ neq-1\\
    1, & x=-1
    \ end {масив}\ праворуч.\)

    Стрибок розривів

    Розриви стрибків відбуваються, коли функція має два кінці, які не зустрічаються, навіть якщо отвір заповнений. Для того, щоб задовольнити тест вертикальної лінії та переконатися, що графік справді є функцією, можна заповнити лише одну з кінцевих точок. Нижче наведено приклад функції з розривом стрибка.

    F-D_563898Ф2260БК 75Б727БДФ 06c379d88b8c39f755e25556281e8A1BD9+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 2]

    Нескінченні розриви

    I нескінченні розриви виникають, коли функція має вертикальну асимптоту з однієї або обох сторін. Це показано на графіку функції нижче при x=1.

    F-D_56a268dc853ad53a51F04d5a69745006887D04D04D04C9F3829386F847708+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великого пальця_листівка_крихіткий.PNG[Малюнок 3]

    Приклади

    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вас запитали, як функції можуть бути переривчастими. Існує три способи, за якими функції можуть бути розривними. Коли раціональна функція має вертикальну асимптоту в результаті того, що знаменник дорівнює нулю в певній точці, вона матиме нескінченний розрив у цій точці. Коли чисельник і знаменник раціональної функції мають один або кілька однакових факторів, будуть знімні розриви, відповідні кожному з цих факторів. Нарешті, коли різні частини кускової функції не «збігаються», відбудеться стрибок розриву.

    Приклад 2

    Визначте розрив кускової функції графічно.

    \ (\ f (x) =\ ліворуч\ {\ почати {масив} {ll}
    x^ {2} -4 & x<1\
    -1 & x = 1\\
    -\ -\ розрив {1} {2} x+1 & x>1
    \ end {масив}\ вправо.\)

    F-D_2192ef6c89af377923b0d5bd28a7682FF3d00b24bdc84015a45be498+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 4]

    Рішення

    Відбувається стрибок розриву при x = 1. Кусково функція описує функцію з трьох частин; парабола зліва, одна точка посередині та лінія праворуч.

    Приклад 3

    Опишіть безперервність або розрив функції\(\ f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)\)

    F-D_BF719935EBB824D0CC9БК17329E57E0BA3E60C05CBA9E27A8E10DD+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 5]

    Рішення

    Функція, здається, коливається нескінченно, коли х наближається до нуля. Одна річ, яку графік не може показати, це те, що 0 явно не в області. Графік не стріляє до нескінченності, а також не має простого отвору або розриву стрибка. Обчислення та реальний аналіз потрібні для більш точного визначення того, що відбувається.

    Приклад 4

    Опишіть розриви функції нижче.

    F-D_B6F4F3206942912D974F558d5C81ec35d58E52A788CA57c7f75D6+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 6]

    Рішення

    Існує розрив стрибка при x = −1 і нескінченний розрив при x=2.

    Приклад 5

    Опишіть розриви функції нижче.

    F-D_21AEECF 43049C589C2D512F7CE3D6A4FD441377EE5128A5E627104F8+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихіткий.PNG[Малюнок 7]

    Рішення

    Існують розриви стрибків при x = −2 та x = 4. Відбувається знімний розрив при x = 2. Існує нескінченний розрив при x = 0.


    Рецензія

    Опишіть будь-які розриви в функціях нижче:

    1. у = х

    F-D_9D4D571A4A162C82505828012A72CAE83FF9C69945C19406E758C44+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 8]

    2. р = х 2

    F-D_78D5440C5937a68366127AAE7E719A4D9F93042D3BAB1F89569F1C3+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 9]

    3. р = х 3

    F-D_5ACE 471B4FAB230A7BD1AE3675F67C93FFFFE31804833AEBC53750B05+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 10]

    4. \(\ y=\sqrt{x}\)

    F-D_BE81d3C058586D2ec09a0de76d16d9378E5E16d3B775FBB96B32AE56+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 11]

    5. \(\ y=\frac{1}{x}\)

    F-D_9ФД304Ф83С79А08DA85ФК0549Ф5039577C6CB9b6c760073EB+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 12]

    6. р=е х

    F-D_CE2F02AD61CDE6A338E7E1F784AF3004137C4BB8E46E4900997BAA6F+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 13]

    7. у = лн (х)

    F-D_51b3B07a502 ACCB3C0C0EF532FF852E463816C1FE4028A7AABE84FCF+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 14]

    8. \(\ y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

    F-D_4503151956E3B3742D49327560551 DE2E49Ceda3B611B8A9DDCeb9A+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 15]

    9.

    F-D_B012948ФБ5Д24ФББ 96442Е70А0Ф5421Д743Ф4Д6536ФД74ФБ3D27C911+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 16]

    10.

    F-D_6314DF6E0B09D7Б02Д5ДД8634КБФ931Ф6СБ504Д64Ф4Е87Ф1Ф38D+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 17]

    11.

    F-D_7AE37DE620D0C14DDA867ДД729ЕКА АЕДД800Б5Д610Б6КБ9ДК7Ф684+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великого пальця_листівка_крихітка_[Малюнок 18]

    12. f (x) має стрибок розриву при x = 3, знімний розрив при x = 5 та інший стрибок розриву при x = 6. Намалюйте малюнок графіка, який може бути f (x).

    13. g (x) має розрив стрибка при x = −2, нескінченний розрив при x=1 та інший стрибок при x=3. Намалюйте малюнок графіка, який може бути g (x).

    14. h (x) має знімний розрив при x = −4, розрив стрибка при x=1 та інший розрив стрибка при x=7. Намалюйте малюнок графіка, який може бути h (x).

    15. j (x) має нескінченний розрив при x = 0, знімний розрив при x = 1 і стрибок розриву при x = 4. Намалюйте малюнок графіка, який може бути j (x).


    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.10.


    Лексика

    Термін Визначення
    Безперервний Безперервність для точки існує, коли ліві та праві межі збігаються з функцією, оціненою в цій точці. Щоб функція була неперервною, функція повинна бути неперервною в кожній точці нерозривної області.
    розривів Точками розриву функції є вхідні значення функції, де функція є переривчастою.
    Дискретні Відношення вважається дискретним, якщо на його графіку є кінцева кількість точок даних. Графіки дискретних відносин виступають у вигляді точок.
    Функція Функція - це відношення, де для кожного входу є лише один вихід. Іншими словами, для кожного значення x існує лише одне значення для y.
    Нескінченні розриви Нескінченні розриви виникають, коли функція має вертикальну асимптоту з однієї або обох сторін. Це станеться, коли коефіцієнт в знаменнику функції дорівнює нулю.
    Нескінченний розрив Нескінченні розриви виникають, коли функція має вертикальну асимптоту з однієї або обох сторін. Це станеться, коли коефіцієнт в знаменнику функції дорівнює нулю.
    інтервал Інтервал - це специфічна і обмежена частина функції.
    стрибок розривів Зворотні функції - це функції, які «скасовують» один одного. Формально f (x) і g (x) є оберненими функціями, якщо f (g (x)) = g (f (x)) = x.
    Знімні розриви Знімні розриви також відомі як отвори. Вони виникають, коли фактори можуть бути алгебраїчно скасовані від раціональних функцій.
    Знімний розрив Знімні розриви також відомі як отвори. Вони виникають, коли фактори можуть бути алгебраїчно скасовані від раціональних функцій.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    2. [Рисунок 2]
      Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/jhaymesisvip/6497720753/
      Ліцензія: CC BY-SA
    3. [Рисунок 3]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    4. [Рисунок 4]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    5. [Рисунок 5]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    6. [Рисунок 6]
      Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/jhaymesisvip/6497720753/
      Ліцензія: CC BY-SA
    7. [Рисунок 7]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    8. [Малюнок 8]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    9. [Малюнок 9]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    10. [Малюнок 10]
      Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: http://classconnection.s3.amazonaws.com/753/flashcards/449753/png/screen_shot_2011-09-21_at_8.07.32_pm1316650094429.png
      Ліцензія: CC BY-SA
    11. [Малюнок 11]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    12. [Малюнок 12]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    13. [Малюнок 13]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    14. [Рисунок 14]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    15. [Малюнок 15]
      Кредит: Фонд CK-12; Паула Еванс; Роб Янг
      Джерело: https://www.flickr.com/photos/rob-young/1149735229/; https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Will_%26_Grace_ Квартир_будинок_ (1149735229) .jpg
      Ліцензія: CC BY-SA; CC BY-NC-SA
    16. [Малюнок 16]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    17. [Рисунок 17]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    18. [Рисунок 18]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA