Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.2.1: Мінімуми та максимуми

  • Page ID
    55303
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Максимуми і мінімуми

    Під час їзди на американських гірках завжди є одна точка, яка є абсолютною найвищою від землі. Зазвичай є багато інших місць, які досягають досить високо, тільки не так високо, як перше. Є також місця, де американські гірки провалилися, причому один з них є абсолютним найнижчим американськими гірками. Як точно визначити та розрізнити ці різні вершини та долини?


    Пошук максимумів і мінімумів

    Глобальний максимум відноситься до точки з найбільшим значенням y, можливим для функції. Глобальний мінімум відноситься до точки з найменшим можливим значенням y. Разом ці дві цінності називаються глобальними екстремами. Там може бути тільки один глобальний максимум і тільки один глобальний мінімум. Global відноситься до всього простору, де визначена функція. Глобальні екстреми також називають абсолютними екстремами.

    Окрім глобальних максимумів та глобальних мінімумів, існують також локальні екстреми або відносні максимуми та відносні мінімуми. Слово відносне використовується, оскільки стосовно деякого сусідства ці значення виділяються як найвищі або найнижчі.

    F-D_9A2CA9E99111EB018C23c899d60C525FB0BE71EEC35B2596989FC30C+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 1]

    Обчислення використовує передові аналітичні інструменти для обчислення екстремальних значень, але для цілей Precalculus достатньо мати можливість ідентифікувати та класифікувати екстремальні значення графічно або за допомогою технології. Наприклад, TI-84 має максимальний шукач, коли ви вибираєте <2-й > потім<trace>.


    Приклади

    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вас попросили визначити та розрізнити різні піки та долини на графіку. Максимуми та мінімуми повинні бути інтуїтивно зрозумілими, оскільки вони просто визначають найвищі та найнижчі точки, або піки та долини на графіку. Існує формальна відмінність щодо того, чи є максимум найвищим на якомусь локальному відкритому інтервалі (не має значення, наскільки малий), чи це просто найвищий загальний.

    Приклад 2

    Визначте і класифікуйте всі крайності.

    F-D_7917f659BB9193A2C67002DACC10БДФ2БДФ2Б2714БД15Ф434Д43+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 2]

    Рішення

    Немає глобальних або локальних максимумів або мінімумів. Функція вирівнюється, але насправді не досягає піку або долини.

    Приклад 3

    Визначте та класифікуйте всі крайності на графіку нижче:

    F-D_82b449F92C419FF792570b64CCFFD8F62d0bcbd0bd0bd0f888118e7+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 3]

    Рішення

    Оскільки функція з'являється зі стрілок для збільшення і зменшення за межі дисплея, глобальних екстремумів немає. Існує локальний максимум приблизно (0, 3) і локальний мінімум приблизно (2,8, -7).

    Приклад 4

    Визначте та класифікуйте всі крайності на графіку нижче:

    F-D_879f451AA8720078532251c69f67461f298c0f6127f22d4313FAE5E+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 4]

    Рішення

    Оскільки функція, здається, різко закінчується в кінцевих точках і не виходить за межі дисплея, кінцеві точки важливі.

    Існує глобальний мінімум при (0, 0). Існує локальний максимум на (-1, 1) і глобальний максимум на (5, 5).

    Приклад 5

    Визначте та класифікуйте всі крайності на графіку нижче:

    F-D_A9B7371EB1672AD2BA2587C43339A1A1849A183161E14FAE17C4239E+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 5]

    Рішення

    Оскільки ця функція, здається, збільшується вправо, як зазначено стрілкою, глобального максимуму немає. Інших високих точок теж немає, тому локальних максимумів немає. Існує лише кінцева точка (0, 0), яка є глобальним мінімумом.


    Рецензія

    Використовуйте графік нижче для 1-2.

    F-D_926bc5F2F0E580bbe79EEB09D55CBDCC7C77a16dddf0946b0b40E1CA+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 6]

    1. Визначте будь-яку глобальну крайність.

    2. Визначте будь-яку локальну крайність.

    Використовуйте графік нижче для 3-4.

    F-D_8DB5E1517BD84ADCEBF146CC4B997E66F5CDE7D6C8E8CAD77B4804EB+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихіткий.PNG[Малюнок 7]

    3. Визначте будь-яку глобальну крайність.

    4. Визначте будь-яку локальну крайність.

    Використовуйте графік нижче для 5-6.

    F-D_1B01CFF3C2B7D9BA8 Бджола FFDE169D866AE53065FE3E4701431 DAE3+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 8]

    5. Визначте будь-яку глобальну крайність.

    6. Визначте будь-яку локальну крайність.

    Використовуйте графік нижче для 7-8.

    F-D_4D87073E0279AC485A0F62A5845B67467E95F878E78B79D83BC35ef0+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 9]

    7. Визначте будь-яку глобальну крайність.

    8. Визначте будь-яку локальну крайність.

    Використовуйте графік нижче для 9-10.

    F-D_DC69D430EF11DCFCE E29E753C781DB21ЕД51Б67C1435B CAB537A4C71+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 10]

    9. Визначте будь-яку глобальну крайність.

    10. Визначте будь-яку локальну крайність.

    11. Поясніть різницю між глобальним максимумом і локальним максимумом.

    12. Намалюйте приклад графіка з глобальним мінімумом і локальним максимумом, але не глобальним максимумом.

    13. Намалюйте приклад графіка з локальними максимумами та мінімумами, але без глобальних екстремумів.

    14. Використовуйте свій графічний калькулятор, щоб визначити та класифікувати крайності:

    \(\ f(x)=\frac{1}{2} x^{4}+2 x^{3}-6.5 x^{2}-20 x+24\)

    15. Використовуйте свій графічний калькулятор, щоб визначити та класифікувати крайності:

    g (x) =−х 4 +2x 3 +4x 2 −2x−3.


    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.5.


    Лексика

    Термін Визначення
    абсолютна крайність Абсолютна крайність функції - це точки зі значеннями y, які є найвищими або найнижчими з усієї функції.
    Поведінка кінця Поведінка кінця - це опис тенденції функції, оскільки вхідні значення стають дуже великими або дуже малими, представленими як «кінці» графічної функції.
    Функція Функція - це відношення, де для кожного входу є лише один вихід. Іншими словами, для кожного значення x існує лише одне значення для y.
    глобальна крайність Глобальна крайність функції - це точки зі значеннями y, які є найвищими або найнижчими з усієї функції.
    локальні екстреми Локальні екстремуми функції - це точки функції зі значеннями y, які є найвищими або найнижчими з локальної околиці функції.
    Локальний максимум Локальний максимум - це найвища точка щодо точок навколо нього. Функція може мати більше одного локального максимуму.
    Локальний мінімум Локальний мінімум - найнижча точка щодо точок навколо нього. Функція може мати більше одного локального мінімуму.
    Максимум Максимум - це найвища точка графіка. Максимум дасть найбільше значення діапазону.
    Мінімум Мінімум - найнижча точка графіка. Мінімум дасть найменшу величину діапазону.
    відносна крайність Відносним екстремумом функції є точки функції зі значеннями y, які є найвищими або найнижчими з локальної околиці функції.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
      Кредит: Фонд CK-12;
      Джерело Європейського агентства з навколишнього середовища: http://www.eea.europa.eu/data-and-maps/figures/atmospheric-concentration-of-co2-ppm-1; Фонд CK-12
      Ліцензія: CC BY-SA
    2. [Рисунок 2]
      Кредит: CK-12
      Джерело Фонду: http://colouringbook.org/art/svg/col...-graphics-svg/
      Ліцензія: CC BY-SA
    3. [Рисунок 3]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    4. [Рисунок 4]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    5. [Рисунок 5]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    6. [Рисунок 6]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    7. [Рисунок 7]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    8. [Малюнок 8]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    9. [Малюнок 9]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    10. [Малюнок 10]
      Кредит:
      Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA