1.1.4: Нулі та перехоплення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55225

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нулі та перехоплення функцій

Перехоплення в математиці - це де функція перетинає вісь x або y. Які бувають перехоплення цієї функції?

X і Y Перехоплення

Перший тип перехоплення, який ви, можливо, вивчили, - це перехоплення y-перехоплення, коли ви дізналися форму перехоплення нахилу прямої: y=mx+b. y-перехоплення - це унікальна точка, де функція перетинає вісь y. Його можна знайти алгебраїчно, встановивши x=0 та розв'язавши для y.

X-перехоплення - це де функції перетинають вісь x і де висота функції дорівнює нулю. Їх ще називають корінням, розчинами і нулями функції. Їх можна знайти алгебраїчно, встановивши y=0 і розв'язуючи для x. Подивіться відео нижче для практики:

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, що таке перехоплення графіка нижче.

Рішення

Графічно функція має нулі на -2 і 3 з перехопленням y приблизно -1.1.

Примітка: Для того, щоб функція пройшла тест вертикальної лінії, вона повинна мати лише один y-перехоплення, але вона може мати кілька перехоплень x.

Приклад 2

Які нулі та y-перехоплення параболи y=x ² −2x−3?

Використання графіка:

Рішення

Нулі знаходяться в (-1, 0) і (3, 0). Y-перехоплення знаходиться в (0, -3).

Використання алгебри:

Замініть 0 на y, щоб знайти нулі.

0=x ² −2x−3 =( х−3) (х+1)

y=0, x=3, −1

Заставте 0 на x, щоб знайти y-перехоплення.

y= (0) ² −2 (0) −3=−3

x=0, y=−3

Приклад 3

Визначте нулі та y-перехоплення для синусоїдальної функції.

Рішення

Y-перехоплення дорівнює (0, 0). На цій частині графіка видно чотири нулі. Одна річ, яку ви знаєте про синусоїдальний графік, це те, що він періодичний і повторюється назавжди в обох напрямках. Для того, щоб захопити кожен перехоплення x, ви повинні визначити шаблон, а не намагатися виписати кожен з них.

Видимі х-перехоплення 0, π,2π,3π. Візерунок полягає в тому, що існує Х-перехоплення кожне кратне π, включаючи негативні кратні. Для того, щоб описати всі ці значення, слід написати:

X-перехоплення мають значення ± nπ, де n - ціле число {0, ±1, ±2,...}.

Приклад 4

Визначте перехоплення і нулі функції:\(\ f(x)=\frac{1}{100}(x-3)^{3}(x+2)^{2}\)

Рішення

Щоб знайти y-перехоплення, підставимо 0 на x:

\(\ y=\frac{1}{100}(0-3)^{3}(0+2)^{2}=\frac{1}{100}(-27)(4)=-\frac{108}{100}=-1.08\)

Щоб знайти x-перехоплення, замініть 0 на y:

\(\ 0=\frac{1}{100}(x-3)^{3}(x+2)^{2}\)

x=3, −2

Таким чином, y-перехоплення є (0, -1.08), а x-перехоплення є (3, 0) і (-2, 0).

Приклад 5

Визначте перехоплення наступної функції графічно.

Рішення

Y-перехоплення дорівнює приблизно (0, -1). X-перехоплює приблизно (-2.3, 0), (-0.4, 0) і (0.7, 0). При знаходженні значень графічно відповіді завжди приблизні. Точні відповіді потрібно знайти аналітично.

Рецензія

1. Визначте нулі і y-перехоплення наступної функції за допомогою алгебри:

f (х) = (х+1) ³ (х−4)

2. Визначте коріння і y-перехоплення наступної функції за допомогою алгебри або графіка:

г (х) = х ⁴ −2х ³ −7х ² +20х−12

3. Визначте перехоплення наступної функції графічно:

Знайдіть перехоплення для кожної з наступних функцій.

4. р=х ²

5. р = х ³

6. р = пн (х)

7. у =\(\ \frac{1}{x}\)

8. р=е ^х

9. р=\(\ \sqrt{x}\)

10. Чи існують функції без y-перехоплення? Поясніть.

11. Чи існують функції без x-перехоплення? Поясніть.

12. Поясніть, чому має сенс, що x-перехоплення функції також називається «нулем» функції.

Визначте перехоплення наступних функцій за допомогою алгебри або графіка.

13. ч (х) = х ³ −6х ² +3х+10

14. j (x) =х ² −6х−7

15. к (х) = 4х ⁴ −20х ³ −3х ² +14х+5

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.8.

Лексика

Термін	Визначення
Перехоплення	Перехоплення кривої - це місця, де крива перетинає осі x та y. Перехоплення x - це точка, в якій крива перетинає вісь x. Перехоплення y - це точка, в якій крива перетинає вісь y.
Перехоплює	Перехоплення кривої - це місця, де крива перетинає осі x та y. Перехоплення x - це точка, в якій крива перетинає вісь x. Перехоплення y - це точка, в якій крива перетинає вісь y.
Коріння	Коріння функції - це значення x, які роблять y рівним нулю.
Тест вертикальної лінії	Тест вертикальної лінії говорить, що якщо вертикальна лінія, проведена в будь-якому місці через графік відношення, перетинає відношення в більш ніж одному місці, то відношення не є функцією.
нулі	Нулі функції f (x) - це значення x, які змушують f (x) дорівнювати нулю.

Атрибуції зображень

[Рисунок 1]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA
[Рисунок 2]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
[Рисунок 3]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA
[Рисунок 4]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
[Рисунок 5]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
[Рисунок 6]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA