1.1.2: Інтервали та інтервальні позначення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55241

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Інтервали і інтервальні позначення

Припустимо, ви і 2 ваших друзів були на обід і вирішили купити тако. Разом у вас є 15 доларів, щоб витратити на обід, а тако - по 1,25 доларів кожен. Зрозуміло, що загальна вартість може бути позначена як функція кількості придбаних тако, але як би ви вказали, що графік не повинен включати значення більше $15 або менше $3.75 (по одному тако кожен)?

Інтервали і інтервальні позначення

Функція визначається як дійсна функція, якщо і домен, і діапазон є множинами дійсних чисел. Багато функцій, з якими ви, ймовірно, стикалися раніше, є реальними функціями, і багато з цих функцій мають Domain =. Розглянемо, наприклад, функцію y=3x. Розділ графіка цієї функції наведено нижче.

Можливо, ви вже знайомі з графіками ліній. Зокрема, у вас вже може бути звичка розміщувати стрілки на кінцях. Ми робимо це для того, щоб вказати, що лінія буде тривати вічно як в позитивному, так і в негативному напрямках, як з точки зору домену, так і в діапазоні. Однак у рядку вище показано лише функцію y=3x на інтервалі [-3, 3]. Квадратні дужки вказують на те, що графік містить кінцеві точки інтервалу, де x=−3 та x=3. Ми називаємо це замкнутим інтервалом. Закритий інтервал містить його кінцеві точки. На відміну від цього, відкритий інтервал не містить його кінцевих точок. Вказуємо відкритий інтервал дужками. Наприклад, (-3, 3) позначає набір чисел від -3 до 3, не включаючи -3 і 3. Можливо, ви помітили, що позначення відкритого інтервалу виглядає як позначення точки (x, y) у площині. Важливо уважно прочитати приклад або завдання домашнього завдання, щоб не заплутати точку з інтервалом! Різниця, як правило, цілком зрозуміла з контексту.

Наведена нижче таблиця узагальнює види інтервалів, які вам може знадобитися враховувати при вивченні функцій та їх областей (та діапазонів):

Інтервальні позначення	Позначення нерівності	Опис
[а, б]	a≤x≤b	Значення x знаходиться між a і b, включаючи a і b, де a, b - дійсні числа.
(а, б)	a<x<b	Значення x знаходиться між a і b, не включаючи a і b.
[а, б)	a≤x<b	Значення x знаходиться між a і b, включаючи a, але не включаючи b.
(а, б]	a<x≤b	Значення x знаходиться між a і b, включаючи b, але не включаючи a.
(a, ∞)	x>a	Значення x строго більше a.
[a, ∞)	x≥a	Значення x більше або дорівнює a.
(−∞, а)	х	Значення x строго менше a.
(−∞, а]	x≤a	Значення x менше або дорівнює a.

Використовуючи таблицю вище, ви можете визначити набори наступних трьох наборів:

(−3,9]
[−23,12]
(−∞, 0)

Множина (−3,9] описує множину чисел від -3 до 9, «не включаючи» фактичне значення -3, але «включаючи» 9.

Множина [−23,12] описує набір чисел від -23 до 12, «включаючи» значення -23 та 12.

Множина (−∞ ,0) описує всі числа менше 0, не враховуючи самого 0.

Коли вас попросять навести графік функції на заданому інтервалі, будьте обережні, щоб обмежити графік інтервалом. Візьміть наступну функцію f (x) =$\ 1 \over 2$ x−6 на інтервалі [-4, 12]. Графік такий:

Частина функції, яка графічна, є лінією між -4 і 12 з включеними -4 і 12.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали про те, як вказати вартість обіду для вас та ваших 2 друзів, якщо у вас є 15 доларів разом, а тако - по 1,25 доларів кожен. Найменше, що ви могли б витратити на обід - $3.75, який включає в себе по одному тако кожен. Щоб описати тільки значення значень між $3,75 і $15,00, вкажіть інтервал домену як: [3.75, 15]. Зверніть увагу, що це закриті дужки, оскільки значення в дужках включені.

Приклад 2

Опишіть набір, показаний на зображенні, використовуючи інтервальні позначення:

Рішення

Набір відкривається за допомогою «(», оскільки neg нескінченність не може бути досягнута, то закривається «)», оскільки 3 не входить. Набір знову відкривається за допомогою «(», оскільки 0 не включено, і, нарешті, закривається «)», оскільки нескінченність pos також не може бути досягнута.

Приклад 3

Опишіть зазначені інтервали, використовуйте інтервальні позначення:

Рішення

Всі від'ємні числа.
1. Нуль не є ні позитивним, ні негативним, тому «)» використовується для того, щоб вказати, що нуль «не» включений. Оскільки максимального від'ємного числа немає, ми вказуємо, що нескінченність є нижчим значенням, і використовуємо «(», оскільки його неможливо досягти.
Числа від п'яти до дванадцяти, включаючи п'ять, але не дванадцять.
1. Для відкриття набору використовується «[», так як 5 входить, а для закриття використовується «)», так як 12 - ні.
Від'ємні числа аж до від'ємних шести, нульових і всіх позитивних чисел.
1. Значення «(» означає, що негативна нескінченність не може бути досягнута, а «]» на іншому кінці вказує, що 9 входить в набір.

Приклад 4

Опишіть область в множині на графіках за допомогою інтервальних позначень:

Рішення

Для графа 1 домен - це набір значень x, що починаються з включеного -6 і закінчуються на 4, який не включається: [-6, 4).

Для графа 2, для тих же міркувань, що і вище, домен [-6, 7).

Приклад 5

Опишіть діапазон у множині на зображеннях у прикладі 4 за допомогою інтервальних позначень.

Рішення

Діапазон для графа 1 - це набір значень y від -3 (не включений) до 4 (включений): (-3, 4]

Діапазон для графіка 2 дорівнює: [-1, 6)

Рецензія

Для #1 -4 запишіть нерівність у інтервальній нотації.

−3≤x<1
0 <х<2
x>−3
x≤2

Для #5 -6 вирішіть і поставте свою відповідь у інтервальне позначення.

−2x+3<1
7х+4≤2x−6

Для #7 -10 запишіть заданий набір чисел у інтервальному позначенні.

10.

Для #11 -12 назвіть домен і діапазон для кожного відношення, використовуючи інтервальну нотацію.

11.

12.

Для #13 -16 висловіть інтервальне позначення, а потім намалюйте їх на числовій лінії.

{x: −1≤x≤3}
{x: −2≤x<1}
A - множина всіх чисел, більших за 2, але менше або дорівнює 5.
{x: −3<x<∞}

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.3.

Лексика

Термін	Визначення
домен	Домен функції - це множина x-значень, для яких визначена функція.
Інтервальні позначення	Інтервальне позначення - це позначення [a, b), де функція визначається між a та b. Використовуйте (або), щоб вказати, що кінцеве значення не включено, і [або], щоб вказати, що кінцеве значення включено. Ніколи не використовуйте [або] з нескінченністю або негативною нескінченністю.
Діапазон	Діапазон функції - це набір значень y, для яких визначена функція.
Реальне число	Реальне число - це число, яке може бути нанесено на числовий рядок. Справжні числа включають всі раціональні та ірраціональні числа.