Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.1.1: Відносини та функції

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55240

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Пошук області та діапазону функцій

    Ви щойно отримали нову роботу за сумісництвом у торговому центрі, яка платить базову ставку 150 доларів на тиждень плюс $5/продаж. Ваш бос заохочує вас зробити якомога більше продажів, але вона буде обмежувати ваш щотижневий заробіток на $250. Якими є область і діапазон функції, представленої цією ситуацією?

    Домен і діапазон функції

    Вхід і вихід функції також називають доменом і діапазоном. Область функції - це набір всіх вхідних значень. Діапазон функції - це набір всіх вихідних значень. Іноді функція - це сукупність точок. У цьому випадку доменом є всі значення x −, а діапазон — усі значення y −. Функції також можуть бути лінійними і поліноміальними рівняннями. У цих випадках вам потрібно графікувати функцію, щоб побачити, де вона визначена. Ви можете помітити, що деякі функції визначені для «всіх дійсних чисел». Символ,, використовується для позначення множини всіх дійсних чисел.

    Визначимо, якщо {(9, 2), (7, -3), (4, -6), (-10, 4), (-2, -7)} є функцією. Якщо так, ми знайдемо домен і діапазон.

    По-перше, це функція, оскільки значення x− не повторюються. Щоб знайти домен, нам потрібно перерахувати всі значення x−. Діапазон — це всі значення y −. Як правило, ви перераховуєте значення в тому порядку, в якому вони з'являються. Зверніть увагу на позначення.

    xμ {9,7,4, −10, −2}

    yμ {2, −3, −6,4, −7}

    Символ означає «елемент/in». Фігурні дужки, {}, навколо значень x та y вказують на те, що кожна з них є множиною. Словами, ви б сказали, «х є елементом у множині 9, 7, 4, -10 і 2». Залежно від тексту, ви можете побачити «:» (двокрапка), замінені символом «» та набори без {} навколо них.

    Давайте знайдемо домен і діапазон для наступних проблем.

    1. y=x−3

    Оскільки це лінійне рівняння, ми також знаємо, що це лінійна функція. Всі лінії тривають вічно в обидві сторони, на що вказують стрілки.

    Ф-Д_5С167Е34А072Д6С1Б 33 А82А6Б23А5 ЕДД 96031Ф076А079AEC0E1A83+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    [Малюнок 1]

    Зверніть увагу, що лінія суцільна, немає рисок або розривів. Це означає, що він суцільний. Неперервна функція має значення для кожного x, або домен - це всі дійсні числа. Чи можете ви підключити будь-яке значення для x і отримати значення y? Так. Є кілька способів написати це.

    Домен: x, x( −∞, ∞), x - це всі реали

    У словах х - елемент у множині дійсних чисел.

    Другий варіант, (−∞, ∞), є інтервалом, а не точкою. У дужках вказано, що нескінченність, ∞ та негативна нескінченність, −∞, не включені в інтервал, але кожне число між ними є. Щоб включити кінцеву точку в інтервал, використовуйте [або] дужки. Це називається інтервальними позначеннями.

    Діапазон цієї функції також безперервний. Тому діапазон - це також набір всіх дійсних чисел. Ми можемо записати діапазон так само, як ми написали домен, але з y замість х.

    Діапазон: Yабо y( −∞, ∞)

    F-D_873E31216FCCBB2AF1D4F9CE13A125C9EB5C691ЕДБ62518CDC0120AE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Це функція, хоча вона може виглядати не так. Цей тип функції називається кусковою функцією, оскільки вона об'єднує дві або більше частин інших функцій.

    Щоб знайти домен, перегляньте можливі значення x. Зауважте, що коли x знаходиться між -2 і -1, він не визначено, або немає значень x−.

    F-D_2DA8A 2БК CCC 294C50dd003058d7128b0A23356А77496Б59E3C74DD8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    [Малюнок 3]

    Математично це буде записано: x∞ (−∞, −2] (−1, ∞). Символ означає «союз». Словом, домен «всі дійсні числа, крім тих, що між -2 і -1». Зверніть увагу, що -2 входить до домену, оскільки точка на -2 закрита. Щоб знайти діапазон, нам потрібно переглянути можливі значення y. Змінюючи нашу точку зору на вісь y, на перший погляд виглядає так, ніби функція не визначена від 1 до -3.

    Однак при подальшому дослідженні гілка зліва проходить через жовту область, де ми хоча функція не була визначена. Це означає, що функція визначається між 1 і -3 і, таким чином, для всіх дійсних чисел. Однак нижче -3 немає значень y. Діапазон дорівнює y[ −3, ∞).

    F-д_Е4А4 де 7Е2473А8Ф9А96736А2Д31С4714ФБ7ЕФ8345728221C56EC6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    [Малюнок 4]

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили знайти домен і діапазон функції ваших продажів, де ви робите базову ставку $150/тиждень плюс $5/продаж (ваш щотижневий заробіток обмежений $250/тиждень).

    Рішення

    Функцію, представлену цією ситуацією, можна записати як y=150+5x, де x - кількість продажів, які ви робите. Ви не можете зробити негативну кількість продажів, тому найменша кількість продажів, яку ви можете зробити, дорівнює нулю. Щоб знайти максимальну кількість продажів, перш ніж ви досягнете кришки, ми повинні підключити $250 за y.

    250=150+5х

    100=5х

    х=20

    Отже, область функції дорівнює 0≤x≤20.

    Щоб знайти діапазон, підключіть дві крайності області до рівняння. Коли х дорівнює 0, у дорівнює 150, а коли х дорівнює 20, у дорівнює 250.

    Тому діапазон функції становить 150≤y≤250.

    Приклад 2

    Знайти домен і діапазон такої функції: {(8, 3), (-4, 2), (-6, 1), (5, 7)}.

    Рішення

    Домен: xμ {8, −4, −6,5} Діапазон: y{ 3,2,1,7}

    Приклад 3

    Знайти домен і діапазон такої функції: y=−\(\ 1\over 2\) x+4.

    Рішення

    Домен: xДіапазон: Y

    Приклад 4

    Знайдіть домен і діапазон наступної функції.

    F-D_9cd42391d95359 СА2964440 Е262D1ЕЕ9Ф867E4C98721E337C77+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крошечкою.PNG

    [Малюнок 5]

    Рішення

    Це кускова функція. Значення x−не визначено від -2 до 1. Діапазон виглядає так, що він не визначений від 1 до 7, але рядки продовжуються, заповнюючи цей простір, коли x стає більшим, як негативно, так і позитивно.

    Домен: x( −∞, −2) (1, ∞) Діапазон: Y

    Приклад 5

    Знайдіть домен і діапазон наступної функції.

    F-D_E6073B6D7F22DC971514D354AE72140E542263C14AAF8B661177039D+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палецька_поштова листівка_крихітка_png

    [Малюнок 6]

    Рішення

    Це парабола, графік квадратного рівняння. Незважаючи на те, що це може виглядати не так, кінці графіка продовжують вгору, нескінченно, а x продовжує зростати. Іншими словами, х не обмежується між -9 і 5. Це все дійсні числа. Діапазон, однак, здається, починається з -6 і всі дійсні числа вище цього значення.

    Домен: xДіапазон: y[ −6, ∞)

    Рецензія

    Визначте, чи є наступні набори точок функціями. Якщо так, вкажіть домен і діапазон.

    1. {(5, 6), (-1, 5), (7, -3), (0, 9)}
    2. {(9, 8), (-7, 8), (-7, 9), (8, 8)}
    3. {(6, 2), (-5, 6), (-5, 2)}
    4. {(-1, 2), (-6, 3), (10, 7), (8, 11)}
    5. {(5, 7), (3, 7), (5, 8), (8, 1)}
    6. {(-3, -4), (-5, -6), (1, 2), (2, -6)}

    Знайдіть домен і діапазон наступних функцій.

    1. y=3x−7
    2. 6х−2р=10
    Ф-Д_4ДД003765Ф523783АФ 484976193Ф4С09Б27БД07К5Ф02945Е681207D5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    9.

    Ф-д_А1Ф 556148387Ф88АФ 385185958093А6Ф 9Ф020ДФ 92351AD333F60189+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    [Малюнок 7]

    10.

    F-D_A22967E558FC CAEE369 CF46E0E04D583EA84EA09FC4263E368ABCE85+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    [Малюнок 8]

    11.

    F-д_Ф92Ф0365С7ЕДА 7370ЕД 3С9А85ФФ7Ф76169С644ЕД 1977821E2E7E188+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    [Малюнок 9]

    12.

    Ф-Д_4БФ Ф56БФ ДБФ6042С3БФ19 АБББД2Ф75БДС337Ф03КД5А8Б81112А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG[Малюнок 10]

    13.

    F-D_CE869Е0Б5416Б424Б75Д66496113Б0ФФД 37д6722C8536564703C2F4A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    14. Виклик

    15. Написання Зробіть загальне твердження про область і діапазон всіх лінійних функцій. Використовуйте правильні позначення.

    Лексика

    Термін Визначення
    замкнутий інтервал Закритий інтервал включає мінімальне і максимальне значення (кінцеві точки) інтервалу.
    Безперервна функція Безперервна функція - це функція без розривів або зазорів. Він містить нескінченну, незліченну кількість значень.
    Функція Функція - це відношення, де для кожного входу є лише один вихід. Іншими словами, для кожного значення x існує лише одне значення для y.
    відкритий інтервал Відкритий інтервал не включає кінцеві точки інтервалу.
    Кусково функція Кусково функція - це функція, яка об'єднує дві або більше частин інших функцій для створення нової функції.
    Відносини Відношення - це будь-яка сукупність впорядкованих пар (x, y). Відношення може мати більше одного виводу для заданого вхідного сигналу.
    союз - символ, який розшифровується як союз і використовується для з'єднання двох груп разом. Він пов'язаний з логічним терміном АБО.

    Атрибуції зображень

    [Малюнок 1]
     Кредит: Лаура Герін; CK-12
    Джерело Фонду: CK-12 Фонд

    [Рисунок 2]
     Кредит: Лаура Герін; CK-12 Фонд; CK-12 Фонд, Larame Spence
    Джерело: CK-12 Фонд; Desmos графічний калькулятор

    [Малюнок 3]
     Кредит: Лаура Герін; CK-12
    Джерело Фонду: CK-12 Фонд

    [Рисунок 4]
     Кредит: Лаура Герін; CK-12
    Джерело Фонду: CK-12 Фонд

    [Малюнок 5]
     Кредит: Лаура Герін; CK-12
    Джерело Фонду: CK-12 Фонд

    [Рисунок 6]
     Кредит: Лаура Герін; CK-12
    Джерело Фонду: CK-12 Фонд

    [Рисунок 7]
     Кредит: Лаура Герін; CK-12
    Джерело Фонду: CK-12 Фонд

    [Малюнок 8]
     Кредит: Лаура Герін; CK-12
    Джерело Фонду: CK-12 Фонд

    [Малюнок 9]
     Кредит: Лаура Герін; CK-12
    Джерело Фонду: CK-12 Фонд

    [Малюнок 10]
     Кредит: Фонд CK-12, Larame Spence
    Джерело: Desmos графічний калькулятор