22.1: Тінь Землі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 56661

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У місячному затемненні, якщо ширина тіні Землі вдвічі перевищує ширину Місяця, то ширина самої Землі (дуже майже) втричі більша від Місяця - не вдвічі, як можна подумати. Ось чому:

Сонце - це не точка світла, а розширене джерело, з диском, що покриває кругову ділянку на небі, приблизно на 0,5 градуса в поперечнику. Це робить тінь Землі не циліндром, що тягнеться до нескінченності без звуження вниз, а конусом, з кутом 0,5 градуса поперек її верхівки С (малюнок). АВ - це тут діаметр Землі, а напрямки AC і BC представляють промені з протилежних країв диска Сонця, промені, напрямки яких відрізняються на 0,5 градуса.

Якщо\(x\) діаметр Місяця і\(R\) її відстань, то за Аристархом ширина ЕД тіні на відстані\(R\) дорівнює\(2x\) (власне,\(2.5x\) наближається до позначки). Додаємо до креслення точки Н і К так, щоб HA = KD =\(x\).

Ширина Місяця, як видно з точки Н, дорівнює KD =\(x\), а оскільки розмір Місяця на небі приблизно такий же, як і Сонця, кут KHD (затінений) також повинен дорівнювати 0,5 градуса. Тепер ми продовжимо лінію AD = R на подальшу відстань R до точки F. Тоді два затінені трикутники HKD і KFD є конгруентними (= однакові за розміром і формою) і мають той же 0.5 кут, що і кут на C. Дійсно, тепер можна довести, що трикутники GFC і AHD також конгруентні з двома затіненими.

Звідси випливає, що АС =\(3R\), і з простих пропорцій (див. Креслення)\(AB\,=\,3x\).