19.1: Метод Аристарха

Last updated
Save as PDF

Page ID: 56453

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Приблизно в 270 році до н.е. Аристарх вивів відстань Місяця від Землі від тривалості місячного затемнення (Пізніше Гіппарх знайшов самостійний метод).

У ті часи було прийнято вважати, що Земля була сферою (хоча її розмір був розрахований лише через кілька років, Ератосфен - див. Розділ «Кругла Земля і Колумб»). Астрономи також вважали, що Земля є центром Всесвіту, і що навколо неї обертаються Сонце, Місяць, планети і зірки. Тоді було цілком природно, що Аристарх припустив, що Місяць рухається великим колом навколо Землі.

Дозвольте\(R\) радіусу цього кола і\(T\) часу, який потрібен Місяцю, щоб обійти один раз, приблизно один місяць. У той час Місяць охоплює відстань\(2\pi R\), де\(\pi\approx 3.1415926\ldots\) (вимовляється «пі») є математичною константою, відношення окружності будь-якого кола до його діаметру.

Затемнення Місяця відбувається, коли Місяць проходить крізь тінь Землі, на протилежній стороні від Сонця (отже, це повинна бути повний Місяць). Якщо\(r\) радіус Землі, ширина тіні близька до діаметра Землі, або\(2r\). \(t\)Нехай час займає середина Місяця, щоб перетнути центр тіні, близько 3 годин (в затемненнях найдовшої тривалості, коли Місяць перетинає центр тіні).

Якщо Місяць рухається навколо Землі з постійною швидкістю - і для покриття потрібен час\(T\) (знову ж таки, близько місяця)\(2\pi R\approx 6.28R\), його швидкість може бути виражена як відношення пройденої відстані до часу, який він займає\[V_m=\frac{2\pi R}{T}\] так як Місяць займає близько 3 годин, щоб проїхати відстань\(2r\), ми можемо також висловлюємо свою швидкість як:\[V_m=\frac{2r}{t}\] Встановлюючи ці рівні один одному, ми знаходимо:\[\frac{6.28R}{2r}=\frac{T}{t}\] З цього Арістарха отриманого\[\frac{R}{r}\approx 60\] Цей результат відповідає середній відстані Місяця, прийнятій сьогодні, 60 радіусів Землі.