12.3: Полярні координати

Last updated
Save as PDF

Page ID: 56314

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Декартові координати (\(x,y\)) - це не єдиний спосіб маркування точки\(P\) на плоскій площині парою чисел. Інші способи існують, і вони можуть бути більш корисними в особливих ситуаціях.

Одна система («полярні координати») використовує довжину\(r\) прямої\(OP\) від початку до\(P\) (тобто відстань відстані до початку координат) та кут, який робить лінія з віссю x.\(P\) Кути часто позначаються грецькими літерами, і тут ми слідуємо умовності, позначаючи його\(\theta\). Відзначимо, що поки в декартовій системі\(x\) і\(y\) грають дуже схожі ролі, тут ролі діляться:\(r\) дає дистанцію і\(\theta\) спрямованість.

Ці два уявлення тісно пов'язані між собою. З визначень синуса і косинуса:

\[x\,=\,r\,\times\, \cos \theta\]

\[y\,=\,r\,\times\, \sin \theta\]

Це дозволяє\((x,y\)) бути похідним від полярних координат. Цей зв'язок проілюстрований нижче:

Щоб піти в зворотному напрямку, ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайти\(r\):

\[r^2\,=\,x^2\,+\,y^2\]

Після\(r\) того, як відомо, решта легко:

\[\cos \theta\,=\frac{x}{r}\]

\[\sin \theta\,=\frac{y}{r}\]

Ці відносини провалюються тільки у зародження, де\(x\,=\,y\,=\,r\,=\,0\). У цей момент,\(\theta\) не визначено, і можна вибрати для нього все, що заманеться.

У тривимірному просторі декартове маркування (\(x,y,z\)) приємно симетричне, але іноді зручно дотримуватися стилю полярних координат та відстані та напрямку міток окремо. Відстань легко: ви берете лінію ОП від початку до точки і вимірюєте її довжину r Можна навіть з теореми Піфагора показати, що в даному випадку

\[r^2\,=\,x^2\,+\,y^2\,+\,z^2\]

Всі точки з однаковим значенням\(r\) утворюють сферу радіуса\(r\) навколо початку\(O\). На сфері ми можемо позначити кожну точку широтою\(\lambda\) (лямбда, мала грецька L) та довготою\(\phi\) (phi, мала грецька F), так що позиція будь-якої точки в просторі визначається трьома числами (\(r,\lambda ,\phi \)).