3.4: Операції над категоріальними реченнями

Ми продовжуємо дослідження частини природної мови, якою обмежує себе логіка Аристотеля - речення стандартної форми, що виражають категоричні пропозиції. Щоб більш детально ознайомитися з ними, ми розглянемо, як вони реагують, коли ми виконуємо над ними різні операції, коли ми маніпулюємо ними різними способами. Ми розглянемо три операції: перетворення, обвернення та протиставлення. Кожен з них певним чином змінює речення стандартної форми. Питання, яке ми запитаємо, полягає в тому, чи нове речення, яке є результатом маніпуляції, еквівалентним вихідному реченню; тобто чи виражає нове речення ту саму пропозицію, що й оригінал?

Конверсія

Виконання перетворення на категоричне речення передбачає зміну порядку підмета і присудків термінів. Результатом цієї операції є нове речення, яке, як кажуть, є зворотним вихідним реченням. Наше запитання: коли виконання перетворення виробляє еквівалентне нове речення, зворотне, яке виражає ту саму пропозицію, що й перетворений оригінал? Ми розглянемо всі чотири типи речення стандартної форми, що відповідають на питання для кожного.

Давайте проведемо перетворення на реченні, що виражає універсальне стверджуюче, пропозиція і подивимося, що станеться. «Усі собаки - тварини» - це таке речення. перетворення змінює підмет та присудок, тому зворотне речення - «Усі тварини - собаки». Чи висловлює зворотне таке ж пропозицію, що і оригінал? Вони рівнозначні? Чорт візьми, ні! Оригінальне речення висловлює справжнє твердження про те, що всі собаки є тваринами; зворотне висловлює абсолютно помилкове твердження про те, що всі тварини є собаками. Перетворення речення A створює нове речення, яке не є еквівалентним оригіналу.

Це означає, що вплив на значення істини, в абстрактному, перетворення речень A, непередбачуваний. Іноді, як і у випадку з «Усі собаки - тварини», перетворення призведе вас від правди до неправди. В інших випадках це може призвести від істини до істини: «Усі холостяки - неодружені чоловіки», а «Усі неодружені чоловіки - холостяки» висловлюють різні пропозиції, але обидва вони правдиві (тому що так трапляється, що, за визначенням, холостяк - це просто неодружений чоловік). перетворення А також може призвести від брехні до брехня, як і при переході від «Усі собаки - кажани» до «Усі кажани - собаки». І це може призвести від брехні до істини: просто скасуйте порядок першого звернення, на яке ми дивилися, від «Усі тварини - собаки» до «Усі собаки - тварини».

Знову ж таки, справа в тому, що, оскільки перетворення речень A створює зворотне, яке виражає іншу пропозицію, ніж оригінал, ми не можемо знати, який вплив перетворення буде на значення істини.

Як щодо перетворення речень, що виражають універсальні негативні, Е пропозиції? «Ніякі собаки не є котами» - це таке речення. Тоді його зворотним буде «Ніякі коти не є собаками». Вони рівнозначні? Так, звичайно. Пам'ятайте, пропозиція E заперечує навіть часткове включення; вона стверджує, що два класи, що беруть участь, не мають спільних членів. Неважливо, який з двох класів перерахований першим у реченні, що виражає цю пропозицію - ви все одно отримуєте твердження, що два класи є ексклюзивними. Це стосується речень E загалом: виконання перетворення на них завжди створює нове речення, еквівалентне оригіналу.

Це також стосується речень, що виражають особливі стверджуючі, I пропозиції. «Деякі моряки є піратами», після перетворення стає «Деякі пірати - моряки». Вони висловлюють ту саму пропозицію: вони стверджують, що обидва класи мають принаймні одного спільного члена - є принаймні одна річ, яка є одночасно моряком і піратом. Знову ж таки, неважливо, в якому порядку ви ставите класові терміни; Я речення висловлюють твердження, що є перекриття між двома класами. I речення та його зворотне завжди рівнозначні.

Те ж саме не можна сказати і про речення, що виражають особливі негативні, O пропозиції. Розглянемо: «Деякі чоловіки не є священиками». Це виражає справжню пропозицію. Але його зворотне: «Деякі священики не є чоловіками» висловлює іншу пропозицію; ми знаємо, що це інша пропозиція, тому що вона помилкова. (Як завжди, я використовую «священиків» для позначення католицьких священиків, всі з яких чоловіки.) Це все, що нам потрібно, щоб показати, що операція не дає еквівалентних речень: один контрприклад. Як і вище з реченнями A, це означає, що вплив на істинне значення перетворення речень O непередбачуваний. Це може перенести нас від істини до брехні, як у цьому прикладі, або від істини до істини, брехні до неправди, брехні до істини. В анотації ми не можемо знати впливу на істинність перетворення речень O, оскільки зворотне висловлює іншу пропозицію від оригіналу.

Підсумок для перетворення: для E і I розмови еквівалентні; для A і O розмови не є.

Оверсія

Перш ніж говорити про нашу наступну операцію, обверсії, нам потрібно ввести нове поняття: класові доповнення. Доповнення класу, називають його S, це інший клас, який містить всі речі, які не є членами S. Так, наприклад, доповнення класу дерев - це лише всі речі, які не є деревами. Найпростіший спосіб назвати доповнення класу - просто приклеїти префікс 'non' перед початковим ім'ям класу. Так що доповненням дерев є не дерева. Будьте обережні: може бути спокусливо, наприклад, сказати, що доповненням республіканців є демократи. Але це не так. Доповнення республіканців - це набагато більший клас, що містить усіх нереспубліканців: не тільки демократів, але комуністів і лібертаріанців, незалежних і зелених; о, і купу інших речей, теж - як планета Юпітер (не республіканець), мій лівий мізинець, Велика китайська стіна, і т.д., і т.д.

Як питання нотаційної конвенції, якщо ми використовуємо велику літеру, як S для позначення класу, ми позначимо доповнення цього класу як ~ S, який ми будемо читати як «Tilde-s».

Повертаємося до оверсії. Ось як працює ця операція: спочатку ви міняєте якість пропозиції (з ствердного на негативне, або навпаки); потім, ви замінюєте присудок його доповненням. Результат виконання обверсу на реченні називається аверсом оригіналу.

Виявляється, виконання обверсії на реченні завжди створює нове речення, еквівалентне йому; речення та його аверс завжди виражають одне і те ж судження. Це означає, що вони поділяють істинне значення: якщо речення істинне, так і його аверс; якщо речення помилкове, його аверс теж помилковий. Ми можемо побачити, що це так, дивлячись на результат виконання обверсії на кожному з чотирьох типів речень стандартної форми.

Почнемо з речень А. Розглянемо «Всі качки - плавці». Щоб виконати обверсію на цьому реченні, спочатку міняємо його якість. Це універсальне ствердно. Його якість ствердно. Таким чином, ми змінюємо це на негативний, зберігаючи кількість (універсальний) однаковим. Наше нове речення буде універсальним негативним, E речення - щось у формі No S є P. Далі ми замінюємо присудок його доповненням. Присудок речення - «плавці». Яке доповнення цього класу? Всі речі, які не є плавцями: не плавці. Отже, аверс оригінального речення A такий: «Жодні качки не є плавачами».

Тепер ці два речення еквівалентні? Так. «Всі качки - плавці» висловлює універсальну ствердну пропозицію, стверджуючи, що клас качок цілком міститься в класі плавців. Тобто будь-яка качка, яку ви знайдете, також буде в класі плавців. Інший спосіб покласти його: ви не знайдете жодних качок, які не належать до класу плавців. Іншими словами, ніякі качки не можуть бути плавцями. Або: «Жодні качки не є плавцями». Речення А та його аверс еквівалентні; вони висловлюють ту саму пропозицію, висувають однакові твердження про взаємозв'язок між класом качок і класом плавців.

Спробуємо оверсію на універсальний негативний, E речення. «Жодна жінка не є священиками» - це одна. По-перше, ми змінюємо його якість з негативної на ствердну: вона стає універсальним ствердним, речення - щось у формі Всі S є P. Далі, ми замінюємо його присудок, «священики», з його доповненням, «не священики». Результат: «Всі жінки несвященики». Це еквівалентно оригіналу? Це говорить нам про те, що всі жінки знаходяться поза класом священиків. Іншими словами, жоден з них не є священиками. Тобто «Жодна жінка не є священиками». Так, і оригінальне речення, і його аверс говорять нам, що класи жінок та священиків є ексклюзивними.

Далі, особливе стверджувальне - я вирок на кшталт «Деякі політики є демократами». ГАРАЗД. По-перше, змініть якість - від позитивного до негативного. Наш аверс буде особливим негативом, O речення - щось у формі Деякі S не П. Тепер замініть «демократи» на «недемократи», вставте його в слот предиката, і ми отримуємо «Деякі політики не є недемократами». Ну, це не зовсім граматично елегантно, але сенс зрозумілий: не бути недемократом - це просто бути демократом. Це говорить про те ж саме оригінал, а саме, що деякі політики є демократами.

Нарешті, особливо негативний, О. Ми спробуємо «Деякі рослини не є квітами». Перехід від негативного до ствердного означає, що наш аверс буде I - Деякі S є P. Ми замінюємо «квіти» на «неквіти» і отримуємо «Деякі рослини не є квітами». Ми перейшли від «Деякі рослини не є квітами» до «Деякі рослини не квіти». Очевидно, що вони еквівалентні.

Короткий зміст для обверсії: аверси еквівалентні для A, E, I та O.

Протилежність

Наша остання операція - протиставлення. На відміну від обверсії, і як перетворення, це не передбачає зміни типу (A, E, I, O) речення, над яким ми працюємо. Швидше, знову ж таки, як перетворення, ми просто маніпулюємо підметом і присудком. Ось як: замінити підмет доповненням присудка; і замінити присудок доповненням підмета. Результат виконання контрапозиції на реченні називається його контрапозитивним.

Давайте виконаємо протиставлення на реченні А: «Всі чоловіки смертні». Щоб сформувати його контрапозитив, ми ставимо доповнення присудка-несмертних - у предметне положення, а доповнення суб'єкта - нечоловіків - у положення предиката: «Всі несмертні не є чоловіками». Питання, як завжди: чи еквівалентні ці речення? Це трохи важко побачити. Давайте використаємо діаграми Венна, щоб допомогти нам продумати це. По-перше, ми знаємо, як виглядає діаграма «Усі люди - смертні»; це речення стверджує, що немає такого поняття, як людина, яка не є смертною, тому ми вимиваємо частину кола «чоловіків», яка не знаходиться всередині кола «смертних»:

Далі давайте подумаємо, як би ми намалювали «Усі несмертні не є чоловіками». Якщо ми змінимо наші кола на «не-чоловіки» та «несмертні», відповідно, це легко; коли ви складаєте діаграму пропозиції A, ви просто промокніть частину лівого (предметного) кола, яка не перекривається правим (присудком) колом. Немає такого поняття, як не-чоловіки, які не є смертними:

Але як ми порівняємо цю діаграму з діаграмою «Усі чоловіки смертні», щоб побачити, чи висловлюють вони ту саму пропозицію? Ми повинні знати, що ці два дали б нам однакову картину, якби кола були позначені однаково.

Давайте порівняємо незатінені діаграми, де кола - це «чоловіки» та «смертні», з одного боку, а «не-чоловіки» та «несмертні» - з іншого:

Коли ми зображуємо «Всі чоловіки є смертними», ми виділяємо область 1 лівої діаграми. Коли ми зображуємо його контрапозитив, «Всі несмертні не є чоловіками», ми виділяємо область w правої діаграми. Ми хочемо знати, чи є ці два речення рівнозначними. Вони є, за умови, що промокання області 1 і промокання області w складають одне і те ж. Чи вони? Тобто, чи містять регіони 1 і w однакові об'єкти?

Давайте подумаємо про це, починаючи з регіону z Що там? Це речі, які знаходяться поза як несмертними, так і нечоловічими колами; тобто вони не смертні, і вони не є людьми. Отже, вони смертні і чоловіки, правда? Речі, які є і смертними, і чоловіками: на лівій руці діаграма, ось перекриття між колами. Регіон z і регіон 2 містять одне і те ж.

Як щодо регіону y? Ці речі не є чоловіками, але вони знаходяться поза колом несмертних, що робить їх смертними. Смертні, які не є чоловіками: вони живуть в регіоні 3 в лівій діаграмі. Регіони y і 3 містять однакові речі. Регіон x має речі, які є як нечоловічими, так і несмертними; тобто вони знаходяться поза як смертними, так і чоловічими колами зліва. Регіони x і 4 містять однакові речі.

А регіон w? Поза колом не-чоловіків, тому вони чоловіки. Усередині кола несмертних, тому вони не смертні. Чоловіки, які не смертні: це область 1 зліва. Регіони w і 1 містять однакові речі. І це означає, що промокання регіону w і промокання регіону 1 складають одне і те ж; обидва способи виключити існування однієї групи об'єктів, людей, які не є смертними - або, як виявляється, несмертних, які не є людьми. Те ж саме.

Підбираючи основну нитку назад, все це показує, що коли ми виконуємо протиставлення на універсальні ствердні, речення, ми закінчуємо новими реченнями, які виражають ту саму пропозицію. A речення і його контрапозитив еквівалентні. Нам все ще доводиться задавати те ж питання про речення E, I та O.

Розглянемо універсальний негатив (Е): «Ніякі небесні дайвери не боягузли». Це, безумовно, правда; потрібна хоробрість, щоб вистрибнути з літака (я б цього не робив). Щоб отримати контрапозитив, замінюємо підмета, парашутистів, на доповнення присудка, небоягузи; і замінюємо присудок, труси, на доповнення підмета, небодайверів. Результат: «Ніякі не боягузи не є парашутистами». Це брехня. Ви знаєте, хто був небоягузом? Мартін Лютер Кінг-молодший Преподобний Король був мужнім захисником расової рівності аж до останнього дня свого життя. (Якщо вам потрібні докази, дивіться його остаточну промову, дану в ніч перед тим, як його застрелили, в Мемфісі. Перемішуючи закінчити: «Так що я щасливий сьогодні ввечері. Мене ні про що не турбує. Я не боюся жодного чоловіка. Мої очі бачили славу пришестя Господнього! Просто спостерігайте за цим; повірте мені. Дивовижно) Але, не небесний дайвер. Контрапозитивні стверджує, що немає такої речі, як боягуз, який не занурюється в небо. Але це не так: MLK - контрприклад. Загалом, коли ви виконуєте протиставлення на реченні E, ви закінчуєте новим реченням, яке виражає іншу пропозицію. І як це було у випадку з реченнями A та O, що перетворюються, це має непередбачуваний вплив на значення істини. Ви можете перейти від істини до неправди, як у цьому випадку, або від істини до істини, брехні до неправди, брехні до істини. Контрапозиція змінює пропозицію, виражену реченнями E, тому ви не можете знати.

Далі розглянемо окремі негативні (O) речення. Це досить легко. «Деякі чоловіки не є священиками» - хороший приклад. Виконуючи протиставлення, ми отримуємо «Деякі не-священики не є чоловіками». Речі, які не є чоловіками - це просто чоловіки. Тож твердження, що висувається контрапозитивом, полягає в тому, що деякі несвященики є чоловіками. Тобто, є принаймні одна річ, яка є і не священиком, і людиною; або, принаймні, одна людина, яка не є священиком. Я знаю спосіб сказати, що: «Деякі люди не є священиками». Речення O та його контрапозитив висувають ту саму претензію. Протиставлення, виконане на конкретних негативах, дає вам нове речення, еквівалентне оригіналу.

Нарешті, конкретні ствердні—я речення. «Деякі люди є священиками» - це правда. Як і його контрапозитив: «Деякі несвященики не є чоловіками» (є принаймні один: моя мама не чоловік, і вона ніколи не була священиком). Так контрапозиція виконана на I робіт? Тобто це дає вам еквівалентне речення? Не обов'язково. Обидва речення можуть бути істинними, але вони можуть виражати дві різні істинні пропозиції. Власне кажучи, вони є. Коли ви протиставляєте I речення, результатом є нове речення, яке не є рівнозначним. Щоб зрозуміти чому, ми повернемося до діаграм Венна.

Загалом кажучи, діаграма I пропозиції має X в області перекриття між двома колами. Для речення форми Деякі S є P, ми б намалювали це.

Є принаймні одна річ (X), яка є і S, і P. Для контрапозитивного, ми малюємо це:

Є принаймні одна річ, яка є як не-P, так і не-S. Питання полягає в тому, чи малювання X у цих двох областях перекриття дорівнює одному і тому ж? Давайте поставимо діаграми поруч, без Xs, але з цифрами та літерами для різних регіонів:

Ми пройшли через це вище, коли обговорювали наслідки протиставлення на пропозиції А. Регіони 1 і w містять те ж саме, що і регіони 3 та y, але регіони 2 та 4 не збігаються з регіонами x та z відповідно. Швидше, вони зворотні: регіон 2 має ті ж об'єкти, що і область z, а область 4 має ті ж об'єкти, що і область x.

Коли ми малюємо малюнок прямолінійного речення I, ми ставимо X в області 2; коли ми малюємо картину його контрапозитиву, ми ставимо X в області х, але область 2 і область х не однакові. Так що I речення і його контрапозитив, в цілому, не рівнозначні. Виконання контрапозиції на I реченні змінює виражену пропозицію, з непередбачуваним впливом на значення істини.

Ми можемо довести це на конкретному прикладі. Нехай наше початкове я речення буде «Деякі католики не папи». Це, звичайно, правда (знову ж таки, моя мама: католик, але не тато). Контрапозитивним буде «Деякі папи є некатоликами» (доповнення не-пап - це лише папи). Але це помилково. Бути католиком є обов'язковою умовою для папства. I речення та його контрапозитив висувають різні претензії.

Вправи

1. Виконайте перетворення на наступне і запишіть зворотне. Це еквівалентно оригінальному реченню?

(а) Деякі серфери не є священиками.
(б) Всі канадці є культуристами.
(c) Ніякі мексиканці не є рибалками.
(г) Деякі нацисти є квітникарями.

2. Виконайте обверс на наступному і запишіть аверс. Це еквівалентно оригінальному реченню?

(а) Жодна людина не є ящірками.
(б) Деякі політики є злочинцями.
(c) Деякі птахи не є тваринами.
(d) Усі демократи є самураями.

3. Виконайте протиставлення на наступне і запишіть контрапозитив. Це еквівалентно оригінальному реченню?

(а) Усі филистимляни є сирійцями.
(b) Жодні африканці не є європейцями.
(c) Деякі американці є ірландцями.
(d) Деякі швейцарці не є католиками.

Висновки

Раніше ми обговорювали, як можна робити висновки про істинні значення категорій, використовуючи інформацію, закодовану на площі Опозиції. Наприклад, враховуючи припущення, що речення A виражає справжню пропозицію, ми можемо зробити висновок, що відповідне речення E виражає неправду (оскільки A і E є протилежними, що не може бути істинним), що відповідне I речення виражає істину (оскільки I є субалтерном A, що означає A істина гарантує, що I), і що відповідне речення O виражає неправду (оскільки A і O є суперечливістю, які повинні мати протилежні значення істини).

Ключове слово в цьому абзаці є «відповідним». Площа Опозиції розповідає нам про відносини між категоріями, які відповідають - а це означає, що вони мають однакові суб'єкти та присудки. Якщо «Всі S є P» є істинним, то «No S є P» має бути помилковим, для квадрата, оскільки ці два речення мають однаковий підмет (S) та присудок (P). Квадрат не може ліцензувати такі висновки, коли суб'єкти і присудки не відповідають. Припущення, що «Всі S є P» вірно нічого не говорить мені про істинне значення «Деякі A є B»; суб'єкти та присудки різні; ми маємо справу з двома різними класами.

Бувають, однак, випадки, коли суб'єкти і присудки не відповідають, але ми все ж можемо робити висновки про істинні-значення категорій на основі інформації про інших. У таких випадках нам потрібно поєднати наші знання про відносини, зображені на площі Опозиції, з нашими нещодавно набутими знаннями про обставини, за яких перетворення, обвернення та протиставлення дають нам еквівалентні речення.

Ось простий приклад. Припустимо, що речення форми «Ні S є P» виражає істину (не важливо, що означають 'S' і 'P'; ми думаємо в абстрактному тут). Враховуючи цю інформацію, що можна сказати про речення форми «Деякі P є S'? Ну, перший - Е, а другий - I. Відповідно до площі опозиції, Е і я - суперечлива пара, тому вони повинні мати протилежні істини-значення. Але пам'ятайте, відносини на площі тримаються лише за відповідні речення. 'No S є P 'і 'Деякі P є S' не відповідають; їх підмет і присудок класові терміни знаходяться в різних місцях. Квадрат говорить нам, що I речення, що відповідає «Ні S є P» - а саме, «Деякі S є P» - повинно бути протилежним значенням істини. Ми припустили, що речення E є істинним, тому «Деякі S є P» виражає неправду, згідно з квадратом. Але ми хотіли знати істинне значення «Деякі P є S', речення з підметом і присудком терміни перемикаються. Ну, переключилися підмет і присудок терміни - це просто зворотне «Деякі S є P». І ми знаємо з наших розслідувань, що перетворення на реченні I завжди дає вам ще одне I речення, еквівалентне першому; тобто воно виражає ту саму пропозицію, тож воно є істинним чи хибним за всіх тих же обставин, що й оригінал. Це означає, що «Деякі P є S' повинні виражати неправду, так само, як і її зворотне.

Ось як думати про висновок, який ми щойно зробили. Нам дали той факт, що «Ні S є P» є правдою. Ми хотіли знати правдиву цінність «Деякі P є S'. (Ми отримуємо трохи неохайно тут. Технічно це пропозиції, а не речення, які є істинними чи хибними. Подальше ускладнення: ми навіть не говоримо про фактичні речення тут, а загальні моделі речень, з літерами заповнювачів «S» та «P», що стоять у фактичних класових термінів. Чи можуть такі речі бути правдивими чи хибними? Тьфу. Давайте просто домовимося не метушитися і не переживати з цього приводу. Ми всі розуміємо, що відбувається) Ми не можемо порівняти ці два безпосередньо, використовуючи Площа Опозиції, тому що вони не відповідають: різний підмет і присудок. Але, ми знаємо, що зворотне наше цільове речення - 'Деякі S є P '— дійсно відповідає, так що відповідно до площі, це повинно бути помилковим (так як це суперечливо 'Ні S є P '). І, оскільки перетворення на I реченнях дає еквівалентні результати, «Деякі P є S' мають те саме значення істини, що і «Деякі S є P», тому наше цільове речення також має бути помилковим.

Це загальна закономірність для такого роду багатоступінчастих висновків. Вам надається інформація про правдиву цінність певної категоричної заяви, а потім просять оцінити деякі інші претензії на правду чи фальш. Вони можуть не відповідати, тому перший етап ваших обговорень передбачає їх відповідність - створення теми та предикатних термінів. Ви робите це, виконуючи перетворення, оверсію та контрапозицію за потребою, але лише тоді, коли ці операції дають еквівалентні результати: ви використовуєте перетворення лише на реченнях E та I; ви використовуєте лише контрапозицію на реченнях A та O; і оскільки обверсія завжди дає еквівалентне речення, ви можете використовувати його коли завгодно. Потім, як тільки ви досягли листування, ви можете звернутися до площі Опозиції і завершити висновок.

Інший приклад може допомогти проілюструвати метод. Припустимо, нам сказали, що деяке речення «Все S є P» вірно. А як щодо речення «Ні ~ S є ~ P»? (Пам'ятайте, коли ми ставимо тильди перед літерами, ми маємо на увазі доповнення цих класів.)

По-перше, ми помічаємо, що підмет і присудок терміни не відповідають. Речення A має 'S' в позиції суб'єкта і 'P' в позиції присудка, тоді як цільовий E речення має ~ S і ~ P в цих слотах. Ми можемо чітко побачити цю невідповідність (а також налаштувати себе легше продумати решту кроків у висновку), якщо ми запишемо пропозиції, одне над іншим (зазначивши в дужках те, що ми знаємо про їх істинні значення):

Всі S є P [T]

Ні ~ S ~ P [?]

Орієнтуючись лише на терміни-підмет і присудок, ми бачимо, що нижні мають тильди, верхні - ні, нам потрібно привести їх у відповідність. Як? Що ж, мені здається, що у нас є операція, яка дозволяє нам додавати або видаляти тильди, дві за раз: протиставлення. Коли ми виконуємо цю операцію, ми замінюємо підмет доповненням присудка (додавання або видалення однієї тильди) і замінюємо присудок доповненням суб'єкта (додавання або видалення іншого). Тепер контрапозиція створює еквівалентні речення для A та O, але не E та I. Тому я можу виконати це лише у верхньому реченні, «Усі S є P». Роблячи це, я виробляю контрапозитив, який виражає ту саму пропозицію, і тому також має бути правдою. Ми можемо записати це так:

Всі S є P [T]
Всі ~ P ~ S [T]

Ні ~ S ~ P [?]

Речення, яке ми щойно записали, все ще не узгоджується з цільовим реченням внизу, але воно ближче: вони обидва мають тильди перед «S» та «P». Тепер проблема полягає в тому, що '~ S' і '~ P' знаходяться в неправильному порядку: підмет і присудок позиції, відповідно, в цільовому реченні, але зворотне в реченні ми тільки що записали. У нас є операція, щоб виправити це! Це називається перетворенням: для його виконання ви перемикаєте порядок термінів суб'єкта та предикату. Справа в тому, що це тільки works— тобто дає вам еквівалентний результат - на E і я речення. Я не можу виконати перетворення на реченні A 'All ~ P ~ S', яке я щойно записав вгорі. Але я можу виконати це на цільовому реченні E внизу:

Всі S є P [T]
Всі ~ P ~ S [T]

Ні ~ Р ~ S [?]
Ні ~ S ~ P [?]

Я робив перетворення, як би, від низу до верху. Ці останні два речення E - це розмови один про одного, тому вони висловлюють ту саму пропозицію і матимуть однакову істинну цінність. Якщо я можу з'ясувати значення істини 'No ~ P ~ S', то я можу з'ясувати істинне значення мого цільового речення на дні; це буде те ж саме. І дивись! Я нарешті в змозі це зробити. Два речення посередині, 'All ~ P ~ S' і 'No ~ P ~ S', відповідають; вони мають однаковий підмет і присудок. Це означає, що я можу проконсультуватися з Площею Опозиції. У мене є речення, яке відповідає дійсності. А як щодо відповідного речення E? Вони протилежні, тому воно повинно бути помилковим:

Всі S є P [T]
Всі ~ P ~ S [T]

Ні ~ Р ~ S [F]
Ні ~ S ~ P [?]

І оскільки цільове речення внизу виражає ту саму пропозицію, що й безпосередньо над ним, цей остаточний знак питання також може бути замінений на «F». Зроблено висновок, проблема вирішена.

Знову ж таки, це загальна закономірність для здійснення такого роду висновків: домогтися відповідності за допомогою трьох операцій, а потім використовувати інформацію, закодовану в Квадраті Опозиції.

Це працює більшу частину часу, але не завжди. Припустимо, вам сказали, що «Всі S є P» є істинним, і попросили зробити висновок про значення істини 'No P є ~ S'. Ми можемо знову виписати їх один над іншим і подивитися:

Всі S є P [T]

Немає P ~ S [?]

''і 'P' знаходяться в неправильному порядку, плюс 'S' має тильду перед ним внизу, але не вгорі. Перше, що мені спадає на думку, це позбутися тієї тильди. У нас є операція додавання або видалення однієї тильди за раз: обверсія. Я збираюся виконати це на нижньому реченні. По-перше, я міняю якість: універсальний негативний (Е) оригінал стає універсальним ствердним (А). Тоді я замінюю присудок його доповненням: я замінюю '~ S' просто простим ''. Це результат:

Всі S є P [T]

Всі P є S [?]
Немає P ~ S [?]

Ми ще не маємо листування, але ми ближче з цією тильдою з дороги. Що далі? Ну, тепер проблема полягає в тому, що 'S' і 'P' знаходяться в неправильному порядку. Для цього існує операція: перетворення. Але - і ось руб-ми можемо використовувати перетворення лише на реченнях E та I. Тепер, коли я зробив обверсію на цілі внизу, два речення, які я залишив порівняння, обидва As. Я не можу використовувати перетворення на A: результат не буде еквівалентним.

У цей момент розумним було б спробувати інші операції: можливо, правильне поєднання оверсії, контрапозиції і, можливо, врешті-решт, на інший вид речення, перетворення, дозволить нам досягти відповідності. Роблячи такі висновки, вам часто доводиться пробувати різні речі, перш ніж потрапити туди. Але я тут, щоб сказати вам, спробуйте, що ви могли б у цьому прикладі, як багато конверсій, забобонів і контрапозицій, як ви хочете, в будь-якому порядку: ви ніколи не досягнете кореспонденції. Це неможливо.

Отже, що це означає? Це означає, що, враховуючи той факт, що «Всі S є P» є істинним, ви не можете зробити жодного висновку про значення істини 'No P є ~ S'. Відповідь на проблему: «Я не знаю». Пам'ятайте, що таке може статися; іноді ми не можемо робити висновки про одну категоричну на основі інформації про іншу. Коли ми знаємо, що я вірний, наприклад, ми не можемо сказати, що таке істинне значення відповідного O; це може піти будь-яким шляхом.

Це свого роду незадовільне, хоча. Я кажу вам, що якщо ви не можете досягти листування - якщо це неможливо - ви не можете зробити висновок. Але звідки ви знаєте, що не можете домогтися листування? Можливо, коли ви працювали над проблемою, ви просто не натрапили на правильне поєднання операцій в правильному порядку. Як ми точно знаємо, що висновок не може бути зроблений? Насправді, один крок, який ми зробили в цій проблемі, ставить нас в змозі знати саме це. Порівняйте «Усі S є P» з аверсом цільового речення, 'Усі P є S'. Який зв'язок між ними? Одне - зворотне інше. Нам дано істинне речення А і попросили зробити висновок про істинне значення речення, еквівалентне його зворотному. Але виконання перетворення на A, як ми встановили в довжину вище, дає вам нове речення, яке виражає іншу пропозицію. І це має непередбачуваний вплив на істинну цінність: іноді людина переходить від істини до фальші; інші часи від істини до істини тощо. У цьому випадку ми знаємо, що ми не можемо знати істинного значення цільового речення, тому що це еквівалентно результату виконання перетворення на універсальний ствердний, і наслідки цієї операції на значення істини непередбачувані.

Загалом, ви можете знати, що відповідь на одну з цих проблем - «Я не знаю», якщо ви можете використовувати операції, щоб потрапити в положення, де ви порівнюєте речення з його зворотним або контрапозитивним, коли ці операції не працюють для типів речень, які ви маєте. Ми бачили це для A та його зворотного. Аналогічно, якщо у вас є речення E з відомим значенням істини, а ваше цільове речення еквівалентно його контрапозитивному, ви знаєте, що відповідь «Я не знаю», оскільки протиставлення, виконане на реченнях E, має непередбачувані результати щодо значення істини. Те ж саме стосується I та перетворення, O та протиставлення.

Вправи

1. Припустимо, що «Всі S є P» вірно. Визначте істини-значення наступного (по можливості).

(а) Ні S ~ P
(b) Всі ~ S ~ P
(c) Ні ~ P є S
(d) Деякі ~ P є S (e) Деякі ~ S
(e) Деякі ~ S не ~ P

2. Припустимо, що «Ні S не є P» вірно. Визначте істини-значення наступного (по можливості).

(а) Деякі ~ P не ~ S
(b) Всі ~ S ~ P
(c) Ні ~ S ~ P
(d) Деякі ~ P є S
(e) Все ~ P ~ S

3. Припустимо, що «Деякі S є P» вірно. Визначте істини-значення наступного (по можливості).

(а) Всі S є ~ P
(b) Деякі S не ~ P (c) Ні P є S
(d) Деякі P ~ S
(e) Ні S ~ P

4. Припустимо, що «Деякі S не є P» вірно. Визначте істини-значення наступного (по можливості).

(а) Ні S ~ P
(b) Деякі S ~ P
(c) Ні ~ S є P
(d) Ні ~ P є S
(e) Деякі P є S