3.3: Площа Опозиції

Встановивши межі нашої області логічно добре поводиться природної мови, переходимо тепер до дослідження властивостей його мешканців. Чотири типи категорій пов'язані один з одним систематично; ми розглянемо ці відносини.

Відносини є вихідними: ми часто можемо зробити висновок, наприклад, з істини однієї з чотирьох категорій, чи є інші три істинними чи хибними. Ці інференційні зв'язки між чотирма категоріальними пропозиціями узагальнені графічно на діаграмі: Площа опозиції. Схема виглядає наступним чином:

Чотири типи категоричних пропозицій розташовані по чотирьох кутах квадрата, а вздовж сторін і діагоналей позначені відносини, які отримують між ними парами. Ми беремо ці відносини по черзі.

протиріччя

Суперечливі пари категоричних суджень знаходяться на протилежних кутах один від одного на Площі Опозиції. Пропозиції A і O суперечливі; E і I пропозиції суперечливі. Що означає, що пара суджень суперечлива, полягає в наступному: вони мають протилежні істини-цінності; коли одне істинне, інше повинно бути помилковим, і навпаки.

Це досить інтуїтивно зрозуміло. Розглянемо пропозицію А - усі моряки - пірати. Припустимо, я висловлюю цю претензію. Як ти мені суперечиш? Як ви доведете, що я помиляюся? «Мій брат у флоті», ви можете протестувати. «Він матрос, але він не пірат». Це зробило б трюк. Те, як ви суперечите універсальному ствердному твердженню - твердження, що всі S є P - це показуючи, що є принаймні один S (моряк в даному випадку, ваш брат), який не є P (не пірат, як ваш брат не є). Принаймні один S, який не є P - це лише особливий негативний, O пропозиція, що деякі S не є P. (Пам'ятайте: «деякі» означає «є принаймні один».) А і О пропозиції висувають протилежні, суперечливі претензії. Якщо помилково, що всі моряки є піратами, то це повинно бути правдою, що деякі з них не є; саме так ви показуєте, що це помилково. Так само, якщо це правда, що всі собаки є тваринами (це так), то це повинно бути помилковим, що деякі з них не є (ви не збираєтеся знайти навіть одну собаку, яка не є твариною). Пропозиції A та O мають протилежні значення істини.

Аналогічно для E і I пропозицій. Якщо я стверджую, що жодні святі не є священиками, і ви хочете мені суперечити, то вам потрібно придумати святого, який був священиком. Це не складно: святий Фома Аквінський (який був найвідомішим середньовічним перекладачем Аристотеля, до речі, і приголомшливим філософом в своєму власному праві) був священиком. Отже, щоб суперечити універсальному негативному твердженню - що жоден S не є P - потрібно показати, що є принаймні один S (святий у цьому випадку Фома Аквінський), який насправді є P (священиком, як був Аквінський). Принаймні один S, який є P - це лише конкретне ствердно, я пропоную, що деякі S є P. (Знову ж таки, «деякі» означає «є принаймні один».) Е і Я пропозиції висувають протилежні, суперечливі претензії. Якщо помилково, що жодні святі не є священиками, це повинно бути правдою, що деякі з них є; саме так ви показуєте, що це помилково. Так само, це правда, що жодні кішки не є собаками (це так), тоді повинно бути помилковим, що деякі з них є (ви не збираєтеся знайти навіть одну кішку, яка собака). E і I пропозиції мають протилежні істини-значення.

Протиріччя

Дві універсальні пропозиції - A і E, вздовж вершини квадрата - протилежна пара. Це трохи слабша форма протистояння, ніж суперечливість. Бути протилежним означає, що вони не можуть бути істинними, але вони обидва можуть бути помилковими - хоча вони не повинні обидва бути помилковими; один може бути істинним, а інший помилковим.

Знову ж таки, це інтуїтивно зрозуміло. Припустимо, я стверджую універсальне стверджуюче: «Всі собаки йдуть на небо», і ви стверджуєте відповідний універсальний негатив: «Ніякі собаки не потрапляють на небо». (Ці речення не в стандартній формі, але переклад простий.) Очевидне спостереження: ми не можемо обидва бути правими; тобто обидві претензії не можуть бути правдивими. З іншого боку, ми обидва могли помилятися. Припустимо, потрапляння на небо для собак - це те, як вони кажуть, що це для людей: якщо ти хороший і все інше, то ти потрапляєш; але якщо ти поганий, о хлопчик - це інше місце для тебе. У такому випадку обидві наші твердження є помилковими: деякі собаки (хороші) потрапляють на небо, але деякі собаки (погані, ті, хто кусають дітей, можливо) - ні, але ця картина теж може бути неправильною. Я міг бути правий, і ви можете помилятися: Бог любить всіх собак однаково, і вони отримують вільний прохід на небо. Або я можу помилитися, і ви можете бути праві: Бог ненавидить собак і не пускає жодного з них; або, можливо, немає неба взагалі, і тому ніхто туди не ходить, включаючи собак.

Субконтрагенти

Уздовж нижньої частини площі у нас є дві конкретні пропозиції - я і О - і вони, як кажуть, є субконтрагентами. Це означає, що вони обидва не можуть бути помилковими, але вони обидва можуть бути правдивими, хоча вони не повинні бути; один може бути істинним, а інший помилковим.

Легко зрозуміти, як і я, і О могли бути правдою. Власне кажучи, деякі моряки є піратами. Це правда. Також, по суті, деякі з них не є. Також легко побачити, як одне з конкретних пропозицій може бути істинним, а інше помилковим, за умови, що ми маємо на увазі, що «деякі» просто означає «є принаймні одне». Це правда, що деякі собаки є ссавцями, тобто є принаймні одна собака, яка є ссавцем - так що я твердження вірно. Насправді, всі вони є - пропозиція А також вірна. Це означає, що оскільки A і O є суперечливими, що відповідна пропозиція O - що деякі собаки не є ссавцями - повинна бути помилковою. Так само, це правда, що деякі жінки не є (католицькими) священиками (принаймні одна жінка не є священиком); і помилково, що деякі жінки є священиками (Церква цього не дозволяє). Так O може бути правдою в той час як я брехня.

Трохи складніше зрозуміти, чому обидві конкретні пропозиції не можуть бути помилковими. Чому не може «Деякі серфери є священиками» і «Деякі серфери не є священиками» обидва бути помилковими? Це не відразу очевидно. Але подумайте: якщо я (деякі серфери є священиками) є помилковим, це означає, що Е (жодні серфери не є жерцями) повинні бути істинними, оскільки Я і Е суперечливі; і якщо O (деякі серфери не є священиками) є помилковим, це означає, що A (всі серфери - священики) повинні бути правдивими, оскільки O і A суперечливі. Тобто, якби я і О були помилковими, то відповідні пропозиції A та E повинні були б бути правдивими. Але, як ми вже бачили, це (очевидно) неможливо: якщо я стверджую, що всі серфери є священиками, і ви стверджуєте, що ніхто з них не є, ми обидва не можемо бути правими.

Субальтерни

Конкретні пропозиції в нижній частині таблиці - I та O - є субальтернами універсальних пропозицій безпосередньо над ними—A та E відповідно. (А універсальні пропозиції називаються суперальтернами) Це означає, що пари мають наступний зв'язок: якщо універсальна пропозиція істинна, то конкретне судження (його субальтерн) також має бути істинним. Тобто, якщо пропозиції A є істинними, це відповідне I пропозиція також повинна бути істинною; якщо пропозиція Е є істинною, його відповідна пропозиція O також повинна бути істинною.

Це інтуїтивно зрозуміло, якщо ми маємо на увазі, як завжди, що «деякі» означає «є принаймні один». Припустимо, що твердження А про те, що всі кити є ссавцями, є істинним (це так); тоді відповідне I твердження, що деякі кити є ссавцями, також має бути правдою. Знову ж таки, «деякі кити - ссавці» просто означає «принаймні один кит - ссавець»; якщо всі вони є, то принаймні один з них! Так само, з негативної сторони квадрата, якщо це правда, що священики не є жінками (універсальний негатив, Е), то має бути правдою, що деякі священики не є жінками (особливо негативними, О) - що принаймні один священик не є жінкою. Якщо ніхто з них не є, то принаймні один ні!

Зверніть увагу, що ці відносини зображені дещо інакше, ніж інші на площі Опозиції: там стрілка, що вказує на дно. Це тому, що відносини не симетричні. Якщо пропозиція зверху вірна, то та, що внизу, також має бути істинною; але зворотне - не так. Якщо пропозиція I вірна - деякі моряки є піратами - це не випливає, що відповідна пропозиція А - що всі моряки є піратами - вірна. Так само істина пропозиції O - деякі серфери не є священиками - не гарантує істинності відповідної пропозиції Е - що жодні серфери не є священиками. (Я сумніваюся, що це правда; там повинен бути принаймні один серфінг священик, ні? Потім знову... Справа в тому, O не говорить нам, правда це чи ні)

Правда як би подорожує вниз по стороні площі. Брехня ні: якщо універсальна пропозиція є помилковою, це нічого не говорить нам про правду чи брехню відповідного конкретного. Ви могли б мати помилкову пропозицію А - всі люди є священиками - з істинним відповідним я—деякі люди є священиками. Але ви також можете мати помилкову пропозицію А - всі коти є собаками, чиї відповідні я - деякі коти є собаками - також помилково. Так само ви можете мати помилкову пропозицію Е - жоден чоловік не є священиками - з істинним відповідним O - деякі люди не є священиками. Але ви також можете мати помилкову пропозицію Е - жодні кити не є ссавцями - чиї відповідні O - деякі кити не є ссавцями - також помилково.

Брехня не подорожує вниз по стороні площі, але вона подорожує вгору. Тобто, якщо конкретна пропозиція - I або O - є помилковою, то її відповідна універсальна пропозиція - A або E відповідно - також має бути помилковою. Подумайте про це в абстрактному: якщо це помилково, що деякі S є P, це означає, що немає навіть на S, це також P; ну в цьому випадку, немає ніякого способу всі Ss є Ps! False I, false A. Аналогічно з негативної сторони: якщо це помилково, що деякі S не є P, це означає, що ви не знайдете навіть один S, який не є P, тобто все Ss є Ps; в цьому випадку це помилково, що ні S є P (A і E є протилежними). Помилковий O, хибний E.

Висновки

Враховуючи інформацію про істинність чи хибність категоричного судження, ми можемо використовувати зв'язки, підсумовані на площі Опозиції, щоб зробити висновки про істинні-цінності інших трьох типів категоричного судження.

Ось що я маю на увазі. Припустимо, що універсальна позитивна пропозиція - пропозиція А - є істинною. Які істини значень відповідних E, I і O суджень? (Під «відповідними» я маю на увазі пропозиції з однаковими предметними і присудковими класами.) Площа може допомогти нам відповісти на ці питання. Перш за все, A знаходиться в протилежному кутку від O - вони суперечливі. Це означає, що A і O повинні мати протилежні значення істини. Ну, якщо A вірно, як ми припускаємо, то відповідне O пропозиція повинна бути помилковою. Також A і E є протилежними. Це означає, що вони не можуть бути правдивими. Ну, ми припускаємо, що A вірно, так що тоді відповідний E повинен бути помилковим. А як щодо пропозиції I? Три способи напасти на це, і всі вони погоджуються з тим, що я повинен бути істинним: (1) Я є субальтерном A, тому якщо A є істинним, то я також повинен бути істинним; (2) Я є суперечливим Е, і ми вже визначили, що Е має бути помилковим, тому я повинен бути правдою; (3) Я і О є субконтрагентами, тобто вони не можуть бути обома брехня, і оскільки ми вже визначили, що O є помилковим, з цього випливає, що я повинен бути правдою.

Підсумовуючи: якщо пропозиція A істинна, відповідне Е є помилковим, I - істинним, а O помилковим.

Спробуємо ще один: припустимо, універсальний негатив, E пропозиція вірна. А як щодо відповідних пропозицій A, I та O? Ну, знову ж таки, A і E є протилежністю—не може бути як true— так що A повинен бути помилковим. Я є суперечливим Е, тому воно повинно бути хибним - протилежним значенню істини Я. А оскільки O є субаальтерном до E, це повинно бути істинним, тому що E є.

Якщо пропозиція Е істинна, відповідне A є хибним, I - хибним, а O - істинним.

Інший. Припустимо, конкретне стверджуюче, я судження вірно. А як щодо інших трьох? Ну, Е є його суперечливим, тому він повинен бути помилковим. І якщо деякі S є P, це означає, що деякі з них aren't— так що O також вірно. А оскільки А є суперечливістю О... ПОЧЕКАЙТЕ ВСЬОГО ХВИЛИНКУ! Поверніться назад і прочитайте це ще раз. Бачите, що сталося? «І якщо деякі S є P, це означає, що деякі з них не...» Ні, це не так! Пам'ятайте, «деякі» означає «є принаймні один». Якщо деякі S є P, це просто означає, що принаймні один S є P - і для всіх, що ми знаємо, всі вони можуть бути; і знову ж таки, можливо, ні. Я і О є субконтраріями: вони обидва не можуть бути помилковими, вони обидва можуть бути істинними, і один може бути істинним, а інший помилковим. Знання того, що я вірний, нічого не говорить нам про істинну цінність відповідного O, або відповідного А. що деякі з них, тобто принаймні одне є, залишає відкритою можливість того, що всі вони є; але знову ж таки, можливо, ні. Справа в тому, що виходячи з припущення, що I є істинним, ми можемо точно знати лише істинно-значення відповідного E. Якщо I пропозиція істинна, то відповідне Е є помилковим, а A і O мають невідому істинно-цінність.

Вправи

1. Припустимо, що пропозиція O вірна. Які істинні значення мають відповідні пропозиції A, E та I, згідно з Площею Опозиції?

2. Припустимо, що пропозиція A є помилковою. Які істинні значення мають відповідні пропозиції E, I та O, згідно з Площею Опозиції?

3. Припустимо, що пропозиція E є помилковою. Які істинні значення мають відповідні пропозиції A, I та O, згідно з Площею Опозиції?

4. Припустимо, що пропозиція I є помилковою. Які істинні значення мають відповідні пропозиції A, E та O, згідно з Площею Опозиції?

5. Припустимо, що пропозиція O є помилковою. Які істинні значення мають відповідні пропозиції A, E та I, згідно з Площею Опозиції?