3.2: Класи та категоріальні пропозиції

Для Аристотеля фундаментальною логічною одиницею є клас. Класи - це просто набори речей - набори, які ми можемо вибрати за допомогою мови. Найпростіший спосіб ідентифікувати клас - це використання іменника множини: дерева, хмари, астероїди, люди - це все класи. Назви для класів також можуть бути граматично складнішими. Ми можемо змінити іменник множини за допомогою прикметника: «багаті люди» вибирає клас. (Подивіться, що я там зробив?) Прийменникові фрази можуть додатково вказати: «багаті люди з Італії» вибирає інший клас. Модифікації можуть тривати нескінченно: «багаті люди з Італії, які зробили свої статки в нерухомості і чиї бабусі, за чутками, таємні любителі Беніто Муссоліні» вибирають ще один клас - який або дуже маленький, або, можливо, порожній, я не знаю. (Порожні класи - це просто класи без членів; ми поговоримо про них пізніше.)

Назви класів ми будемо називати «класовими термінами», або просто «термінами» коротко. Оскільки для Аристотеля фундаментальною логічною одиницею є клас, а оскільки терміни - це біти мови, які вибирають класи, логіку Аристотеля часто називають «терміном логіка». Це на відміну від логіки, яку ми вивчимо в наступному розділі, Логіка речення, так звана, тому що фундаментальна логічна одиниця є пропозицією, а речення є лінгвістичним засобом для їх вибору.

Звичайно, Аристотелівська логіка також повинна мати справу з пропозиціями - ми оцінюємо аргументи тут, і за визначенням це лише набори пропозицій - але оскільки класи є фундаментальною логічною одиницею, Аристотель обмежується певним видом пропозиції: категоріальними пропозиціями. «Категорія» є лише синонімом «клас». Категоричні пропозиції - це пропозиції, які висувають претензію про відносини між двома класами. Це перший крок у приборканні природної мови: Aristotelian Logic оцінюватиме лише аргументи, складені повністю з категоричних пропозицій. Ми обмежуємося обмеженою частиною мови - реченнями, що виражають такі пропозиції, які будуть містити два класові терміни - терміни, які вибирають класи, зв'язок яких описаний у категоріальній пропозиції. Незабаром ми розмістимо подальші обмеження на форми, які можуть приймати ці речення, а поки обговоримо категоричні пропозиції взагалі.

Знову ж таки, категоричні пропозиції роблять твердження про зв'язок між двома класами. Тут є три можливості:

(1) Ціле включення: один клас міститься повністю в іншому.
Приклад: Клас 1 = люди; Клас 2 = двоногі. Перший клас цілком міститься в другому; кожна людина - двоногі. (Навіть ампутовані. Бути двоногим належить до виду, який, природно, має дві ноги.)

(2) Часткове включення: один клас частково міститься в іншому; два класи мають принаймні один спільний член.

Приклад: Клас 1 = люди; Клас 2 = плавці. Деякі люди плавають; деякі ні, деякі плавці - люди; деякі не (риба, наприклад). Ці два класи перекриваються, але не цілком.

(3) Виняток: два класи не мають спільних членів; вони є ексклюзивними. Приклад: Клас 1 = люди; Клас 2 = птахи. Жодна людина не є птахами; немає птахів - це люди. Бетмен незважаючи на (чувак насправді не кажана; Крім того, кажани не птахи; Робіни є, але знову ж таки, Робін насправді не птах, просто хлопець, який одягається, як один).

З огляду на ці міркування, ми можемо (більш-менш) формально визначити категоричні пропозиції:

Категорична пропозиція - це твердження про зв'язок між двома класами - називайте їх S і P - яке або підтверджує, або заперечує, що S повністю або частково включений до P (Зверніть увагу, що заперечення того, що S навіть частково включений до P, є таким же, як стверджувати, що S і P є виключними.)

Аристотель зазначив, що, з огляду на це визначення, виділяють чотири типи категоричного судження. Обговоримо їх по черзі.

Чотири типи категоричної пропозиції

Універсальний стверджуючий (A) (Оскільки «Універсальний стверджуючий» - разом з назвами інших трьох типів категоричної пропозиції - це трохи рот, ми будемо слідувати звичаям і призначити чотири категорії (скорочення для «категоричних пропозицій») однолітерні прізвиська. Універсальним ствердним є пропозиція А.)

Цей тип пропозиції підтверджує ціле включення класу S до класу P - це говорить про те, що кожен член S також є членом P. Канонічний вираз цієї пропозиції є реченням виду «Всі S є P».

Варто зазначити, чому ми вибрали 'S' і 'P' як символи для загальних термінів класу. Це тому, що перший - це граматичний підмет (S) речення, а другий - граматичний присудок (P). Ця закономірність буде триматися для інших трьох типів категоричного судження.

Повернутися до універсального стверджуючого, пропозиція. Це підтверджує ціле включення. Наприклад, речення «Усі чоловіки є смертними» виражає судження такого типу, яке є істинним. «Усі чоловіки - канадці» також висловлює універсальну ствердну пропозицію, таку, яка є помилковою.

Заради конкретності давайте виберемо класи суб'єктів та предикатів, які ми можемо використовувати як приклади, коли ми говоримо про кожен з чотирьох типів категоріальної пропозиції. Давайте давайте S = логіки і P = ривки. Пропозиція A, що містить ці два класи, виражається «Усі логіки є ривками». (Ми залишатимемося агностиком про те, чи це правда чи брехня.)

Коли настане час перевірити аргументи на валідність - останній крок у процесі, який ми тільки почали - нам буде зручно зображати чотири типи категоріальних пропозицій. Базовою формою малюнків будуть два кола, що перекриваються, при цьому ліве коло представляє клас предмета, а праворуч - клас предиката. Ось так:

Щоб зобразити чотири типи категоричних пропозицій, ми змінимо цю основну діаграму з двома колами, затінюючи її частини або зробивши позначки всередині кіл.

Перш ніж ми перейдемо до конкретного зображення пропозиції А, давайте поговоримо про те, що робить основна діаграма з двома колами. Він ділить Всесвіт на чотири області, яким ми можемо призначити такі числа:

Давайте поговоримо про те, що всередині кожного з чотирьох регіонів, якщо ми візьмемо S як клас логіків, а P - клас ривків.

Область 1 - це частина S кола, яка не перетинається з окружністю P. Це речі в предметному класі, але поза класом предикатів; це логіки, які не є ривками. Я ніколи не зустрічався з ним сам, але в історичному записі немає жодних доказів того, що Аристотель був чимось, крім джентльмена. Отже, Аристотель - один із жителів регіону 1 — логік, який не є ривком.

Регіон 2 - область перекриття між предметним і присудковим класами; його мешканці є членами обох. Тож тут у нас є логіки, які також є ривками. Готтлоб Фреге, німецький логік 19 століття, є найважливішим новатором в історії логіки, крім Аристотеля. Також, виявляється, він був величезним ривком. Він був великим антисемітом. Таким чином, Фреге живе в регіоні 2; він і логік, і ривок.

Регіон 3 - це частина кола P, яка не перекривається з S. Це члени класу предикатів - ривки, у нашому прикладі - які не є членами предметного класу - не логіками. Саме тут живуть нелогічні ривки. Дональд Трамп - житель регіону 3. Хлопець явно ривок - і так само чітко, не логік. (Я використовую Трампа в цьому прикладі протягом десятиліття; Я не збираюся зупинятися тільки тому, що його обрали президентом. Більше того, я вважаю, що навіть прихильники Трампа визнають, що він ривок. Він каже це так, як є, і не дбає, чиї почуття боляче - або щось подібне, правда?)

Регіон 4 є—все інше. Це всі речі, які знаходяться поза як предметними, так і присудковими класами - речі, які не є ні логічними іанами, ні ривками. Ви знаєте, хто здається приємним, але хіба не логік? Бейонсе. Мешкає в районі 4. Але так само роблять багато і багато іншого: планета Юпітер не є ні логіком, ні ривком; вона є там і з Бейонсе. Як і ліва передня шина машини моєї дружини. І другий за величиною цегла у Великій Китайській стіні. І так далі.

Стільки для порожньої двоколірної діаграми і того, як вона вирізає Всесвіт. Ми хочемо з'ясувати, як змінити цю діаграму так, щоб ми в кінцевому підсумку отримали картину універсальної позитивної пропозиції. Наш конкретний приклад пропозиції A полягає в тому, що всі логіки є ривками. Як ми намалюємо картину цього, використовуючи два кола в якості відправної точки? Ну, подумайте про це так: коли ми говоримо, що всі логіки є ривками, ми насправді говоримо, що певної речі не існує; немає такої речі, як не-ривковий логік. Іншими словами, незважаючи на те, що я сказав вище про Аристотеля, регіон 1 порожній, відповідно до цієї пропозиції (що, знову ж таки, може бути чи не правдою; неважливо, правда це чи ні; ми просто намагаємося з'ясувати, як намалювати картину, яка фіксує претензію, яку він висуває). Щоб зобразити порожнечу, ми приймемо конвенцію затінення у відповідній області (областях) діаграми. Ось і виглядає наша картина універсального стверджуючого так:

Всі S є P означає, що ви не знайдете жодних членів S, які знаходяться поза кругом P (немає логіків, які не ривків). Місце на схемі, де вони могли б бути такими речами, розмито, щоб вказати на його порожнечу. Єдина частина S, яка залишається життєздатним простором, знаходиться всередині кола P, в тому, що ми назвали областю 2 (логіки, які ви знайдете, будуть ривками).

На цьому етапі може бути поставлено резонне питання: чому ми намалювали універсальний стверджуючий таким чином, замість іншого, альтернативного та, можливо, більш інтуїтивного способу? Пропозиції підтверджують ціле включення - що S повністю міститься в P. Чи не очевидний спосіб зобразити такий стан речей, як це:

S повністю міститься в P. легко. Навіщо морочитися з перекриваються колами і затіненням?

Немає нічого поганого в цьому альтернативному зображенні універсального стверджуючого; він фіксує твердження, що висувається. Ми приймаємо перше альтернативне зображення з чисто практичних міркувань: коли настає час перевірити аргументи на достовірність, ми будемо використовувати ці малюнки; і наш метод буде залежати від наших чотирьох типів категоричних пропозицій, які зображуються, починаючи з тієї ж основної діаграми з двома перекриттями кола, з затінення і позначки всередині. Ці діаграми, як ви, можливо, знаєте, називаються «Діаграмами Венна». Вони названі на честь англійського логіка 19 століття Джона Венна, який винайшов їх спеціально як простіший засіб перевірки аргументів на валідність в Aristotelian Logic (речі були більш громіздкими до інновацій Венна). Виявляється, метод Венна працює лише в тому випадку, якщо ми почнемо з перекриваються кіл для всіх чотирьох типів категоричного пропозиції. Так що це те, що ми йдемо з.

Універсальний негативний (Е)

Цей тип пропозиції заперечує, що S навіть частково включений до П. Поставте іншим способом: він стверджує, що S і P є ексклюзивними - що вони не мають спільних членів. Канонічним виразом цієї пропозиції є речення виду «No S are P». Так, наприклад, речення «Ні собаки не є котами» виражає справжню універсальну негативну пропозицію; речення «Жодна тварина не є кішками» виражає помилкове.

Знову ж таки, ми хочемо подумати про те, як зобразити цей тип пропозиції, використовуючи стандартну двоколірну діаграму Венна. Подумайте над пропозицією, що ніякі логіки не є ривками. Як ми намалюємо картину цієї претензії? Ну, як ми вже говорили, E пропозиції говорять нам, що два класи не мають спільних членів. Область двоокруглої діаграми, де є члени обох класів, - це площа перекриття на малюнку (те, що ми називали областю 2 вище). Універсальна негативна пропозиція говорить нам, що там нічого немає. Отже, якщо я стверджую, що жоден логік не є ривками, я кажу, що, всупереч моїм твердженням вище про ривкість Готтлоба Фреге, ні, немає такого поняття, як логік-ривок. Регіон другий порожній, і тому ми затінюємо його:

Особливий стверджуючий (I)

Цей тип судження стверджує, що S частково включений в П. Його канонічний вираз - це речення форми «Деякі S є P». Так, наприклад, «Деякі моряки є піратами» висловлює справжню особливу ствердну пропозицію; «Деякі борці сумо є голубами» висловлює помилкове.

Перш ніж говорити про те, як зобразити пропозиції I діаграмою Венна, нам потрібно обговорити слово «деякі». Пам'ятайте, що в Aristotelian Logic ми приборкаємо природну мову, обмежуючи себе добре поведеною її частиною - реченнями, що виражають категоричні пропозиції. Ми пропонуємо використовувати речення зі словом «деякі» в них. «Деякі», однак, не особливо добре поводяться, і нам доведеться отримати його в черзі, перш ніж ми продовжимо.

Розглянемо це висловлювання: «Деякі республіканські виборці є власниками зброї». Це правда, і це повідомляє слухачеві той факт, що між класами республіканських виборців та власників зброї є деяке перекриття. Але це також повідомляє щось більше—а саме те, що деякі з цих республіканців не є власниками зброї. Це досить типова імплікатура (нагадаємо наше обговорення цього лінгвістичного явища в главі 2, коли ми дивилися на помилковість однозначності): коли ми говоримо, що деякі є, ми також повідомляємо, що деякі - ні.

Але бувають випадки, коли ми використовуємо «деякі» і не припускаємо, що деякі - ні. Припустимо, ви розмовляєте зі своєю мамою, і ви згадуєте, що читаєте логічну книгу. Чомусь ваша мама завжди цікавилася логічними книгами, і запитує вас, чи добре вони читаються. (Просто пограйте тут) Ви відповідаєте: «Ну, мамо, я можу сказати вам це точно: деякі логічні книги нудні. Ви повинні побачити цю книгу, яку я зараз читаю; це загальний snooze-fest!» У цьому випадку ви говорите, що деякі логічні книги нудні на основі вашого досвіду роботи з цією конкретною книгою, але ви не маєте на увазі, що деякі логічні книги не нудні; для всього, що ви знаєте, всі логічні книги нудні - просто неможливо написати захоплюючу логічну книгу. Це цілком законне використання слова «деякі», де все це означає, що є принаймні один: коли ви вимовляєте «деякі логічні книги нудні», все, що ви спілкуєтеся, це те, що є принаймні одна нудна логічна книга (ця, та, яку ви читаєте).

Це трохи природно-мовної неслухняності, з якою ми повинні мати справу: іноді, коли ми вживаємо слово «деякі», ми припускаємо, що деякі з них не є; в інших випадках ми цього не робимо, лише спілкуючись, що принаймні одне є. Коли ми використовуємо «деякі» в Aristotelian Logic, ми повинні точно знати, що йдеться. Тому ми вибираємо: «деякі» означає «є принаймні один». «Деякі S є P» говорить нам, що ці два класи мають принаймні один спільний член, і нічого більше. «Деякі моряки є піратами» означає, що є принаймні один моряк, який також є піратом, і все. Немає ніякого натяку на те, що деякі моряки не є піратами; принаймні один з них є, і, як ми знаємо, всі вони є. (Обгрунтування такого вибору вимагає аргументу, який я тут робити не буду. Основна ідея полягає в тому, що «деякі не є» біт, який часто повідомляється, не є частиною основного значення «деякі»; це імплікатура, яка є чимось, що (часто, але не завжди) повідомляється над основним значенням.)

Це може заплутати людей, тому варто повторити. Чорт візьми, давайте зробимо відступ: «Деякі
» означає «є принаймні один», і все. Це не означає, що деякі з них не є.

Зважаючи на це, ми можемо звернути свою увагу на діаграму Венна для конкретного стверджуючого. Це робить твердження, що S і P мають принаймні один спільний член. Звертаючись до нашого конкретного прикладу, речення «Деякі логіки є ривками» стверджує, що є принаймні один логік, який є ривком. (Насправді це правда: Готтлоб Фреге був антисемітським ривком.) Як ми намалюємо цю картину? Ми повинні вказати, що є принаймні одна річ в області перекриття між двома колами на діаграмі - принаймні одна річ всередині області 2. Робимо це, намалювавши X:

Особливий негативний (O)

Цей тип пропозиції заперечує, що S повністю включений у P. Він стверджує, що існує принаймні один член S, який не є членом P. Враховуючи, що «деякі» означає «є принаймні один», канонічним виразом цієї пропозиції є «Деякі S не є P» - є принаймні один член S, який роблять два класи не мають спільного. «Деякі моряки не є піратами» висловлює справжню особливу негативну пропозицію; «Деякі собаки не є тваринами» висловлює помилкове.

Діаграма Венна для пропозицій O проста. Ми повинні вказати, на нашому малюнку, що є принаймні одна річ, яка знаходиться всередині S, але за межами P. Щоб зобразити той факт, що деякі логіки не ривки, нам потрібно поставити Аристотеля (знову ж таки, не ривок, я впевнений) всередині S кола, але за межами кола P. Як і у випадку з діаграмою для пропозиції I, ми вказуємо існування хоча б однієї речі, намалювавши X у відповідному місці:

Примітка про термінологію

Зазвичай кажуть, що чотири типи категоричних пропозицій кожен має кількість та якість. Існує дві величини: універсальна і особлива. Є дві якості: ствердно і негативне. Існує чотири можливі комбінації кількості та якості, отже, чотири типи категоричного пропозиції.

Універсальні пропозиції - A і E, ствердні та негативні - так називаються, оскільки кожен з них претендує на весь предметний клас. Якщо я стверджую, що всі хобо п'ють віскі, я зробив твердження, яке охоплює кожного хобо, кожного члена цього класу. Аналогічно, якщо я стверджую, що жоден кури не є гонщиками автомобілів, Я зробив твердження, що охоплює всіх курчат - всі вони не в змозі керувати гоночними автомобілями.

Конкретні пропозиції - я і О, ствердні та негативні - з іншого боку, не пред'являють претензій щодо кожного члена предметного класу. «Деякі динозаври були травоїдними тваринами» просто стверджує, що був принаймні один динозавр, який їсть рослини; ми не дізнаємося про всіх динозаврів. Подібні зауваження стосуються пропозиції O, як «Деякі динозаври не були м'ясоїдними». Пам'ятайте, «деякі» просто означає «принаймні один».

Позитивні пропозиції - A і I, універсальні та особливі - висловлюють ствердні твердження щодо відносин між двома класами. Пропозиції підтверджують ціле включення; I пропозиції підтверджують часткове включення. Тривіальний факт: латинське слово, що означає «Я стверджую», є affirmo; A та I в цьому слові - це те, звідки походять однобуквенні прізвиська для універсальних та конкретних стверджуючих.

Негативні пропозиції - E і O, універсальні та особливі - роблять негативні твердження щодо взаємозв'язку між двома класами. E пропозиції заперечують навіть часткове включення; O пропозиції заперечують ціле включення. Тривіальний факт: латинське слово, що означає «Я заперечую», - це него; E та O в цьому слові - це те, звідки походять однобуквені прізвиська для універсального та особливого негативу.

Стандартна форма речень, що виражають категоріальні пропозиції

Щоб приручити природну мову, Аристотельська Логіка обмежує себе тією частиною мови, яка виражає категоричні пропозиції. Вище ми дали «канонічні» речення для кожного з чотирьох типів категоричної пропозиції: «Всі S є P» для універсального стверджуючого; «Ні S є P» для універсального негативу; «Деякі S є P» для конкретного стверджуючого; і «Деякі S не є P» для конкретного негативного. Це не єдині способи вираження цих пропозицій англійською мовою, але ми обмежимося цими стандартними формами. Тобто ми будемо оцінювати лише аргументи, чиї передумови та висновок виражені пропозиціями з цими канонічними формами.

Взагалі кажучи, ось шаблон для речень, що кваліфікуються як стандартна форма: [Квантор] Суб'єкт Термін <copula>(не) Присудок

Речення стандартної форми починаються з кількісника - слова, яке вказує на кількість вираженого категоріального судження. Обмеження: лише речення, що починаються з «Усі», «Ні» або «Деякі», кваліфікуються як стандартна форма.

Суб'єкт і присудок терміни виділяють два класи, що беруть участь у категоріальній пропозиції. Обмеження: підмет і присудок терміни повинні бути іменниками або іменниками-фразами (іменниками з модифікаторами), щоб речення було в стандартній формі.

Копула - це версія дієслова «бути» («є», «є», «були», «буде» тощо). Ступінь свободи: не має значення, яка версія копули зустрічається у реченні; це може бути будь-яке число або час.

«Деякі моряки є піратами» і «Деякі моряки були піратами» обидва вважаються стандартною формою, наприклад. (Логіка Аристотеля сліпа до напруженої: теперішнє, минуле, майбутнє, минуле досконале, майбутнє досконале тощо - все одно. Іноді дійсність висновку залежить від часу. Аристотелівська логіка не може виносити таких суджень. Це один із наслідків обмеження себе простішою, точнішою частиною природної мови. Існують більш просунуті логіки, які враховують час дієслова (їх не дивно називають «логікою часу»), але це тема для іншої книги.)

Слово «не» зустрічається у стандартній формі вираження особливого негативного, O судження: «Деякі моряки не є піратами». Обмеження: слово «не» може зустрічатися лише у реченнях, що виражають пропозиції O; «не», що з'являється з будь-яким кількісним показником, відмінним від «деяких», є відхиленням від стандартної форми.

Тепер у нас є точне розмежування частини природної мови, якою обмежує себе Аристотельська Логіка: лише речення в стандартній формі. Але зараз загострюється занепокоєння, яке ми піднімали раніше: якщо ми можемо оцінити лише аргументи, чиї передумови та висновки виражені реченнями стандартної форми, хіба ми не суворо, можливо, смішно, обмежені? Хто-небудь, коли-небудь, поза логічною книгою, висловлював реальний аргумент таким чином?

Ось тут і приходить переклад. Безліч пропозицій, які не в стандартній формі, можуть бути переведені в речення стандартної форми, які мають однакове значення. Сам Аристотель вважав, що всі пропозиції, якими б здавалося б складними або розбіжними, в кінцевому підсумку можна проаналізувати як один з чотирьох типів категоричного судження. Хоча це, м'яко кажучи, сьогодні не широко поширене переконання, воно все ще мало величезний вплив в історії логіки, оскільки система Аристотеля була видатною понад 2000 років. За цей час логіки розробили все більш досконалі процедури аналізу запаморочливої різноманітності пропозицій нестандартної форми як вираження одного з чотирьох типів категоричних пропозицій, так і перекладу їх відповідно. Вичерпне опитування цих запитів було б виснажливим і виходить за рамки цієї книги. Досить буде подивитися кілька простих прикладів, щоб отримати уявлення про те, скільки, мабуть, девіантних виразів може трактувати Aristotelian Logic. Наша мета полягає в тому, щоб просто зняти занепокоєння, що обмежуючись реченнями стандартної форми, ми сильно обмежуємо силу нашої логіки оцінювати реальні аргументи.

Розглянемо перший дедуктивно вагомий аргумент, з яким ми зіткнулися в цій книзі, той, що стосується Сократа: Всі люди смертні; Сократ - людина; отже, Сократ смертний. Цей аргумент має в ньому три пропозиції, але жодне з трьох пропозицій, що їх виражають, не знаходиться в стандартній формі. Перше речення, «Усі люди смертні», може здатися, що відповідає законопроекту, але воно має тонкий недолік: «смертний» - це прикметник, а не іменник. Класові терміни повинні бути іменниками або іменниковими фразами. Але це просте виправлення: додайте 's' до кінця, і ви отримаєте іменник множини. «Всі чоловіки є смертними» знаходиться в стандартній формі; він виражає універсальне ствердно, пропозиція. Цей рецепт застосовується в цілому. Присудні прикметники можна замінити відповідними іменниковими фразами найлегше, просто вставивши родове іменник «речі»: «Деякі чоловіки гарні» стає «Деякі чоловіки гарні речі»; «Жодні священики не дурні» стає «Жодні священики не дурні речі».

Повертаємося до аргументу Сократа. Друга передумова також є проблематичною: «Сократ - це людина». Перш за все, він не має кількісного показника. По-друге, його предметний термін, «Сократ», вибирає окрему людину; ми повинні мати справу з класами тут, чи не так? Ну, це вірно, але насправді це не проблема. Ми можемо просто зробити клас предмета одиничним класом - класом, що містить рівно один член, а саме Сократ. Тепер ми можемо зрозуміти речення як вираження твердження про те, що єдиний член цього класу також є членом класу чоловіків. Тобто, це універсальне стверджувальне - є ціле включення одиничного класу Сократа до класу чоловіків. Потім потрібне нам речення починається з квантора «Все», і щоб граматика працювала, ми вибираємо іменник множини, щоб назвати клас Сократа: «Усі Сократи - чоловіки». Чи є «Сократес» множиною «Сократа»? Я не можу придумати нічого кращого. У будь-якому випадку, справа в тому, що слово вибирає клас, який має рівно один член, Сократ. Речення з предметами однини можна винести як універсали. Якби у мене було речення «Сократ не живий», я міг би назвати це універсальним негативом: «Ніякі Сократи не є живими істотами».

Є й інші речі, які слід врахувати. Англійська мова поставляється з різними кількісними словами: «кожен», «кожен», «будь-який» тощо. Здоровий глузд підказує нам, як перекласти речення, що містять їх, у стандартну форму: перейдіть на відповідну стандартну форму Quantifier - «All», «No» або «Some». «Кожен вчитель - працьовитий працівник» стає, наприклад, «Усі вчителі - працьовиті працівники». Іноді кількісні слова опускаються, але з контексту зрозуміло, що відбувається. «Собаки - тварини» означає «Усі собаки - тварини»; «Люди чекають у черзі» можна винести як «Деякі люди - це речі, які чекають у черзі». Деякі пропозиції мають дієслово, відмінне від копули. Наприклад, «Деякі люди їдять кролика» можна перекласти на «Деякі люди їдять кроликів». Іноді слово «не» з'являється у реченні, яке має кількісний показник, відмінний від «деякі». Наприклад, «Не всі ссавці є м'ясоїдними», наприклад, можна перекласти на «Деякі ссавці не є м'ясоїдними».

Список продовжується. Як я вже говорив, була проведена багатовікова робота над завданням перекладу пропозицій в стандартну форму. Ми можемо зупинитися на цьому, я думаю, і просто прийняти, що обмеження на речення стандартної форми серйозно не обмежує аргументи, які може оцінити Aristotelian Logic.